探索一維與二維碰撞的物理規律
「碰撞實驗室」是一個免費的線上教學工具，專為模擬兩球在一維軌道或二維平面上的彈性與非彈性碰撞而設計。使用者可以自由設定兩球的質量、位置、速度以及碰撞的彈性程度，並在動畫區域中即時觀察它們的運動軌跡、速度箭頭以及質心的移動。當兩球相撞的瞬間，系統會自動計算並填寫一份詳盡的對比表，展示碰撞前後每隻球的速度、動量和動能變化，並精確指出在撞擊過程中損失了多少能量。
本工具完全在你的瀏覽器中進行本地計算，你所設定的所有參數和模擬數據絕不會被上傳到任何外部伺服器，確保了操作的私密性。
設定碰撞參數與操作指南
在開始模擬前，你可以透過控制面板自由調整各項物理參數，或直接選擇內建的經典物理場景：
- 維度選擇：提供「一維軌道」與「二維平面」兩種空間模式。
- 場景預設：內建多種常見的教科書物理模型，包括「等質量正碰」、「重球撞輕球」、「追撞」、「完全非彈性」以及「二維斜碰」。
- 恢復係數 e：透過滑桿調節碰撞的彈性，範圍從最小的「完全非彈性」到最大的「彈性」。
- 球體屬性設定：
- 質量：必須大於 0 kg，且上限為 1000 kg。
- 位置 x / 位置 y：設定球體在坐標系中的初始位置（位置 y 僅適用於二維平面）。
- 速度 x / 速度 y：設定球體的速度分量，每個分量必須保持在 ±50 m/s 以內。
- 互動式定位：在模擬處於「暫停」狀態時，你可以直接在畫面上拖曳球體來重新定位，模擬將會從新的設定起點重新開始。
- 播放控制：支援「播放」、「暫停」、「單步」（逐幀前進）以及「重設」功能，並可選擇「正常」或「慢速」兩種播放速度。
即時數據與碰撞前後對比
本工具提供直觀的視覺反饋與精確的數據表格，幫助你深入分析碰撞過程：
動畫區域
畫面上設有「顯示兩個球運動和碰撞的動畫區域，標有速度箭頭和質心」，讓你能直觀地看見兩球的運動軌跡與系統質心的移動路徑。
狀態提示
系統會根據當前狀態顯示相應的提示訊息，例如「請設定質量與速度，然後按下播放。」、「模擬運行中。」或「已在 t = ‹t› 秒暫停。」。
即時數據
在模擬運行時，數據面板會即時更新並顯示兩球當前的「速度」、「動量」、「動能」，以及系統整體的「總動量」與「總動能」。
碰撞前後對比
當兩球發生碰撞時，系統會自動記錄並彈出「碰撞前後對比」表（若尚未碰撞，則顯示「按下播放 — 在兩球碰撞的瞬間，此對比表會自動填寫。」）。表格會詳細列出「第 ‹n› 次碰撞，於 t = ‹t› 秒」的數據，並分為「碰撞前」、「碰撞後」與「變化」三欄，對比兩球的「速度」、「動量」與「動能」。若碰撞為非完全彈性，下方會顯示「碰撞中損失的動能：‹value› J（佔碰撞前總動能的 ‹percent›）」。
模擬器的物理公式與計算基礎
本模擬器基於以下經典力學公式進行精確計算，所有公式均以直觀的 Unicode 符號呈現：
- 動量與動能：
- 動量：p = m·v
- 動能：KE = ½·m·|v|²
- 沿中心連線的碰撞（其中 n̂ 為連接兩球中心的單位向量，相對速度 v_rel = v₂ − v₁）：
- 衝量大小：j = −(1 + e) · (v_rel · n̂) ÷ (1/m₁ + 1/m₂)
- 碰撞後速度：v₁′ = v₁ − (j/m₁)·n̂，及 v₂′ = v₂ + (j/m₂)·n̂
- 恢復係數定義：e = −(v_rel′ · n̂) ÷ (v_rel · n̂)
- 正碰彈性碰撞特例 (e = 1)：
- v₁′ = ((m₁ − m₂)·v₁ + 2·m₂·v₂) ÷ (m₁ + m₂)
- 正碰完全非彈性碰撞特例 (e = 0)：
- 共同速度：v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) ÷ (m₁ + m₂)
- 碰撞之間：
- 位置更新：x ← x + v·Δt
模擬規則、邊界條件與錯誤提示
為了確保模擬的嚴謹性與教學實用性，系統設定了以下物理假設與輸入限制：
- 理想化物理假設：本工具為理想化的教學模型，假設球體為光滑圓盤，且系統內無摩擦力、無重力、無自旋，碰撞為瞬時發生，且邊牆為完美反彈（反射球體時不改變其速度）。
- 無外力干擾：在碰撞之間沒有外力作用，因此位置精確前進，每次碰撞都在一幀內其接觸的精確時刻進行解析，確保快速移動的球不會穿過彼此。
- 輸入限制與錯誤訊息：
- 若輸入非數值字元，系統會提示：「球
‹n›，‹field›：「‹token›」不是數字。」。 - 質量必須大於零，否則提示：「球
‹n›：質量必須大於零。」。 - 質量上限為 1000 kg，超出時提示：「球
‹n›：超過 1000 kg 的質量超出了此演示的範圍。」。 - 速度分量超出 ±50 m/s 時提示：「球
‹n›：請將每個速度分量保持在 ±50 m/s 以內。」。 - 若球體初始位置在邊界外，提示：「球
‹n›的起點位於區域外 — 請將其移回邊牆內。」。 - 若兩球在起點重疊，提示：「兩球在起點重疊 — 請在運行前將它們分開。」。
- 若輸入非數值字元，系統會提示：「球
常見問題解答
為什麼即使動能不守恆，動量仍然守恆？
在碰撞過程中，兩球以大小相等、方向相反的力互相推擠，因此不論一球失去多少動量，另一球就會得到多少動量 — 無論 e 的值是多少，總動量都無法改變。動能則沒有這種保護：在非完全彈性碰撞中，部分動能會轉化為形變、熱能和聲音。碰撞前後對比表準確地顯示了這一點 — 動量行保持其數值，而能量行則有所下降。
這與真實的碰撞有多接近？
守恆定律是精確的 — 這正是車禍調查員和粒子物理學家所依賴的規律。這裡理想化的是其他所有因素：現實中的物體形變需要數毫秒而非瞬間完成、偏心受撞時會自旋、彼此摩擦並滾動到停止。請將這些數字視為乾淨實驗所接近的教科書極限，而非對特定真實物體的預測。
恢復係數實際上控制了什麼？
它是兩球分離速度與接近速度的比值，沿著連接兩球中心的直線測量。當 e = 1 時，反彈會恢復完整的接近速度，且動能守恆；當 e = 0 時，兩球完全停止分離 — 在正碰中，它們會像一個整體一樣一起運動。介於兩者之間的所有情況都會損失部分能量：籃球反彈的 e 大約為 0.6，網球在混凝土上反彈的 e 大約為 0.75。
為什麼在二維完全非彈性碰撞中，兩球沒有黏在一起？
e = 0 消除了沿中心連線方向（即兩球實際互相擠壓的方向）的分離速度。在正碰中，這就是整個運動，因此它們會一起前進。在斜碰中，每隻球還具有沿接觸面的側向運動，而光滑、無摩擦的球體沒有摩擦力來抵消它，因此即使反彈本身消失了，它們的運動路徑仍然會分開。要讓它們真正黏在一起，需要摩擦力或連鎖結構，而此模型特意省略了這些因素。