運作原理與雙重計算模式
本計算器提供兩種分析數據離散度與常態分佈的計算模式：
- 從數據集：直接貼上原始數值，系統會即時計算出平均值、方差、標準差，並列出每個數值對應的 z 分數。
- 從摘要數值：在 z = (x - μ) / σ 公式中輸入任意三個已知數值，系統會自動求解第四個未知數，並同步計算出常態分佈曲線概率。
所有計算與數據處理均在用戶的網頁瀏覽器中本地進行，輸入的數據和計算結果絕不會被上傳至外部伺服器。
數據集輸入規範與限制
在「從數據集」模式下，用戶可於「數據集」文字輸入框中貼上或輸入數值。
- 格式支援：數值之間可以透過空格、逗號、分號或換行進行分隔。根據用戶的地區設定，小數點可使用句點（例如
82.5）或逗號（例如82,5）。 - 數據量限制：數據集總數必須在 50,000 個數值以內。
- 極限條件：
- 若選擇「樣本 ÷ n − 1」標準差，數據集必須包含至少 2 個數值。若只有 1 個數值，會觸發錯誤提示：「樣本需要至少 2 個數值 —— 只有一個數值時，分母 n − 1 為零。」
- 若選擇「總體 ÷ n」標準差，則必須輸入至少 1 個數值，否則會顯示：「請輸入至少一個數值。」
- 若輸入非數字字元，系統會顯示：「「
‹token›」不是數字（第‹position›個值）。」
總體與樣本標準差的數學原理
標準差用於衡量數據點與平均值之間的離散程度。本計算器提供兩種標準差計算約定：
- 總體標準差 (σ)：適用於數據集已包含所關注的整個群體之情況。計算時分母為 n。
- 樣本標準差 (s)：當數據僅為更大群體中的一個樣本，且旨在估算該群體的離散程度時使用。計算時分母為 n - 1（即貝塞爾修正），用以修正樣本帶有的向下偏差。
逐步計算公式與代入
計算器會在「公式與代入計算」區域詳細列出每一步驟：
- 平均值：平均值 = 總和 ÷ n
- 離差平方和 (SS)：SS = Σ(x - 平均值)²
- 方差：
- 總體方差：σ² = SS ÷ n
- 樣本方差：s² = SS ÷ (n - 1)
- 標準差：
- 總體標準差：σ = √(σ²)
- 樣本標準差：s = √(s²)
若數據集中所有數值完全相同，數據便沒有任何離散度。此時標準差為 0，系統會顯示錯誤提示：「所有數值均相同，因此標準差為 0，z 分數未定義。」 同時在公式區域顯示：「所有數值均等於平均值，因此 SS = 0 且標準差為 0 —— 除以 0 是未定義的。」
Z 分數公式與代數求解
z 分數（又稱標準分數）代表一個特定數值距離平均值有多少個標準差。其基本公式為：
z = (x - μ) / (σ)
在「從摘要數值」模式下，用戶必須在「數值 x」、「平均值 μ」、「標準差 σ」及「z 分數 z」四個欄位中填寫剛好三個，並將需要求解的欄位留空。若未遵守此規則，系統會提示：「請剛好留空四個欄位中的其中一個。」
根據留空的欄位，計算器會採用相應的代數變形進行求解：
| 求解目標 | 代數公式與代入顯示 |
|---|---|
| 求得的 z 分數 z | z 分數：z = (x − μ) ÷ σ = (‹x› − ‹mu›) ÷ ‹sigma› = ‹result› |
| 求得的數值 x | 數值：x = μ + z·σ = ‹mu› + (‹z›)·‹sigma› = ‹result› |
| 求得的平均值 μ | 平均值：μ = x − z·σ = ‹x› − (‹z›)·‹sigma› = ‹result› |
| 求得的標準差 σ | 標準差：σ = (x − μ) ÷ z = (‹x› − ‹mu›) ÷ ‹z› = ‹result› |
摘要模式的邊界與錯誤限制
- 標準差非零與正數限制：標準差必須為正數。若輸入 0，會顯示：「標準差不能為 0 —— 除以 σ 是未定義的。」；若輸入負數，則顯示：「標準差必須為正數。」
- 無解情況：若輸入 z = 0 但 x ≠ μ，則沒有任何正數標準差能滿足公式，系統會提示：「沒有正數 σ 能滿足此條件：當 z = 0 時，數值必須等於平均值。」
- 無限解情況：若 z = 0 且 x = μ，任何正數標準差皆成立，系統會提示：「當 z = 0 且 x = μ 時，任何正數 σ 均成立，因此 σ 沒有唯一答案。」
- 代數結果為負：若計算得出的標準差為負數，系統會顯示：「代數計算得出 σ =
‹value›，但標準差不能為 負數。請檢查 x − μ 和 z 的正負號。」 - 數值溢出：若任何輸入或中間計算超出系統極限，會顯示：「數值或中間計算結果超出了支援的數字範圍。」
常態分佈與概率映射
當求得 z 分數後，計算器會假設數值符合常態分佈，並提供標準常態曲線下的面積與概率分析：
- $P(X < x)$：數值小於 x 的累積概率（即標準常態分佈函數 Φ(z)）。
- $P(X > x)$：數值大於 x 的概率。
- P(|X - μ| > |x - μ|)：雙尾概率，即數值與平均值的偏差大於 x 與平均值偏差的概率。
- x 的百分位數：將累積概率轉化為百分位數表示。
計算器亦會繪製「包含平均值和標準差區間的數值數軸」（標示平均值、±1 標準差、±2 標準差及 ±3 標準差）以及「z 左側區域陰影顯示的標準常態分佈曲線」，幫助用戶直觀理解數據分佈。
常見問題
z 分數是否假設我的數據呈常態分佈？
不是。z 分數僅僅是一種重新縮放的線性變換，用以表示一個數值距離平均值有多少個標準差，它適用於任何標準差不為零的數據集。只有在計算常態分佈概率（如 $P(X < x)$）與百分位數時，計算器才假設數據呈常態分佈。對於偏態數據，實際的數據分佈比例可能會與常態曲線預測的概率有所偏差。
我應該在甚麼時候除以 n − 1 而不是 n？
當你的數據只是來自更大群體的「樣本」，且你想估算整個群體的離散程度時，應選擇除以 n - 1（即樣本標準差 s），這能修正樣本因規模限制而產生的向下偏差。如果你輸入的數據已是你想研究的整個「總體」（例如全班學生的完整成績），則應除以 n（即總體標準差 σ）。
為甚麼當所有數值都相同時，z 分數會未定義？
因為計算 z 分數的公式中，分母是標準差。當數據集中所有數值完全相同時，數據之間沒有任何離散度，因此標準差為 0。在數學上，除以 0 是未定義的，這代表所有數據點都剛好落在平均值上，無法用單一的 z 分數來表達其相對位置。