地震波傳播與震央交會定位原理
地震發生時，震源會同時釋放出不同類型的地震波。其中，P 波（初達波或縱波）的傳播速度較快，而 S 波（次達波或橫波）的速度較慢。當這兩種波向外傳播並抵達地震觀測站時，兩者之間的時間差（即 S−P 時間差）會隨著傳播距離的增加而逐漸拉開。
在假設地殼介質均勻且地震為淺源地震的前提下，抵達時間差 Δ t、測站至震央的距離 D、P 波波速 Vₚ 與 S 波波速 Vₛ 滿足以下等速走時關係：
Δ t = D × (1 / Vₛ - 1 / Vₚ)
將此公式重新整理後，即可推導出單一測站的距離估算公式：
D = Δ t ÷ (1 / Vₛ - 1 / Vₚ)
在幾何學上，單一測站所估算出的 D 代表以該測站為圓心、以 D 為半徑在地球表面所繪製出的一個圓圈。若只有一個測站，我們只能確定震央位於該圓周上的某處；當有兩個測站時，兩個圓圈會交會於兩個可能的點；而當引入第三個測站時，三個圓圈便能交會於唯一的點，這就是經典的三站交會定位法。
最小平方法與球面擬合計算
在實際觀測中，由於儀器讀數存在誤差、地質結構不均勻等因素，各測站繪製出的距離圓圈通常無法完美交會於單一點。為了在多個測站（本工具支援 3 至 8 個測站）的觀測數據中尋找最合理的震央位置，計算器採用了最小平方法（Least-Squares Treatment）進行球面擬合。
本工具將地球視為一個平均半徑 R = 6,371 km 的完美球體。對於任意擬合點，其與第 i 個測站之間的球面距離 dᵢ 是透過大圓角（haversine central angle）公式計算而得：
d = R × haversine 大圓角
最小平方法的目標，是透過反覆迭代，尋找一組緯度與經度座標，使所有測站的實測估算距離 Dᵢ 與球面擬合距離 dᵢ 之間的殘差平方和達到最小：
震央擬合：使所有測站的 Σ(dᵢ - Dᵢ)² 最小化
透過此數學優化過程，即使觀測數據存在微小偏差，計算器仍能求得一個最符合整體觀測結果的「最佳球面擬合」震央座標。
測站幾何結構與誤差傳播
震央定位的精確度不僅取決於時間觀測的準確性，更深受觀測站空間分布（即測站幾何結構）的影響。
- 幾何結構強度：若觀測站均勻分布在震央的各個方向，能從不同角度約束震央位置，此時會呈現「測站幾何結構良好」；反之，若所有測站都排成一直線或緊密聚集在同一側，則無法有效約束二維平面上的位置，會呈現「測站幾何結構薄弱」，甚至可能導致計算不穩定。
- 殘差分析：殘差定義為球面擬合距離減去由 S−P 時間差估算出的距離（dᵢ - Dᵢ）。正殘差代表擬合震央與該測站的實際距離大於其 S−P 估算半徑；負殘差則代表較近。均方根（RMS）距離殘差與最大距離殘差是評估整體擬合品質的重要指標。
- 誤差傳播：使用者輸入的時間不確定度（1σ）會經由距離因子傳播至空間定位中。結合測站幾何結構的強弱，計算器會推導出水平主軸方向的約略定位 1σ 誤差範圍。
簡化教學模型的局限性
本工具旨在作為地震學與地球物理學的教學輔助工具，採用了高度簡化的物理模型。
在真實的地球物理實務中，專業地震目錄（如 USGS 提供的權威數據）定位過程要複雜得多。真實的地震定位必須考慮以下因素：
- 震源深度：地震並非都發生在地表，震源深度（Focal Depth）會顯著改變波的走時路徑。
- 非均勻波速結構：地殼與地函並非均勻介質，地震波在不同深度的岩層中傳播速度不同，且射線路徑會因折射與反射而彎曲。
- 系統性誤差：實際定位需使用區域走時模型，並修正測站時鐘偏差、震相識別錯誤等系統性影響。
因此，本工具的計算結果僅供教學與原理演示用途，不應視為專業的地震觀測報告。
系統操作與輸入規範
使用者在使用本計算器時，需提供以下參數，系統會即時在瀏覽器本地端進行計算，確保隱私安全：
1. 傳播模型參數
- P 波波速：必須大於 0 且不大於 20 km/s，且必須大於 S 波波速。
- S 波波速：必須大於 0 且不大於 20 km/s，且必須小於 P 波波速。
- 時間不確定度 (1σ)：必須大於 0 且不大於 60 秒。
2. 測站觀測數據（3 至 8 個測站）
- 緯度：必須介於 −90° 至 90° 之間。
- 經度：必須介於 −180° 至 180° 之間。
- S−P 時間差：必須大於 0 且不大於 2000 秒。
使用者可點選「載入東京範例」快速填入示範數據，或點選「清除」重設所有輸入框。
常見問題解答
為什麼需要三個測站？
單一 S−P 觀測值只能提供一個距離圓圈，無法提供方向。兩個圓圈會交會於兩處。第三個測站通常能決定唯一的選擇，而第四個或更多的測站則能透過殘差反映出不匹配的情況。均勻分布在震源周圍的測站，比起排成一直線的測站，能更好地約束緯度與經度。
S−P 距離是確切的地表距離嗎？
否。等速公式是根據走時差估算出一條共同的傳播路徑長度。將該半徑視為球面地表距離，是假設了極淺源地震與簡單的波速結構。實際的走時曲線取決於震源深度、距離以及各射線穿過的介質。
正殘差或負殘差代表什麼意思？
殘差是指擬合的球面距離減去由 S−P 估算出的距離。正值代表擬合點與該測站的距離大於其 S−P 半徑；負值則代表較近。若出現較大且正負交錯的殘差，表示在所選的波速下，各圓圈無法乾淨地交會於單一點。
定位不確定度中包含哪些因素？
此數值是將單一時間 1σ 值，透過 S−P 距離因子與擬合點附近的測站幾何結構傳播計算而得。它並未包含波速模型錯誤、震源深度、震相識別錯誤、測站時鐘偏差或三維地球結構的影響，因此並非完整的精確度聲明。