在物理學與工程設計中，尋找一個系統的平衡點是至關重要的步驟。不論是設計無人機、分析複合結構，還是解決力學問題，「質心計算器」都能協助您快速找出點質量或多個部件在維度 1D、2D 或 3D 空間中的平衡點。
質心與幾何中心的物理定義
在進行計算時，首先必須釐清「質心」與「幾何中心」的差異：
- 質心（Center of Mass）：當系統的項目加權依據選擇「質量」時，計算出來的平衡點即為質心。這代表了物體質量的平均分佈位置。
- 幾何中心（Centroid）：當項目加權依據選擇「面積」或「體積」時，計算結果則稱為幾何中心。幾何中心僅取決於幾何形狀。只有在每個部件的內部密度完全相同時，它才會是質心。若部件內部密度有變化，則必須先拆解成較小的部件，以確保計算的準確性。
複合部件與負空間建模
在實際工程中，我們經常需要處理複雜的實體，而非單純的質點。這時可以使用「複合部件法」與「負空間建模」來簡化計算：
- 複合部件法：每一列都視為一個點：一個質點，或是您已知其自身平衡點的部件。您可以將複雜的物體拆解成數個規則幾何形狀，並將各形狀的中心座標與對應的重量（質量、面積或體積）輸入表中。
- 負空間建模：若結構中含有孔洞、切口或凹槽，可以使用負值項目來模擬。負值項目會被扣除，這通常用來模擬孔洞或挖空。例如，在一個大平板（正面積）中挖去一個圓孔（負面積），系統會自動在總和中扣除該圓孔的影響，進而求得正確的剩餘實體幾何中心。
系統輸入與操作指南
本工具提供直覺的介面，讓您能精確輸入系統參數：
- 維度：可自由切換 1D、2D 或 3D 系統。
- 項目加權依據：可選擇「質量」、「面積」或「體積」。
- 顯示小數位數：控制輸出結果的數值精度。
- 數據輸入：
- 您可以手動點擊「新增項目」來增加資料列。
- 本工具支援便捷的批次輸入：您可以從試算表複製區塊並貼到任何儲存格中，以從該處開始填入各列。
- 座標留空會視為 0，若要模擬孔洞或挖空，請使用負值項目。
- 若想快速測試，可點擊「載入範例」按鈕，系統將自動載入包含「馬達」、「電池」與「相機」的預設系統。
- 若要重新開始，點擊「清除項目」即可清空所有數據。
運算規則與限制
- 單位一致性：每個項目請使用統一的單位，每個座標也請使用統一的單位。答案會以您輸入的座標單位呈現，系統不會為您進行任何單位換算。
- 平移不變性：平衡點的位置與座標原點的選擇無關。移動原點只會讓輸出座標產生等量位移，不會改變物理上的平衡點位置。
- 系統限制：請將系統保持在 500 個項目以內。
- 異常處理：
- 若輸入非數值字元，系統會提示錯誤，例如：「第 2 列：座標 欄中的「abc」不是數字。」。
- 若所有項目的權重總和為零，系統會顯示：「項目總和為零，因此沒有可除的基數，亦不存在平衡點。請檢查是否有負值項目抵消了其他項目。」。
- 若數值超出計算極限，則會顯示：「數值或中間計算結果超出了支援的數字範圍。」。
計算結果與數學推導
當您輸入數據後，工具會即時呈現詳細的計算結果：
- 平衡點座標：顯示最終的平衡點座標，並提供「複製結果」功能。
- 總量統計：依據加權類型，顯示「總質量」、「總面積」或「總體積」，以及總「項目數」。
- 計算表格：詳細列出各個「座標」軸向的「加權和」與最終「座標」。
- 公式與代入計算： 系統會輸出完整的逐步推導過程，首先顯示總和： 來自 n 個項目的總和： Σ w = total 接著針對每個啟用的軸向輸出計算式： 軸： Σ(w · axis) = moment，因此 axis = moment ÷ total = center
- 系統分布圖：繪製項目分布圖，繪製為圓圈，大小依其佔總和的比例而定，平衡點以十字標記。
隱私與本地處理說明
您的項目與所有座標均保留在此瀏覽器中，絕不會被上傳。所有的運算與資料處理皆在您的本機裝置上完成，確保您的工程數據與隱私得到妥善保護。
常見問題
我要如何輸入一個形狀而不是一個點？
為該形狀建立一列，並以其自身的平衡點作為座標：矩形的平衡點位於其對角線的中點，三角形位於從底邊往上三分之一處，半圓盤則距離平直邊約 0.4244 倍半徑處。您可以由數個此類列構建出複雜的外輪廓，並在孔洞自身的平衡點上輸入一個負值列來扣除孔洞。
質心和重心是一樣的嗎？
只要重力均勻作用於每個部分，兩者就會重合，這幾乎涵蓋了您能拿著或建造的所有物體。質心僅取決於物質的分布方式；重心則是重量看似作用的點。在高度足以使重力從底部到頂部產生明顯減弱的物體上（例如太空纜繩或大山規模的結構物），這兩者才會分離。
原點設在哪裡有關係嗎？
不影響。只要每一列都使用同一個原點，您可以選擇任何方便讀取座標的角或邊緣。答案會以相同的座標系呈現，因此移動原點會使報告的座標移動完全相同的量，而物理上的點則保持不變。
平衡點會落在沒有任何物質的地方嗎？
可以，而且這是正常現象，並非錯誤。圓環、迴力鏢、馬蹄鐵以及一對分離的重物，其平衡點都落在空無一物的空間中。這也是為什麼地月系統的旋轉中心是埋在地球內部，而不是在兩者正中間的原因。