碰撞實驗室

探索一維與二維碰撞的物理動態

在物理學中，碰撞是研究動量與能量轉移最直接的現象。「碰撞實驗室」提供了一個直觀且精確的模擬環境，讓使用者能夠自由設定兩顆球體的物理屬性，並在「一維軌道」或「二維平面」中觀察它們的運動與相互作用。

透過調整兩球的質量、初始位置、速度以及代表碰撞彈性程度的「恢復係數 e」，本工具能即時模擬出符合物理定律的動態軌跡。當兩球發生碰撞時，系統會自動記錄並呈現碰撞前後的各項物理量變化，幫助使用者深入理解守恆定律在不同維度與彈性條件下的實際運作。

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設定碰撞條件與輸入參數

要開始一次碰撞模擬，使用者可以透過控制面板調整以下各項參數與設定：

• 維度：可選擇「一維軌道」進行直線碰撞，或選擇「二維平面」觀察斜向碰撞。
• 情境預設：內建多種經典物理模型，包括「等質量正向碰撞」、「重球撞輕球」、「追撞」、「完全非彈性碰撞」以及「二維斜向碰撞」。
• 恢復係數 e：透過滑桿控制碰撞的彈性，範圍從「完全非彈性」（最小值）到「完全彈性」（最大值）。
• 球 1 與球 2 屬性：
  • 質量：必須大於零，且上限為 1000 kg。
  • 位置 x 與 位置 y（僅二維需要）：設定球體的初始坐標。
  • 速度 x 與 速度 y（僅二維需要）：設定球體的速度分量，限制在 ±50 m/s 以內。
• 互動式定位：在模擬暫停時，使用者可以直接在動畫區域中拖曳球體來重新定位，模擬將會從新的設定重新開始。
• 播放速度：可選擇「正常」或「慢速」以利觀察細微的碰撞過程。
• 模擬控制：提供「播放」、「暫停」、「單步」（逐格前進）及「重設」等操作按鈕。

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即時數據與碰撞前後對照

本工具在運行時會即時計算並呈現多項關鍵數據，分為即時狀態與碰撞前後對照兩大部分：

顯示兩球移動與碰撞的動畫區域，標有速度箭頭與質心

在模擬的主畫面中，兩顆球體會依據設定的速度移動，畫面上會清楚標示出每顆球的速度向量箭頭，以及兩球系統的共同質心位置。

即時狀態

在模擬運行的過程中，系統會顯示目前的狀態訊息，例如「設定質量與速度，然後按下播放。」、「模擬執行中。」或「已在 t = ‹t› 秒暫停。」。同時，右側的數據表會即時更新以下數值：

• 速度
• 動量
• 動能
• 總動量
• 總動能

碰撞前後對照

當兩球相撞的瞬間，系統會自動填入對照表，記錄「第 ‹n› 次碰撞，於 t = ‹t› 秒」的精確數據。此表格包含「變化量」以及碰撞前、後的對比：

在對照表下方，系統會明確指出「碰撞中損失的動能：‹value› J（佔碰撞前總動能的 ‹percent›）」。

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模擬背後的物理公式

本模擬器採用標準物理學公式進行精確計算，所有計算均在背景即時完成：

• 動量與動能：
  • 動量：p = m·v
  • 動能：KE = ½·m·|v|²
• 沿連心線方向的碰撞（設 n̂ 為連接兩球心的單位向量，相對速度 v_rel = v₂ − v₁）：
  • 衝量大小：j = −(1 + e) · (v_rel · n̂) ÷ (1/m₁ + 1/m₂)
  • 碰撞後速度：v₁′ = v₁ − (j/m₁)·n̂ 且 v₂′ = v₂ + (j/m₂)·n̂
  • 恢復係數定義：e = −(v_rel′ · n̂) ÷ (v_rel · n̂)
• 正向完全彈性碰撞特例 (e = 1)：
  • v₁′ = ((m₁ − m₂)·v₁ + 2·m₂·v₂) ÷ (m₁ + m₂)
• 正向完全非彈性碰撞特例 (e = 0)：
  • 碰撞後共同速度：v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) ÷ (m₁ + m₂)
• 碰撞之間：
  • 位置更新：x ← x + v·Δt

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物理假設與邊界規則

為了提供一個清晰且便於教學的物理模型，本模擬器基於以下理想化假設與規則運行：

• 理想化物理假設：本系統為一個理想化的教學模型，假設球體為光滑圓盤、無摩擦力、無重力作用、無自旋，且碰撞為瞬間發生。
• 無外力干擾：在碰撞之間沒有外力作用，因此球體的位置前進是精確計算的，而非數值近似值。
• 精確碰撞解析：每次碰撞都在影格內接觸的精確時刻進行解析，即使是快速移動的球體也絕不會發生互相穿透或滑過的現象。
• 邊牆反射：模擬區域的邊牆為完全彈性，當球體撞擊邊牆時，會以相同速率反彈，不損失任何動能。
• 恢復係數的物理意義：當 e = 1 時，系統總動能完全守恆。當 e = 0 時，兩球沿連心線方向的相對分離速度降為零。在二維斜向碰撞中，若 e = 0，由於球體表面無摩擦力，兩球仍會保有沿著接觸面切線方向的側向速度，因此它們不會黏在一起移動。

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輸入限制與錯誤提示

為了確保模擬的穩定性與物理合理性，系統設有嚴格的輸入限制，並會在不符規範時顯示對應的錯誤訊息：

• 數值格式錯誤：若輸入非數字字元，顯示「球 ‹n›，‹field›：「‹token›」不是數字。」。
• 質量限制：質量必須大於零且不可超過 1000 kg。
  • 若小於或等於零，顯示「球 ‹n›：質量必須大於零。」。
  • 若超過上限，顯示「球 ‹n›：超過 1000 kg 的質量超出了此演示的範圍。」。
• 速度限制：每個速度分量必須保持在 ±50 m/s 以內，否則顯示「球 ‹n›：請將每個速度分量保持在 ±50 m/s 以內。」。
• 位置限制：
  • 若球體初始位置超出邊牆，顯示「球 ‹n› 的起點在區域外 — 請將其移回邊牆內。」。
  • 若兩球在模擬開始前就發生重疊，顯示「兩球在起點重疊 — 請在執行前將它們分開。」。

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隱私與運算說明

整個模擬都在此瀏覽器中執行 — 您輸入的任何設定都絕不會被上傳。所有的物理軌跡計算與數據分析皆在您的本機裝置上即時完成，保障您的操作隱私。

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常見問題

為什麼即使動能不守恆，動量依然守恆？

在碰撞過程中，兩球以大小相等、方向相反的力互相推擠，因此不論一球失去多少動量，另一球就會得到多少動量 — 無論 e 的值為何，總動量都不會改變。動能則沒有這種保護：在非完全彈性碰撞中，部分動能會轉化為形變、熱能和聲音。碰撞前後對照表精確地呈現了這一點 — 動量列保持其數值，而能量列則下降。

這與真實的碰撞有多接近？

守恆定律是精確無誤的 — 這也是事故調查員和粒子物理學家所依賴的原理。這裡理想化的是其他所有條件：真實物體是在數毫秒內發生形變而非瞬間完成、在偏心受撞時會自旋、會互相摩擦並滾動到停止。請將這些數字視為乾淨實驗所接近的教科書極限，而非對特定真實物體的預測。

恢復係數實際上控制了什麼？

它是兩球分離速度與接近速度的比值，沿著連接兩球中心的直線測量。當 e = 1 時，反彈會回復完整的接近速度，且動能守恆；當 e = 0 時，球體完全停止分離 — 在正向碰撞中，它們會像一個整體一樣一起移動。介於兩者之間的所有情況都會損失部分能量：籃球反彈的 e 大約為 0.6，網球在混凝土上反彈的大約為 0.75。

為什麼在二維完全非彈性碰撞中，兩球沒有黏在一起？

e = 0 消除了解離方向（即兩球實際互相擠壓的連心線方向）上的分離速度。在正向碰撞中，這就是全部的運動，因此它們會一起移動。在斜向碰撞中，每顆球還具有沿著接觸面的側向運動，而光滑、無摩擦的球體沒有摩擦力來抵消它，因此即使反彈消失了，它們的運動路徑依然會分開。要讓它們真正黏在一起需要摩擦力或連鎖結構，而本模型刻意忽略了這些因素。