El model matemàtic de l'efecte Doppler clàssic
L'efecte Doppler descriu el canvi de freqüència percebut d'una ona quan la font que l'emet i l'observador que la rep es mouen l'un respecte a l'altre dins d'un medi determinat. Aquesta eina utilitza el model clàssic per al so i altres ones mecàniques en un medi immòbil i uniforme, on tot el moviment es produeix al llarg de la línia recta que uneix directament la font i l'observador.
La relació matemàtica fonamental que regeix aquest fenomen depèn de la velocitat de l'ona en el medi (v), la velocitat de l'observador (vₒ), la velocitat de la font (vₛ) i la freqüència original emesa (f₀). L'equació general per determinar la freqüència observada ($f'$) s'expressa de la següent manera:
f' = f₀ × (v ± vₒ) / (v ∓ vₛ)
Els signes de l'operació depenen de la direcció del moviment de cada element:
- Si l'observador s'acosta a la font, s'utilitza el signe de suma al numerador per augmentar la freqüència percebuda.
- Si l'observador s'allunya de la font, s'utilitza el signe de resta al numerador.
- Si la font s'acosta a l'observador, s'utilitza el signe de resta al denominador per reduir-lo, fet que incrementa la freqüència resultant.
- Si la font s'allunya de l'observador, s'utilitza el signe de suma al denominador.
Paràmetres de configuració i dades d'entrada
Per realitzar el càlcul, l'usuari disposa de diversos camps configurables que defineixen les propietats físiques de l'escenari:
- Medi: Un menú desplegable amb valors predefinits per a la velocitat de propagació de l'ona. Permet triar entre "Aire (20 °C)", "Aire (0 °C)", "Heli (0 °C)", "Aigua (20 °C)" o bé un "Medi personalitzat".
- Velocitat de l'ona: La velocitat a la qual es propaga l'ona a través del medi escollit. Si s'edita manualment aquest camp, la selecció del medi canvia automàticament a "Medi personalitzat".
- Freqüència emesa: La freqüència original de l'ona generada per la font (f₀).
- Velocitat de la font: La magnitud de la velocitat a la qual es desplaça l'emissor.
- Velocitat de l'observador: La magnitud de la velocitat a la qual es desplaça el receptor.
- Moviment de la font: Defineix la direcció del desplaçament de l'emissor respecte a l'observador, amb les opcions "S'acosta", "S'allunya" o "Estacionari".
- Moviment de l'observador: Defineix la direcció del desplaçament del receptor respecte a la font, amb les opcions "S'acosta", "S'allunya" o "Estacionari".
L'usuari també pot definir la "Unitat de freqüència", la "Unitat de velocitat" i els "Decimals mostrats" per adaptar la precisió dels resultats. L'interfície inclou un botó per "Neteja" els camps i un botó per "Carrega un exemple" amb valors preconfigurats.
Resultats detallats i anàlisi del pas de llarg
Un cop introduïdes les dades, l'eina mostra els resultats sota tres seccions diferenciades:
El que sent l'observador
Aquesta secció presenta la "Freqüència observada" acompanyada d'un indicador acústic que detalla si el to percebut és "més alta que l'emesa", "més baixa que l'emesa" o "igual que l'emesa". També es calculen els següents paràmetres físics:
- Desplaçament Doppler: La diferència absoluta entre la freqüència observada i l'emesa (Δ f = |f' - f₀|).
- Desplaçament en percentatge: La variació relativa de la freqüència expressada en tant per cent.
- Longitud d'ona observada: La distància física entre els fronts d'ona consecutius tal com els rep l'observador.
- Longitud d'ona emesa: La distància física original entre els fronts d'ona emesos per la font en repòs.
- Nombre de Mach de la font: La relació adimensional entre la velocitat de la font i la velocitat de l'ona en el medi (vₛ / v).
El pas de llarg
Aquest bloc modela la transició dinàmica quan la font i l'observador es creuen en el mateix punt de la línia de moviment:
- Mentre s'acosta: La freqüència constant que percep l'observador abans de creuar-se amb la font.
- Després de passar: La freqüència constant que es percep un cop ambdós elements s'allunyen l'un de l'altre.
- Canvi de to al pas: La caiguda de freqüència exacta que es produeix de manera instantània en el moment de la transició.
Fronts d'ona
Es mostra una representació visual que simula una instantània dels fronts d'ona circulars emesos al llarg de la trajectòria de la font. Aquest gràfic il·lustra com el moviment de la font comprimeix els fronts d'ona en la direcció de l'avenç i els estira en la direcció oposada, acompanyat d'una llegenda que identifica la "font" i l'"observador".
Desglossament de la fórmula i substitució pas a pas
Per facilitar la comprensió acadèmica, l'eina detalla el procés de càlcul sota l'epígraf "Fórmula i substitució". El desglossament inclou els següents passos resolts:
- Conversió d'unitats: Si s'escauen, es mostren les conversions de partida amb el format
‹from› = ‹to›. - Càlcul del numerador: Es resol la velocitat relativa de l'observador respecte al medi:
- En moviment:
Numerador: v ‹sign› vₒ = ‹v› ‹sign› ‹vo› = ‹num› m/s - En repòs:
Numerador: v = ‹num› m/s
- En moviment:
- Càlcul del denominador: Es resol la velocitat relativa de la font respecte al medi:
- En moviment:
Denominador: v ‹sign› vₛ = ‹v› ‹sign› ‹vs› = ‹den› m/s - En repòs:
Denominador: v = ‹den› m/s
- En moviment:
- Càlcul de la freqüència final:
f′ = f₀ × ‹num› ÷ ‹den› = ‹freq› - Càlcul del desplaçament:
Δf = ‹freq› − ‹f0› = ‹shift› (‹percent›)
Límits físics i gestió d'errors
El model clàssic implementat té límits estrictes basats en les lleis de la física de fluids i la propagació d'ones mecàniques:
- Límit supersònic de la font: Si la font es mou cap a l'observador a una velocitat igual o superior a la de l'ona (vₛ ≥ v), els fronts d'ona s'acumulen en el mateix punt de l'espai creant una ona de xoc. Com que no es pot definir una freqüència finita davant de la font en aquestes condicions, l'eina mostra l'error: "Una font que s'acosta a la velocitat de l'ona o més ràpid acumula els seus fronts d'ona en una ona de xoc, de manera que no hi ha cap to finit davant d'ella.". En canvi, si la font s'allunya a velocitat supersònica, el càlcul es realitza correctament ja que els fronts d'ona s'estiren cap enrere.
- Límit de l'observador en fugida: Si l'observador s'allunya a una velocitat igual o superior a la de l'ona (vₒ ≥ v), aquest viatja més ràpid que la pròpia ona i els fronts d'ona mai el podran aconseguir. En aquest cas, es mostra l'error: "Un observador que s'allunya a la velocitat de l'ona o més ràpid avança els fronts d'ona i mai no sent la font.".
- Validació de dades d'entrada:
- Si s'introdueix un caràcter no numèric, es mostra:
"‹field›: «‹token›» no és un nombre.". - Si s'introdueix una velocitat negativa, es mostra:
"‹field›: introduïu la velocitat com una magnitud absoluta i definiu la direcció al costat.". - Si la freqüència emesa és igual o inferior a zero: "La freqüència emesa ha de ser superior a zero.".
- Si la velocitat de l'ona és igual o inferior a zero: "La velocitat de l'ona ha de ser superior a zero.".
- Si algun valor de càlcul supera els límits numèrics del sistema: "Un valor o resultat intermedi supera el rang de nombres admès.".
- Si s'introdueix un caràcter no numèric, es mostra:
Privadesa de les dades
El processament de les dades introduïdes es realitza de manera local. Cada número que introduïu es queda en aquest navegador; no es penja res a cap servidor extern.
Preguntes freqüents
Puc utilitzar-ho per a la llum o el desplaçament cap al roig astronòmic?
No. La llum no necessita cap medi i la seva llei Doppler és relativista: només importa la velocitat relativa entre la font i l'observador, no quin dels dos es mou «realment». Aquesta calculadora utilitza la llei clàssica per al so i altres ones mecàniques en un medi, la qual dona un resultat diferent excepte a velocitats quotidianes, on totes dues gairebé coincideixen.
Per què disminueix el to d'una sirena en el moment que em passa de llarg?
Mentre la font s'acosta, cada nou front d'ona s'emet una mica més a prop vostre, de manera que arriben més junts i sentiu una freqüència més alta. En el moment que passa, aquest mateix moviment estira l'espaiat i el to disminueix. El bloc de pas mostra ambdues freqüències i la magnitud exacta de la caiguda per als vostres números.
Què passa quan la font es mou més ràpid que el so?
Els fronts d'ona ja no poden avançar la font i s'acumulen al llarg d'un con: l'ona de xoc que se sent com un esclat sònic. En aquest cas, la fórmula senzilla no té cap resposta finita per a un oient situat al davant, de manera que la calculadora ho indica en lloc de mostrar un número sense sentit. Una font que s'allunya més ràpid que el so continua funcionant correctament: els seus fronts d'ona estirats es continuen propagant i la fórmula es manté.
El vent o el moviment lateral canvien el resultat?
Sí, i ambdós queden fora d'aquest model. La fórmula assumeix un medi immòbil, de manera que un vent constant —que arrossega el medi amb ell— canvia el desplaçament real. També només gestiona el moviment al llarg de la línia entre la font i l'observador; per al moviment en angle, s'ha d'utilitzar la component al llarg d'aquesta línia, motiu pel qual el to d'una sirena que passa varia de manera suau en lloc de fer un salt brusc.