Z-stig og staðalfráviksreiknivél

Skilningur á z-stigum og hlutverki þeirra í tölfræði

Z-stig, sem einnig er nefnt staðlað stig, er mælikvarði á það hversu mörgum staðalfrávikum tiltekið gildi (x) liggur frá meðaltali (μ) gagnasafnsins. Þegar z-stig er reiknað er upprunalega mælieiningin færð yfir á staðlaðan kvarða þar sem meðaltalið er alltaf 0 og staðalfrávikið er 1. Þessi umbreyting breytir ekki lögun dreifingarinnar heldur endurskalar hana eingöngu, sem gerir kleift að bera saman ólík gagnasöfn beint.

Ef z-stig er jákvætt liggur gildið ofan við meðaltalið, en neikvætt z-stig sýnir að gildið er undir meðaltalinu. Ef z-stigið er nákvæmlega 0 er gildið jafnt meðaltalinu. Þessi mælikvarði nýtist sérstaklega vel þegar meta þarf hversu óvenjulegt eða dæmigert tiltekið gagnapunkt er innan ákveðins hóps.

Munurinn á staðalfráviki þýðis og úrtaks

Þegar staðalfrávik er reiknað er nauðsynlegt að velja á milli tveggja ólíkra aðferða eftir því hvað gögnin tákna:

• Þýði ÷ n: Þessi valkostur er notaður þegar gagnasafnið inniheldur öll gildi þess hóps sem verið er að rannsaka. Formúlan deilir summu fervika með heildarfjöldanum n. Niðurstaðan er sýnd sem Staðalfrávik þýðis σ.
• Úrtak ÷ n − 1: Þessi valkostur á við þegar gögnin eru úrtak úr stærri heild og markmiðið er að áætla staðalfrávik stærra þýðis. Með því að deila með n - 1 (Bessels-leiðrétting) er komið í veg fyrir kerfisbundið vanmat á dreifni sem minni úrtök sýna oft. Niðurstaðan er sýnd sem Staðalfrávik úrtaks s.

Valið á milli þessara tveggja leiða hefur bein áhrif á útreikninginn á z-stigum, þar sem deilt er með völdu staðalfráviki.

Uppbygging z-stigs formúlunnar og algebrulegar umbreytingar

Grunnformúlan sem lýsir sambandi gildis, meðaltals, staðalfráviks og z-stigs er:

z = (x - μ) / (σ)

Ef þrjú af þessum fjórum gildum eru þekkt er hægt að einangra það fjórða með algebrulegum aðferðum. Reiknivélin leysir þessar jöfnur sjálfkrafa og sýnir skrefin undir liðnum Formúla og innsetning:

• Z-stig: Þegar leyst er fyrir z gildir formúlan z-stig: z = (x − μ) ÷ σ = (‹x› − ‹mu›) ÷ ‹sigma› = ‹result›.
• Gildi x: Þegar leyst er fyrir x gildir formúlan Gildi: x = μ + z·σ = ‹mu› + (‹z›)·‹sigma› = ‹result›.
• Meðaltal μ: Þegar leyst er fyrir μ gildir formúlan Meðaltal: μ = x − z·σ = ‹x› − (‹z›)·‹sigma› = ‹result›.
• Staðalfrávik σ: Þegar leyst er fyrir σ gildir formúlan Staðalfrávik: σ = (x − μ) ÷ z = (‹x› − ‹mu›) ÷ ‹z› = ‹result›.

Normaldreifing og líkindaútreikningar

Þegar z-stig hefur verið ákvarðað er hægt að varpa því yfir á staðlaðan normalferil til að finna líkur og hundraðsraðir, að því gefnu að gögnin fylgi normaldreifingu. Undir fyrirsögninni Miðað við að gildin fylgi normaldreifingu: sýnir reiknivélin eftirfarandi gildi:

• P(X < x): Líkurnar á því að slembibreyta sé minni en gildið x (svæðið vinstra megin við z).
• P(X > x): Líkurnar á því að slembibreyta sé stærri en gildið x (svæðið hægra megin við z).
• P(|X − μ| > |x − μ|): Tvíhliða líkur á því að gildi liggi lengra frá meðaltalinu en sem nemur fjarlægð x frá μ.
• Hundraðsröð x: Hundraðsröðin sem sýnir hversu mörg prósent gilda í dreifingunni liggja undir tilteknu gildi x.

Ef gögnin fylgja ekki normaldreifingu geta raunveruleg hlutföll gilda verið frábrugðin því sem þessir útreikningar sýna, þar sem skekkt gögn fylgja ekki samhverfum ferli.

Takmarkanir og sérstök tilvik við útreikninga

Við vinnslu gagna geta komið upp stærðfræðileg tilvik sem krefjast sérstakra reglna:

• Eins gildi (engin dreifing): Ef öll gildi í gagnasafni eru nákvæmlega eins er staðalfrávikið 0. Þar sem deiling með núlli er óskilgreind er ekki hægt að reikna z-stig. Í slíkum tilvikum birtir reiknivélin villuboðin Öll gildi eru eins, svo staðalfrávikið er 0 og z-stig eru óskilgreind..
• Ógild gildi fyrir staðalfrávik: Staðalfrávik verður að vera jákvæð tala. Ef slegið er inn 0 birtast villuboðin Staðalfrávik getur ekki verið 0 — deiling með σ er óskilgreind.. Ef slegið er inn neikvætt staðalfrávik birtist Staðalfrávik verður að vera jákvætt..
• Óleysanlegar jöfnur: Ef slegið er inn z = 0 en gildið x er ekki jafnt meðaltalinu μ, er engin lausn til þar sem staðalfrávikið þyrfti að vera óendanlegt. Þá birtist villan Ekkert jákvætt σ leysir þetta: þegar z = 0 verður gildið að vera jafnt meðaltalinu.. Ef bæði z = 0 og x = μ eru slegin inn, getur hvaða jákvæða tala sem er verið staðalfrávik, sem gefur villuna Þegar z = 0 og x = μ virkar hvaða jákvætt σ sem er, svo σ hefur ekkert eitt ákveðið svar..

Öryggi og staðbundin vinnsluhögun

Öll gagnavinnsluferli og útreikningar fara fram staðbundið í vafra notandans. Engin gögn, tölur eða slegin gildi eru send á ytri netþjóna eða hlaðið upp á netið. Vinnslan fer eingöngu fram í tæki notandans.

Algengar spurningar

Gera z-stig ráð fyrir að gögnin mín séu normaldreifð?
Nei. Z-stig er aðeins mælikvarðabreyting — hversu mörg staðalfrávik gildi er frá meðaltalinu — og það er skilgreint fyrir öll gagnasöfn þar sem dreifingin er ekki núll. Líkurnar í samantektarhamnum eru sá hluti sem gerir ráð fyrir normaldreifingu; fyrir skekkt gögn getur raunverulegt hlutfall gilda handan ákveðins z verið annað en það sem ferillinn sýnir.

Hvenær á ég að deila með n − 1 í stað n?
Deildu með n − 1 (staðalfrávik úrtaks s) þegar gildin þín eru úrtak úr stærri hópi og þú vilt áætla dreifingu þess hóps — minni deilirinn leiðréttir kerfisbundið vanmat sem úrtök hafa tilhneigingu til að sýna. Deildu með n (staðalfrávik þýðis σ) þegar gildin sem þú slóst inn spanna allan hópinn sem þú hefur áhuga á. Z-stigin fylgja sama vali, þar sem hverju gildi er deilt með valinni dreifingu.

Af hverju eru z-stig óskilgreind þegar öll gildi eru eins?
Z-stig fæst með því að deila með staðalfrávikinu. Eins gildi hafa enga dreifingu, svo staðalfrávikið er 0 og deilingin er óskilgreind — sérhver punktur er nákvæmlega á meðaltalinu, sem ekkert eitt z-gildi getur tjáð. Meðaltal, dreifni og aðrar tölfræðistærðir reiknast þó áfram með eðlilegum hætti.