經典多普勒公式與物理機制
多普勒效應描述了波源與觀察者之間存在相對運動時，觀測頻率發生變化的物理現象。本計算器採用經典物理學中適用於靜止、均勻介質（如空氣或水）的聲波及其他機械波模型。在此模型中，所有運動均假設發生在連接波源與觀察者的直線方向上。
經典多普勒效應的通用數學表達式如下：
f′ = f₀ × (v ± vₒ) ÷ (v ∓ vₛ)
其中：
- f′ 為觀測頻率
- f₀ 為發射頻率
- v 為波在介質中的傳播速度
- vₒ 為觀察者相對於介質的速度
- vₛ 為波源相對於介質的速度
公式中符號的選擇取決於運動方向。當觀察者向波源移動時，分子使用加號以增加觀測頻率；遠離時則使用減號。相反地，當波源向觀察者移動時，分母使用減號以減小分母，從而提高觀測頻率；遠離時則使用加號。
波前壓縮與拉伸的幾何分布
當波源在介質中移動時，它會在不同位置陸續發射出球形波前。由於波源自身具有速度，在運動方向前方的波前會被擠壓得更緊密，導致波長變短，觀察者因而接收到較高的頻率。相反地，在運動後方的波前則會被拉伸，波長變長，使觀察者接收到較低的頻率。
本工具在「波前」部分提供了一個視覺化圖表，展示沿波源路徑發射的圓形波前快照；其間距顯示了因運動引起的壓縮或拉伸。圖表中亦包含圖例，分別標示出「波源」與「觀察者」的位置，幫助直觀理解空間中的波長變化。
掠過過程中的音調突變
當一個移動的波源（例如鳴笛的警車）快速通過一個靜止的觀察者時，觀察者聽到的音調會經歷一次顯著的驟降。這種現象在「掠過過程」部分進行了量化：
- 接近時：當波源與觀察者互相靠近時，觀測頻率維持在較高的數值。
- 遠離後：當兩者越過彼此並開始遠離時，觀測頻率立即降至較低的數值。
- 掠過時的音調變化：這兩者之間的差值即為「掠過時的音調變化」，代表了過渡瞬間音高的確切降幅。
在實際環境中，若運動路徑並非完全重合（例如車輛在旁邊的車道駛過），運動方向與觀察者連線之間會存在夾角，這會使音調的轉變變得較為平緩，而非瞬間跳變。
超音速運動與衝擊波極限
當波源或觀察者的運動速度達到或超過介質中的波速時，經典多普勒模型會遇到物理極限：
- 波源超音速極限：若波源以等於或大於波速的速度向觀察者接近，其發射的波前將無法傳播到波源前方，而是會沿著圓錐面堆積，形成衝擊波（即音爆）。由於此時在波源前方不存在有限的音高，系統會觸發並顯示錯誤訊息：「以等於或大於波速的速度接近的波源會將其波前堆積成衝擊波，因此在其前方不存在有限的音高。」。然而，若超音速波源正在遠離，拉伸的波前仍能正常傳播，因此計算仍可繼續。
- 觀察者超音速極限：若觀察者以等於或大於波速的速度遠離波源，其退行速度將超過波的傳播速度。此時，觀察者會跑得比波前快，永遠無法接收到波源發出的信號。系統對此會顯示錯誤訊息：「以等於或大於波速的速度遠離的觀察者會跑得比波前快，因此永遠聽不到波源。」。
計算器輸入與輸出說明
輸入參數
- 介質：下拉選單提供「空氣 (20 °C)」（波速約 343 m/s）、「空氣 (0 °C)」、「氦氣 (0 °C)」、「水 (20 °C)」及「自訂介質」。
- 波速：介質中的波傳播速度。手動修改此數值會自動將介質切換為「自訂介質」。
- 發射頻率：波源原本發出的物理頻率。
- 波源速度與觀察者速度：兩者的移動速度數值。
- 波源運動與觀察者運動：可選擇「接近」、「遠離」或「靜止」。
- 頻率單位、速度單位及顯示小數位數。
介質選擇與輸入配置完成後，若數據不完整，系統會提示：「請輸入發射頻率與波速以查看計算結果。」。計算完成後，狀態會更新為：「已計算觀測頻率與頻移。」。
輸出結果
在「觀察者聽到的結果」區域中，系統會輸出以下數據：
- 觀測頻率：計算所得的最終頻率，並附帶音高指示（「高於發射頻率」、「低於發射頻率」或「與發射頻率相同」）。
- 多普勒頻移：觀測頻率與發射頻率的絕對差值（Δf）。
- 頻移百分比：頻率變化的百分比。
- 觀測波長與發射波長：對應的空間波長。
- 波源馬赫數：波源速度與介質波速的比值。
此外，在「公式與代入計算」區域，系統會詳細列出每一步的計算過程，包括單位轉換（如 ‹from› = ‹to›）、分子與分母的代入計算（例如「分子：v ‹sign› vₒ = ‹v› ‹sign› ‹vo› = ‹num› m/s」及「分母：v ‹sign› vₛ = ‹v› ‹sign› ‹vs› = ‹den› m/s」），以及最終的頻率與頻移計算公式。
數據隱私與本地處理
本工具完全在用戶的客戶端瀏覽器中運行。你輸入的所有數據均保留在此瀏覽器中，絕不會被上傳。這確保了計算過程的私密性，不會有任何外部伺服器記錄或傳輸你的輸入參數。
常見問題
我可以用這個來計算光或天文紅移嗎？
不能。光不需要介質，而且其多普勒效應公式是相對論性的：只有波源與觀察者之間的相對速度才重要，而哪一方「真正」在移動並不重要。此計算器使用的是適用於介質中聲波和其他機械波的經典物理公式，除了在兩者幾乎一致的日常速度下，否則會得出不同的答案。
為什麼警報聲在經過我身邊的瞬間音高會下降？
當波源接近時，每個新波前的發射位置都會離你更近一點，因此它們到達時會緊密堆積，讓你聽到較高的頻率。在它經過的瞬間，同樣的運動反而會拉伸波前間距，音高隨之下降。路過對比區塊會顯示這兩個頻率，以及根據你的數值計算出的確切降幅。
當波源移動速度快於音速時會發生什麼事？
波前無法再跑到波源前方，而是會沿著圓錐面堆積，形成被聽作音爆的衝擊波。此時簡單的公式對於前方的聽者沒有有限的解答，因此計算器會顯示說明，而不是印出一個毫無意義的數字。而以快於音速的速度遠離的波源則仍然正常：其被拉伸的波前會繼續傳播，公式依然適用。
風或側向運動會改變結果嗎？
會，而且這兩者都不在此模型之內。該公式假設介質靜止，因此穩定的風（會帶動介質）會改變實際的頻移。此外，它僅處理沿著波源與觀察者連線方向的運動；對於有角度的運動，需使用沿該連線方向的分量，這也是為什麼路過的警報聲其音高是平滑漸變而非突然跳變的原因。