本「傅立葉級數計算器」是一款免費的線上工具，專為計算週期函數或分段函數的傅立葉係數、檢視部分和，以及對比重建圖形而設計。使用者可輸入單一週期內的函數，或定義最多五個獨立的函數分段。本工具會計算出 a₀、aₙ 與 bₙ 係數，顯示所得的部分和公式，繪製重建圖表以對比原始函數與傅立葉逼近值，並對數值積分進行穩定度檢查。
傅立葉級數的數學原理與係數定義
傅立葉級數的核心概念，是將任何週期函數分解為無限多個正弦與餘弦波的疊加。本計算器採用的傅立葉級數展開約定公式如下：
f(x) ≈ a₀ / 2 + Σₙ₌₁^N [ aₙ cos(nω₀ x) + bₙ sin(nω₀ x) ]
其中基頻 ω₀ = (2π) / T。在此約定下，常數項與諧波係數均採用相同的積分因數 2 / T：
- 常數項：a₀ = 2 / T∫ₐᵇ f(x)dx，而公式中的常數項則為 a₀ / 2。
- 餘弦係數：aₙ = 2 / T∫ₐᵇ f(x)cos(nω₀ x)dx。
- 正弦係數：bₙ = 2 / T∫ₐᵇ f(x)sin(nω₀ x)dx。
不同的教科書在處理常數項時可能有不同的約定（例如直接將平均值定義為 a₀）。本工具在「公式與代入」區域中會明確顯示「a₀ = (2/T)∫f(x)dx = ‹a0›；常數項為 a₀/2 = ‹constant›。」以供使用者對照。
輸入參數與設定指南
使用者可以透過以下參數自訂計算內容：
- 函數定義：可選擇「單一週期內的函數」或「函數分段」。
- 範例（預設）：提供「鋸齒波」、「方波」、「三角波」及「整流正弦波」等預設波形。
- 函數分段：最多可定義五個分段。使用者可點擊「新增分段」或「移除分段
‹n›」來調整分段數量，並以「從」和「到」設定相鄰分段的邊界。 - 運算式 $f(x)$：支援變數
x、常數pi、e，運算子+、−、*、/、^，括號，以及數學函數sin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt、abs、min和max。乘法可寫成顯式的2*x或隱式的2x。
- 週期：設定週期的「起點 a」與「終點 b」，計算器會自動算出週期 T = b - a。三角函數的自變數單位為弧度，且 a 與 b 必須使用與 x 相同的單位。
- 級數與精確度：
- 諧波次數 N：可設定 1 至 30 之間的整數。
- 辛普森子區間數：設定 200 至 4000 之間的雙數，用於數值積分。
- 顯示小數位數：指定輸出結果的小數點位數。
- 計算 Sₙ(x) 的值，當 x =：選填項目，輸入與 x 相同單位的數值，以計算特定點的部分和數值。
數值積分與穩定度檢查機制
由於本計算器並非採用解析法求解，所有傅立葉係數均是透過「複合辛普森法則」進行數值積分計算得出。
為了確保數值計算的可靠性，系統會自動執行穩定度檢查。計算器會以兩倍的辛普森子區間解析度重複進行積分計算，並比對兩次計算結果，得出最大係數變化量 δ。系統會根據檢查結果顯示不同的狀態訊息：
- 穩定狀態：「已完成計算。在目前的顯示精確度下，雙倍解析度的係數檢查結果穩定。」
- 警告狀態：「已完成計算，但當積分解析度加倍時，係數變化了
‹delta›。請增加子區間數，或檢查函數是否含有劇烈變化的特徵。」
輸出結果與圖表說明
計算完成後，工具會輸出以下詳細資訊：
- 傅立葉重建：
- 部分和：顯示重建的傅立葉級數公式，並提供「複製級數」按鈕。
- 圖表：繪製「原始函數與傅立葉部分和」圖表，包含原始函數「f(x)」與部分和「Sₙ(x)」的曲線對比。
- 係數表：列出各階諧波的「aₙ」、「bₙ」及「振幅」數值。
- 公式與代入：
- 顯示週期計算結果：「T =
‹period›；ω₀ = 2π/T =‹omega›弧度/每 x 單位。」 - 顯示分段積分說明：「對於 n = 1…
‹terms›，分別對每個分段進行積分，並將結果相加得到 aₙ 和 bₙ。」 - 顯示精確度驗證：「複合辛普森法則：使用
‹base›個子區間，並以‹refined›個子區間進行複算；最大係數變化量為‹delta›。」 - 若有輸入特定求值點，則顯示：「Sₙ(
‹x›) =‹value›」。
- 顯示週期計算結果：「T =
異常處理與錯誤訊息
若輸入的參數或運算式不符合規範，計算器會顯示相應的錯誤提示：
| 錯誤訊息 | 觸發原因 |
|---|---|
| 請檢查運算式的語法。 | 運算式中存在語法錯誤或無法解析的字元。 |
| 函數在此週期內超出了實數定義域。 | 函數在指定週期內產生了非實數（如負數開平方）的計算結果。 |
| 函數在此週期內含有除以零的運算。 | 函數在週期內出現分母為零的情況。 |
| 函數或係數超出了支援的數值範圍。 | 計算數值過大，超出了系統支援的數值範圍。 |
| 請檢查週期、諧波次數和精確度的範圍。 | 輸入的週期、諧波次數（非 1-30）或子區間數（非 200-4000 雙數）超出限制。 |
| 請檢查函數分段及其邊界。 | 分段邊界設定重疊、不連續或定義有誤。 |
常見問題
這些係數是精確值嗎？
不是。這些係數是使用複合辛普森法則計算出來的數值積分。本計算器會以兩倍的設定解析度重複計算，並報告最大的係數變化量。微小的變化量代表顯示的數字具備足夠的穩定度，但這並非正式的誤差範圍。
此計算器使用哪種傅立葉係數定義約定？
本計算器採用的公式為 f(x) ≈ a₀/2 + Σ [aₙ cos(nω₀ x) + bₙ sin(nω₀ x)]，其中 ω₀ = 2π/T。因此，a₀、aₙ 和 bₙ 均包含 2/T 因數。部分書籍會直接將平均值寫在 a₀ 中；在比對係數前，請先對照顯示的公式。
為什麼圖表在跳躍點附近會出現波紋？
有限項的傅立葉級數和在不連續點附近會產生震盪。增加諧波次數可以縮小受影響的區域，但無法消除特徵性的吉布斯現象超調。在跳躍點處，若滿足通常的收斂條件，級數會趨近於左極限與右極限的平均值。當偵測到分段間有跳躍時，系統會提示：「分段之間存在跳躍點。邊界附近的波紋可能是吉布斯現象，而非積分誤差。」
我的輸入數據會被傳送到伺服器嗎？
不會。你的運算式和計算過程均保留在此瀏覽器中，絕不會被上傳。所有運算均在你的本機裝置上完成，保障個人隱私。