Línuleg aðhvarfsgreining – Reiknivél

Stærðfræðilegur grunnur minnstu ferninga aðferðarinnar

Línuleg aðhvarfsgreining með minnstu ferninga aðferðinni (OLS) er grundvallaraðferð í tölfræði til að lýsa sambandi milli tveggja samfelldra breytna: skýribreytu (x) og fylgibreytu (y). Markmið aðferðarinnar er að draga beina línu í gegnum gagnapunktana þannig að summan af kvaðratfrávikum (lóðréttum fjarlægðum) milli raunverulegra y-gilda og spáðra y-gilda á línunni verði sem minnst.

Til að tryggja hámarks nákvæmni í útreikningum notar þessi reiknivél tveggja umferða reiknirit með jöfnuðum samantektum (compensated summation) við útreikning á frávikum frá meðaltölum. Þetta kemur í veg fyrir að námundunarskekkjur safnist upp þegar unnið er með tölur af mjög ólíkum stærðargráðum. Reiknireglurnar byggja á eftirfarandi stærðum:

• Dreifni og samfylgni:
  • Sxx = Σ(xᵢ − x̄)²
  • Syy = Σ(yᵢ − ȳ)²
  • Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
• Halli b = Sxy ÷ Sxx
• Skurðpunktur a = ȳ − b·x̄

Hér tákna x̄ og ȳ reiknuð meðaltöl gagnanna. Hallatala línunnar sýnir hversu mikið fylgibreytan breytist að meðaltali þegar skýribreytan hækkar um eina einingu, en skurðpunkturinn sýnir áætlað gildi y þegar x er jafnt og núll.

Túlkun á fylgni og skýringarhlutfalli

Þegar lína hefur verið aðlöguð að gögnunum er mikilvægt að meta hversu vel hún lýsir dreifingu punktanna. Til þess eru notaðir tveir lykilmælikvarðar:

• Fylgni r: Þessi stuðull mælir styrk og stefnu línulegs sambands milli breytnanna tveggja. Gildið liggur alltaf á bilinu −1 til 1. Neikvætt gildi gefur til kynna að y lækki þegar x hækkar, en jákvætt gildi sýnir að y hækki samhliða x.
• R² (Skýringarhlutfall): Þessi tala sýnir hversu stór hluti af heildardreifni fylgibreytunnar y skýrist af línulega sambandinu við x. Gildið er reiknað sem SSR ÷ SST, þar sem SSR er ferningasumma aðhvarfsins (útskýrð dreifni) og SST er heildarferningasumma y-gildanna.
• Leiðrétt R²: Þegar unnið er með úrtök gefur leiðrétta skýringarhlutfallið raunhæfara mat á gæðum líkansins með því að taka tillit til frígráða. Það er reiknað sem: 1 − (1 − R²)(n − 1) ÷ (n − 2).

Marktektarpróf og öryggisbil

Til að meta hvort sambandið milli x og y sé tölfræðilega marktækt, eða hvort það gæti hafa komið fram af hreinni tilviljun, framkvæmir reiknivélin t-próf á hallatölunni. Undir núlltilgátunni er gert ráð fyrir að raunverulegi hallinn sé 0 (ekkert línulegt samband).

Staðalskekkja hallans, SE(b), er reiknuð út frá staðalskekkju leifanna (s) og dreifni x-gildanna (Sxx):

• SE(b) = s ÷ √Sxx

Prófstærðin t er hlutfallið milli áætlaðs halla og staðalskekku hans: t = b ÷ SE(b). P-gildið er fundið út frá t-dreifingu með n − 2 frígráður. Ef p-gildið er undir völdu marktektarstigi (t.d. 0,05) er núlltilgátunni hafnað. Í einföldu línulegu aðhvarfi gefur F-prófið í Dreifnigreining (ANOVA) töflunni nákvæmlega sömu niðurstöðu og t-prófið, þar sem F-gildið er jafnt og t².

Greining á leifum og mikilvægi myndrita

Aðhvarfsgreining er ekki fullkomin án þess að skoða leifarnar (e. residuals), sem eru lóðréttu frávikin milli raunverulegra punkta og aðlöguðu línunnar (y − ŷ). Reiknivélin sýnir tvö myndrit undir flipanum "Aðlögun og leifar":

1. Aðlöguð lína: Sýnir dreifirit gagnanna ásamt minnstu ferninga línunni og völdu öryggisbandi.
2. Leifar: Sýnir frávikin teiknuð gegn x-gildunum í kringum núlllínuna.

Ef línulega líkanið er viðeigandi eiga leifarnar að dreifast handahófskennt í kringum núlllínuna án þess að sýna ákveðið mynstur. Ef leifarnar mynda sveigju (boga) bendir það til þess að sambandið sé sveigt en ekki línulegt. Ef dreifingin breikkar eða mjókkar eftir því sem x breytist (viftulaga mynstur) bendir það til misdreifni (heteroscedasticity), sem brýtur gegn forsendum OLS-greiningar.

Spár og munurinn á öryggisbilum

Þegar líkanið er tilbúið er hægt að nota það til að spá fyrir um ný y-gildi (ŷ) út frá tilteknum x-gildum. Reiknivélin býður upp á tvær gerðir af öryggisbilum fyrir hverja spá:

• Meðaltals ‹level›%: Þetta bil nær yfir óvissuna um hvar raunverulegt meðaltal y liggur fyrir tiltekið x-gildi. Það tekur aðeins mið af óvissunni við að staðsetja sjálfa aðhvarfslínuna.
• Einstaklings ‹level›%: Þetta bil spáir fyrir um hvar ein ný mæling mun lenda. Það verður alltaf breiðara en meðaltalsbilið vegna þess að það bætir náttúrulegri dreifingu punktanna í kringum línuna við óvissu línunnar sjálfrar.

Bæði bilin breikka eftir því sem spágildið x færist fjær meðaltali upprunalegu gagnanna (x̄). Ef spáð er fyrir um gildi sem liggja utan við svið upprunalegu gagnanna birtist merkingin "utan gagnasviðs" til að vara við hættunni á framreikningi (extrapolation).

Notkunarleiðbeiningar og takmarkanir

Gagnainnsláttur er sveigjanlegur og styður tvær mismunandi framsetningar:

• Paraðar raðir: Hver röð inniheldur einn x-punkt og einn y-punkt. Þessi framsetning gerir notendum kleift að afrita tvo dálka beint úr töflureiknum og líma inn. Ef fyrsta röðin inniheldur texta (dálkaheiti) sleppir reiknivélinni henni sjálfkrafa.
• Tveir listar: X-gildi og y-gildi eru slegin inn í tvo aðskilda dálka. Listarnir verða að innihalda jafnmörg gildi.

Sérstök tilvik og villuboð:

• Nákvæmlega tveir punktar: Reiknivélin sýnir skilaboðin: "Tveir punktar ákvarða línuna nákvæmlega, so ekkert er eftir til að meta óvissu út frá.".
• Fullkomin aðlögun: Ef allir punktar liggja á línunni birtist: "Punktarnir liggja nákvæmlega á línunni, svo það er engin dreifing leifa og ekki er hægt að áætla öryggisbil eða p-gildi.".
• Einsleit y-gildi: Ef öll y-gildin eru eins er línan flöt og reiknivélin gefur til kynna: "Öll y-gildin eru eins, svo línan er flöt og r, R² og marktektarprófið eru óskilgreind.".
• Lóðrétt lína: Ef öll x-gildin eru eins stöðvast útreikningar með villunni: "Öll x-gildin eru eins, svo línan yrði lóðrétt og hallatölureikningur myndi deila með núlli.".

Öll gagnavinnsla og útreikningar fara eingöngu fram í vafra notandans. Engin gögn eru send á ytri netþjóna, sem tryggir að upplýsingarnar haldist algjörlega á tölvu notandans.

---

Algengar spurningar

Skiptir máli hvor dálkurinn fer í x?

Já. Minnstu ferninga aðferðin lágmarkar lóðrétt frávik, svo hún meðhöndlar y sem breytuna sem verið er að útskýra og x sem skýribreytuna. Ef þú víxlar þeim færðu annan halla og annan skurðpunkt — aðeins r og R² haldast óbreytt. Settu breytuna sem þú vilt spá fyrir um í y; ef dálkarnir fóru öfugt inn geturðu notað víxlhnappinn til að snúa þeim við á staðnum.

Hvað segir R² mér í raun og veru?

R² er hlutfallið af upp-og-niður hreyfingu y sem línan útskýrir: 0,96 þýðir að 96% af henni fylgir x og 4% ekki. Það segir ekkert um hvort bein lína hafi verið rétta formið — skýr ferill getur samt fengið hátt gildi — svo skoðaðu það samhliða leifaritinu. Fylgnistuðullinn r er kvaðratrótin af R² með formerki hallans, sem er ástæðan fyrir því að r er neikvætt fyrir niðurhallandi línu.

Af hverju fylgja tvö mismunandi bil hverri spá?

Þau svara ólíkum spurningum. Meðaltalsbilið spyr hvar meðaltal y liggur fyrir alla við það x, þannig að aðeins óvissan í línunni sjálfri skiptir máli. Einstaklingsbilið spyr hvar ein ný mæling mun lenda, sem bætir við dreifingu punktanna í kringum línuna — þessi aukaliður er ástæðan fyrir því að það er alltaf breiðara. Bæði bilin breikka eftir því sem x færist fjær miðju gagnanna.

Þýðir lágt p-gildi að x valdi y?

Nei. P-gildið svarar aðeins einni þröngri spurningu: ef raunverulegi hallinn væri 0, hversu oft myndi úrtak af þessari stærð gefa halla sem er að minnsta kosti jafn langt frá 0? Lítið gildi gerir þá skýringu að „ekkert samband sé til staðar“ ótrúlega, ekkert meira. Orsakasamband krefst rannsóknarsniðs — þriðji þáttur sem hreyfir báða dálka, eða úrtak sem var ekki safnað á óháðan hátt, getur alveg eins gefið lágt p-gildi.