古典都卜勒效應的數學原理
都卜勒效應描述了波源與觀察者之間存在相對運動時，觀察者所接收到的波之頻率發生變化的物理現象。本計算器採用古典物理模型，模擬聲波或其他機械波在靜止且均勻介質中的傳播規律，且所有運動皆發生在波源與觀察者的連線上。
在古典模型中，介質是波傳播的參考基準面。當波源或觀察者相對於介質運動時，波前（Wavefronts）在空間中的分佈會被壓縮或拉伸。其基本計算公式如下：
f′ = f₀ × (v ± vₒ) ÷ (v ∓ vₛ)
其中：
- f′ 為觀測頻率
- f₀ 為發射頻率
- v 為波速
- vₒ 為觀察者速度
- vₛ 為波源速度
公式中分子與分母的加減號，取決於運動方向是「接近」還是「遠離」。當觀察者向波源移動時，分子使用加號以增加觀測頻率；當波源向觀察者移動時，分母使用減號以減少分母，進而同樣使觀測頻率上升。
計算器輸入參數說明
在使用都卜勒效應計算器時，您需要設定以下參數以進行精確模擬：
- 介質：下拉選單提供多種預設環境，包括「空氣 (20 °C)」、「空氣 (0 °C)」、「氦氣 (0 °C)」、「水 (20 °C)」或「自訂介質」。
- 波速：波在介質中的傳播速度。若您手動編輯此欄位，系統會自動將介質切換為「自訂介質」。
- 發射頻率：波源原本發出的物理頻率。
- 波源速度與觀察者速度：兩者相對於介質的移動速度大小。
- 波源運動與觀察者運動：可分別設定為「接近」、「遠離」或「靜止」。
- 單位與精度：可自由選擇「頻率單位」、「速度單位」以及「顯示小數位數」。
介面亦提供「載入範例」按鈕以快速填入示範數值，或點擊「清除」重設所有輸入欄位。
輸出結果與物理指標
當輸入完整的發射頻率與波速後，計算器會即時顯示狀態訊息「已算出觀測頻率與頻移。」並輸出以下四大區塊的詳細數據：
觀察者聽到的聲音
- 觀測頻率：計算出的實際接收頻率，並標示音調為「高於發射頻率」、「低於發射頻率」或「與發射頻率相同」。
- 都卜勒頻移：觀測頻率與發射頻率的絕對差值（Δf）。
- 頻移百分比：頻率變化的比例。
- 觀測波長與發射波長：波在傳播介質中與被觀察者接收時的實際空間波長。
- 波源馬赫數：波源速度相對於該介質波速的比值。
交會通過
此區塊模擬波源與觀察者持續運動並交會時的動態變化：
- 接近時：雙方互相靠近時的觀測頻率。
- 通過後：雙方交會並開始遠離後的觀測頻率。
- 通過時的音調變化：在交會瞬間，頻率驟降的精確數值。
波前
此區塊繪製波源沿路徑發射的圓形波前快照，波前的間距呈現運動所造成的壓縮或拉伸；圖例標示波源與觀察者的位置。
公式與代入計算
本工具會完整呈現計算步驟，包括單位轉換「‹from› = ‹to›」，以及分子與分母的代入過程（例如「分子：v ‹sign› vₒ = ‹v› ‹sign› ‹vo› = ‹num› m/s」與「分母：v ‹sign› vₛ = ‹v› ‹sign› ‹vs› = ‹den› m/s」），最後導出「f′ = f₀ × ‹num› ÷ ‹den› = ‹freq›」與「Δf = ‹freq› − ‹f0› = ‹shift› (‹percent›)」。
物理極限與錯誤處理機制
本計算器嚴格遵循古典物理定律，並針對極端物理情境進行限制與提示：
- 超音速波源限制：若波源以大於或等於波速的速度接近（馬赫數 ≥ 1），波前將無法向前方傳播，而是堆積成衝擊波（音爆）。此時前方不存在有限的音調，系統會顯示錯誤訊息：「波源以大於或等於波速的速度接近時，會將波前堆積成衝擊波，因此前方不存在有限的音調。」。但若超音速波源正在遠離，則因波前向後拉伸，仍可正常計算。
- 超音速觀察者限制：若觀察者以大於或等於波速的速度遠離，其退後速度大於波的傳播速度，將永遠無法接收到波。此時系統會提示：「觀察者以大於或等於波速的速度遠離時，會跑得比波前更快，因此永遠聽不到波源。」。
- 數值驗證：若輸入非數字，會顯示「
‹field›：「‹token›」不是數字。」；若輸入負數速度，會提示「‹field›：請輸入正的速度大小，並在旁邊設定移動方向。」；發射頻率與波速必須大於零，否則分別提示「發射頻率必須大於零。」與「波速必須大於零。」。若計算超出範圍則顯示「數值或中間計算結果超出了支援的數字範圍。」。
隱私與資料處理說明
本工具的運算完全在您的用戶端設備上完成。您輸入的所有數字都保留在此瀏覽器中，絕不會被上傳至任何外部伺服器，確保您的輸入資料隱私。
常見問題
我能將此計算器用於光或天文紅移嗎？
不行。光不需要介質，且其都卜勒效應遵循相對論性規律：只有波源與觀察者之間的相對速度重要，誰「真正」在移動並不影響結果。本計算器使用的是適用於介質中聲波與其他機械波的古典物理規律，除了在日常低速下兩者幾乎一致外，其餘情況算出的結果皆不相同。
為什麼警笛通過我的瞬間，音調會突然下降？
當波源接近時，每個新波前的發射位置都離您更近一些，因此它們抵達時會擠在一起，讓您聽到較高的頻率。在通過的瞬間，同樣的運動反而會拉開波前的間距，使音調下降。交會通過區塊會顯示這兩種頻率，以及針對您的數值算出的精確降幅。
當波源移動速度比音速更快時會怎樣？
此時波前無法再跑到波源前方，而是會沿著圓錐面堆積，形成聽起來像音爆的衝擊波。此時簡單的公式對前方的聽者來說沒有有限的解答，因此計算器會顯示說明，而不是印出無意義的數字。不過，波源以超音速遠離時仍可正常計算：其被拉伸的波前會繼續傳播，公式依然成立。
風或側向運動會改變計算結果嗎？
會，且這兩者都不在此模型的討論範圍內。本公式假設介質靜止，因此穩定的風（會帶動介質移動）會改變實際的頻移。此外，本工具僅處理波源與觀察者連線上的運動；若為有夾角的運動，則必須使用該連線上的分量，這也是為什麼通過身邊的警笛音調是平滑漸變，而不是突然跳變的原因。