地震震央交匯定位的物理學原理
地震發生時，震源會向外釋放不同類型的地震波。其中，最先到達觀測站的是屬於縱波的 P波（Primary wave，初至波），其後抵達的是屬於橫波的 S波（Secondary wave，次至波）。由於 P波 的傳播速度比 S波 快，兩者抵達同一個觀測站的時間會出現差值，即「S−P 時間差」（Δ t）。
隨着地震波向外傳播，這兩種波的時間差會與傳播距離成正比增加。在恆定波速的假設下，觀測站與震央之間的距離（D）與時間差滿足以下物理關係：
Δ t = D (1 / Vₛ - 1 / Vₚ)
將公式重組後，即可得到距離近似公式：
D = Δt ÷ (1/Vs − 1/Vp)
利用這個公式，單一觀測站可以根據 S−P 時間差計算出一個「計算半徑」，代表震央位於以該觀測站為圓心、該距離為半徑的圓周上。
三站交匯法與最小平方法擬合
在幾何學上，單一觀測站只能約束一個距離圓。若有兩個觀測站，兩個圓會相交於兩個點。當引入第三個觀測站時，三個圓理論上會交匯於唯一的一點，這就是經典的三站交匯定位法。
然而，在實際觀測中，由於地殼介質不均勻、儀器讀數存在誤差等因素，各觀測站計算出的距離圓往往無法完美交匯於一點。為了在多個觀測站（本工具支援 3 至 8 個觀測站）的數據中找到最合理的震央位置，計算器採用了最小平方法（Least-squares treatment）進行優化擬合。
擬合過程將地球視為一個半徑 R = 6,371 km 的完美球體，並使用哈弗辛公式（Haversine formula）計算地表兩點之間的大圓角距離：
地表距離：d = R × 大圓角距離（哈弗辛公式），其中 R = 6371 km
優化算法的目標是尋找一組震央座標（緯度與經度），使所有觀測站的實測距離與理論擬合距離之間的差值平方和達到最小：
震央擬合：使所有觀測站的 Σ(dᵢ − Dᵢ)² 達至最小
觀測站幾何分佈與誤差傳播
震央定位的準確度不僅取決於時間差的精準度，還高度取決於觀測站相對於震央的空間幾何分佈。
- 幾何分佈強度：若觀測站均勻分佈在震央的四周，能從不同方向約束震央位置，計算器會評估為「觀測站幾何分佈良好」；若觀測站集中在同一側或排成一直線，則會評估為「觀測站幾何分佈薄弱」，此時微小的測量誤差也會導致定位出現極大偏差。
- 時間不確定性傳播：用戶輸入的「時間不確定性 (1σ)」會通過距離因子傳播。計算器會結合觀測站的幾何分佈，估算出主水平軸方向的定位不確定性。
工具輸入與輸出指標
本工具提供直觀的界面，讓用戶輸入觀測數據並即時檢視擬合結果。
輸入參數
- 觀測站觀測數據（3 至 8 個觀測站）：
- 觀測站名稱
- 緯度：必須介乎 -90^° 至 90^° 之間。
- 經度：必須介乎 -180^° 至 180^° 之間。
- S−P 時間差：必須大於 0 且不大於 2,000 秒。
- 傳播模型參數：
- P-wave 速度：大於 0 且不大於 20 km/s，且必須大於 S-wave 速度。
- S-wave 速度：大於 0 且不大於 20 km/s，且必須小於 P-wave 速度。
- 時間不確定性 (1σ)：必須大於 0 且不超過 60 秒。
用戶可點擊「載入東京範例」快速載入示範數據，或點擊「清除」重設所有輸入框。
輸出與評估指標
- 觀測站擬合情況：列表顯示每個觀測站的「S−P 距離」、「球面距離」及「殘差」。殘差為正值代表擬合震央比 S−P 計算半徑更遠，負值則代表較近。
- 震央解算結果：
- 估算震央：計算出的緯度與經度。
- 距離擬合質量：顯示為「距離擬合緊密」、「距離擬合一般」或「距離擬合欠佳」。
- 觀測站幾何分佈質量：顯示為「觀測站幾何分佈良好」、「觀測站幾何分佈中等」或「觀測站幾何分佈薄弱」。
- 數值指標：包括「均方根距離殘差」、「最大距離殘差」、「約略定位 1σ 不確定性」及「每站距離 1σ 不確定性」。
- 觀測站幾何分佈示意圖：展示觀測站與震央的相對幾何關係，並附有說明：「僅顯示相對幾何關係 — 無地圖、邊界或即時地震數據。」
數據隱私與本地處理
本工具充分保護用戶的隱私。所有輸入的觀測站座標、S−P 時間以及最終的計算結果，均完全保留在用戶的本地瀏覽器裝置中進行運算，絕不會被上傳至任何外部伺服器。
常見問題
為什麼需要三個觀測站？
單一觀測站的 S−P 測量值只能提供一個距離圓，而非方向。兩個圓會在兩處相交。第三個觀測站通常能決定正確的位置，而第四個或更多的觀測站則能透過殘差反映出不匹配的情況。圍繞震源分佈的觀測站比排成一直線的觀測站能更好地約束經緯度。
S−P 距離是準確的地表距離嗎？
不是。常速公式僅是根據到達時間差估算一條共同的傳播路徑。將該半徑視為球面地表距離，是假設了淺源地震並簡化了速度結構。實際的走時曲線取決於震源深度、距離以及每條地震射線穿過的介質。
正殘差或負殘差代表什麼？
殘差是指擬合的球面距離減去由 S−P 估算出的距離。正值代表擬合點與該觀測站的距離大於其 S−P 半徑；負值則代表較近。若出現較大且正負不一的殘差，說明在所選的速度下，各圓形無法乾淨地交匯於單一點。
定位不確定性中包含了什麼？
它將單一的時間 1σ 值，透過 S−P 距離因子以及擬合點附近的觀測站幾何分佈進行傳播。此估算並未考慮速度模型錯誤、震源深度、震相識別錯誤、觀測站時鐘偏差或三維地球結構，因此並非完整的準確度聲明。