質心與幾何中心的物理原理
在物理學與工程學中，系統的平衡點取決於質量的分布方式。當我們分析一個由多個部件或質點組成的系統時，有兩個核心概念需要區分：
- 質心（Center of Mass）：這是系統質量的平均位置。當我們以「質量」作為加權依據時，計算出來的平衡點即為質心。
- 幾何中心（Centroid）：這是幾何形狀的中心點。當我們以「面積」或「體積」作為加權依據時，計算出來的平衡點即為幾何中心。
這兩個概念在「均勻密度」的假設下會完全重合。如果系統中每個部件的內部密度完全均勻，則透過幾何形狀（面積或體積）計算出的幾何中心，就會與其實際的物理質心一致。然而，若部件內部密度有變化，則必須將其拆分為多個較小的均勻部件，並作為獨立項目輸入，才能準確求得質心。
在極大尺度的結構（如太空電梯或山脈級結構）中，質心與**重心（Center of Gravity）**亦會產生偏差。質心僅取決於物質的分布，而重心則是重力看似作用的點。由於重力會隨高度增加而減弱，這兩個點在極高物體上會分離，但在日常工程與設計尺度下，兩者是完全相同的。
複合部件與負空間建模
面對複雜的物理對象，工程師通常不會從微觀粒子開始計算，而是採用複合部件法（Method of Composite Parts）。這種方法將複雜的物體拆解為數個已知平衡點的簡單幾何形狀（例如矩形、三角形或圓形），並將每個形狀視為單一質點。
此外，實際設計中經常遇到含有孔洞、切口或空腔的結構。在數學上，我們可以使用**負空間建模（Negative Space Modeling）**來處理：
- 先將物體視為完整的實心結構，輸入其整體的重量與座標。
- 將孔洞或切口視為獨立項目輸入，並在重量（質量、面積或體積）一欄輸入負值。
- 系統在計算時會自動減去該負值項目，從而精確扣除孔洞對整體平衡點的影響。
座標原點的獨立性
計算系統平衡點時，必須先設定一個座標系。根據**平移不變性（Translational Invariance）**原理，座標原點的選擇是完全自由的，不會改變系統物理平衡點的實際位置。
無論你將原點設在物體的左下角、幾何中心，還是系統外部的任意一點，最終計算出的平衡點相對於物體本身的物理位置都是相同的。移動原點只會讓輸出座標產生等量的平移，因此在實際操作中，選擇最容易量度與讀取各部件座標的邊角作為原點即可。
計算公式與步驟
本計算器依據以下數學公式，分別計算各個維度（1D、2D 或 3D）的平衡點座標：
平衡點座標 = (Σ (w · 座標)) / (Σ w)
其中 w 代表各項目的加權值（質量、面積或體積）。
計算步驟：
- 求和：計算所有項目的總權重 Σ w。
- 加權求和：針對每個軸，將每個項目的權重乘以其在該軸的座標，並將所有乘積相加，得到該軸的加權和 Σ(w · 軸)。
- 相除：將每個軸的加權和除以總權重，得到該軸的最終平衡點座標。
系統操作指南與規則
輸入規範
- 維度與加權：可自由選擇 1D、2D 或 3D 維度，並設定加權依據為「質量」、「面積」或「體積」。
- 單位一致性：系統不會進行任何單位換算。每個項目必須使用統一的單位（例如全部用克或全部用公斤），每個座標亦必須使用統一的單位（例如全部用毫米或全部用米）。最終答案會以你輸入的座標單位呈現。
- 留空與負值：留空的座標會被視為 0。輸入負值則可用於模擬孔洞或切口。
- 數據導入：支援從試算表複製數據區塊，並直接貼到任何儲存格中，即可自動填寫多行與多欄。
異常與錯誤處理
- 非數字輸入：若儲存格包含非數字字元，系統會報告錯誤，例如：
第 3 行：座標 欄中的「abc」不是數字。 - 總和為零：若所有項目的權重相加等於零，系統無法進行除法，會顯示：
項目總和為零，因此無法進行除法，亦不存在平衡點。請檢查是否有負值項目抵消了其餘項目。 - 項目上限：系統最多支援 500 個項目，超出時會提示：
請將系統中的項目保持在 500 個以內。 - 數值溢位：若輸入值或計算過程超出範圍，會顯示：
數值或中間計算結果超出了支援的數字範圍。
本地處理與隱私
你的項目和所有座標均保留在此瀏覽器中，絕不會被上傳。所有計算與數據處理均在你的本地設備上完成。
常見問題
平衡點會落在沒有任何物質的地方嗎？
可以，而且這是正常現象，並非錯誤。圓環、迴力鏢、馬蹄鐵和一對分離的重物，其平衡點都落在空無一物的空間中。這也是為什麼地月系統的旋轉中心是位於地球內部的一個點，而不是在兩者正中間。
如何輸入一個形狀而不是一個點？
為該形狀分配一行，並以其自身的平衡點作為座標：矩形的平衡點位於其對角線的中點，三角形位於自底邊向上三分之一處，半圓盤則距離平直邊緣約其半徑的 0.4244 倍。你可以用多個此類行來構建複雜的輪廓，並透過在孔洞自身的平衡點輸入負值行來減去孔洞。
原點設在哪裡有關係嗎？
不是——只要每一行都使用同一個原點，你可以選擇任何方便讀取座標的角或邊緣。答案會以相同的座標系呈現，因此移動原點會使報告的座標移動完全相同的量，而物理上的點則保持不變。
質心與重心是一樣的嗎？
只要重力均勻作用於每個部分，兩者就會重合，這幾乎涵蓋了你可以拿著或建造的任何物體。質心僅取決於物質的分布方式；重心則是重量看似作用的點。在足夠高的物體（例如太空電梯或山脈級結構）上，由於重力從底部到頂部有可測量的減弱，這兩個點就會分離。