黑體輻射與理想輻射體
在熱力學中，黑體是一個理想化的物理電磁輻射體。它能夠完全吸收照射在其上的所有波長，不發生任何反射與透射，並同時以最大效率向外釋放熱輻射。黑體輻射計算器是一個旨在探索此類理想或灰體輻射體熱光譜的工具。
透過輸入溫度或測得的峰值波長，使用者可以立即確定熱光譜的峰值位置、識別其所屬的光譜區域、計算總輻射功率，並求得峰值處的光譜輻射強度。此外，本工具還支援評估特定波長下的光譜輻射強度，並將其與峰值進行對比，同時繪製出普朗克光譜輻射強度對波長的曲線圖，並標記了峰值與可見光波段。
普朗克黑體輻射定律
普朗克定律奠定了量子力學的基礎，它描述了在特定溫度 T 下，黑體在不同波長 λ 處發射的電磁輻射強度。其光譜輻射強度 B_λ(λ,T) 的數學表達式如下：
B_λ(λ,T) = 2hc² / (λ⁵) · 1 / (e^(hc / (λ k T)) - 1)
在此公式中，各項物理常數定義如下：
- h 代表普朗克常數
- c 代表光速
- k 代表波茲曼常數
當計算中的指數項 hc / (λ k T) > ≈ 700 時，指數函數 eˣ 會因數值過大而溢位至無窮大，此時計算器會將光譜輻射強度 B_λ 評估為 0。當波長 λ 或溫度 T 極小時，亦會觸發此數值邊界。
維恩位移定律與溫度關係
維恩位移定律指出，黑體熱輻射的光譜峰值波長 λₘₐₓ 與其絕對溫度 T 成反比。隨著溫度升高，輻射能量的峰值會向較短的波長移動。其計算公式為：
λₘₐₓ = b / T
其中 b 為維恩位移常數，採用 CODATA 2022 推薦值：
b = 2.897771955 × 10⁻³ m·K
此定律解釋了物體受熱時的顏色轉變。當物體溫度較低時，其輻射峰值位於紅外線區域；隨著溫度升高，光譜曲線跨越可見光範圍，物體會依序呈現暗紅色、橘色，最終在極高溫度下呈現白藍色。
史蒂芬-波茲曼定律與發射率
史蒂芬-波茲曼定律描述了黑體表面單位面積所釋放的總輻射功率 M 與其絕對溫度 T 的四次方成正比：
M = εσ T⁴
其中 σ 為史蒂芬-波茲曼常數，其值為：
σ = 5.670374419 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴
對於真實世界的材料，其輻射效率低於理想黑體。我們引入發射率 ε（介於 0 與 1 之間）來修正此偏差。將發射率設定在 1 以下可模擬灰體，這會按比例調降所有輻射量（包括總功率與各波長的光譜輻射強度），但不會改變峰值波長的位置或光譜曲線的整體形狀。
輸入驗證與數值限制
為了確保計算的物理合理性與數值穩定性，計算器設有嚴格的輸入限制與錯誤提示：
- 非數值輸入：若輸入無法解析為數字，將顯示「
「‹token›」不是數字。」。 - 絕對零度限制：溫度必須高於絕對零度，否則顯示「
溫度必須高於絕對零度（0 K、−273.15 °C、−459.67 °F）。」。 - 最高溫度限制：溫度上限為 10⁹ K，超出時顯示「
溫度必須保持在 10⁹ K 或以下。」。 - 波長範圍限制：評估波長必須介於 0.0001 nm 與 1 m 之間，否則顯示「
波長必須介於 0.0001 nm 與 1 m 之間。」。 - 發射率限制：發射率必須大於 0 且最大為 1，否則顯示「
發射率必須大於 0 且最大為 1。」。
當系統處於未輸入有效溫度的初始狀態時，會顯示「輸入高於絕對零度的溫度以顯示光譜。」；計算成功後則會顯示「溫度為 ‹t› 的輻射體光譜。」。所有計算均在您的瀏覽器本機完成，您輸入的溫度與波長絕不會離開您的裝置。
常見問答
黑體究竟是什麼？
理想化的物體會吸收照射在其上的所有波長，並反過來發出該溫度的表面所能產生的最強熱輻射光譜。現實中沒有完美的黑體，但恆星、窯爐內部和燈絲已經足夠接近，因此理想曲線是標準的第一步模型 — 這裡的數字即為該理想上限。
為什麼溫度越高的物體發出的光越偏藍？
維恩定律將峰值定位在 b ÷ T，因此溫度加倍會使峰值波長減半。金屬條在約 800 K 時會從看不見的紅外線升溫至暗紅色、橘色，接著隨著更多曲線跨越整個可見光範圍而呈現白色；太陽 5772 K 的表面峰值則在 502 nm 附近，位於可見光綠藍色的中間。
我可以從恆星的顏色估計其溫度嗎？
是的 — 將計算器切換為從峰值波長開始，它就會反推維恩定律 T = b ÷ λ。峰值在 400 nm 的恆星計算出來約為 7 200 K。請將其視為估計值：恆星僅近似於黑體，且吸收線或星際紅化可能會改變測得的峰值位置。
發射率會改變什麼，又會保留什麼？
將 ε 設定在 1 以下可模擬灰體：所有輻射量（總功率與各波長的輻射強度）都會乘以 ε，而曲線形狀與峰值波長則保持在完全相同的位置。實際的材料更為複雜，其 ε 會隨波長而變化，這是單一數值無法完整呈現的。