Calculadora d'impedància de línies de transmissió

La propagació de senyals electromagnètics a través de línies de transmissió és un dels pilars de l'enginyeria de radiofreqüència (RF). Quan una línia de transmissió es connecta a una càrrega que no coincideix exactament amb la seva impedància característica, es produeixen fenòmens de reflexió que alteren la impedància que veu la font d'alimentació. Aquesta calculadora permet analitzar el comportament d'una línia de transmissió acabada en una càrrega específica a una freqüència de treball concreta.

A partir de paràmetres físics i elèctrics, l'eina calcula de manera immediata la impedància d'entrada, la relació d'ona estacionària (VSWR), el coeficient de reflexió i les pèrdues associades. Totes les operacions i el processament de dades es realitzen localment: cada número que introduïu es queda en aquest navegador; no es penja res.

Fonaments de la teoria de línies de transmissió

Una línia de transmissió no es comporta com un simple cable elèctric quan la longitud física del conductor és comparable a la longitud d'ona del senyal que hi viatja. En aquestes condicions, els efectes de retard de fase i les ones reflectides dominen el comportament del sistema.

La línia es defineix principalment per la seva impedància característica, representada com a Z₀. Quan connectem una càrrega a l'extrem final, qualsevol diferència entre la impedància de la càrrega (Z_L) i Z₀ provoca que una part de l'energia del senyal es reflecteixi cap a la font. Aquesta interacció entre l'ona que avança (directa) i l'ona que torna (reflectida) crea un patró d'ona estacionària de tensió al llarg del cable.

Paràmetres d'entrada de la calculadora

Per realitzar l'anàlisi del sistema, l'usuari ha d'introduir les següents dades a la interfície:

• Impedància característica Z₀ (Ω): S'introdueix al camp Impedància característica Z₀ (Ω).
• Dielèctric: Un menú desplegable que permet seleccionar diferents materials amb els seus respectius factors de velocitat (VF) predefinits:
  • Aire / fil nu (VF 1.00)
  • Espaiat per aire (VF 0.95)
  • PE expandit (VF 0.85)
  • PTFE (VF 0.70)
  • PE sòlid (VF 0.66)
  • Factor de velocitat personalitzat
• Factor de velocitat: Es defineix al camp Factor de velocitat. Aquest valor s'actualitza automàticament en triar un dielèctric, o passa a mode personalitzat si s'edita manualment.
• Longitud de la línia: S'especifica al camp Longitud de la línia i es tria la seva unitat mitjançant el desplegable Unitat de longitud.
• Freqüència: S'introdueix al camp Freqüència i es defineix la seva unitat amb el desplegable Unitat de freqüència.
• Pèrdua de la línia (dB): Representa la pèrdua d'anada a la freqüència especificada. Es pot deixar buit per simular una línia ideal sense pèrdues.
• Terminació: Menú desplegable per definir el tipus de càrrega connectada:
  • Personalitzada R + jX
  • Adaptada a Z₀
  • Curtcircuit
  • Circuit obert
• Resistència de càrrega R (Ω): Part real de la impedància de càrrega, introduïda a Resistència de càrrega R (Ω).
• Reactància de càrrega X (Ω): Part imaginària de la impedància de càrrega, introduïda a Reactància de càrrega X (Ω). Els valors positius indiquen reactància inductiva i els negatius reactància capacitiva.
• Decimals mostrats: Controla la precisió numèrica dels resultats obtinguts.

L'usuari disposa del botó Exemple de càrrega per carregar valors de prova i del botó Neteja per restablir tots els camps de la interfície.

Resultats obtinguts i interpretació

Un cop processades les dades, l'eina mostra els resultats sota l'epígraf "El que veu la font":

• Impedància d'entrada
• Longitud elèctrica
• Longitud d'ona a la línia
• Reflexió Γ a la càrrega
• Reflexió Γ a l'entrada
• VSWR a l'entrada
• VSWR a la càrrega
• Pèrdua de retorn
• Pèrdua per desadaptació
• Potència reflectida

A la secció "Ona estacionària al llarg de la línia", es mostra una representació visual de la magnitud de la tensió al llarg del cable, calculada punt per punt des de l'extrem de la càrrega fins a l'extrem de l'entrada. En aquest gràfic s'identifiquen clarament els punts de referència amb les etiquetes exactes càrrega, entrada, Vmàx i Vmín.

A més, l'eina inclou notes de context segons l'estat de la línia:

• La càrrega s'adapta a la línia: sense reflexió a cap longitud.
• A prop d'un nombre sencer de mitges ones: la línia repeteix la seva càrrega, Zin ≈ Z_L.
• A prop d'un nombre senar de quarts d'ona: la línia inverteix la seva càrrega, Zin ≈ Z₀² ÷ Z_L.

Els resultats es poden copiar fàcilment mitjançant el botó Copia el resultat.

Fórmules i passos de substitució matemàtica

L'apartat "Fórmula i substitució" desglossa de manera seqüencial el procediment matemàtic utilitzat per a la resolució del circuit:

1. Conversió d'unitats: Si s'escau, es realitza la conversió de les unitats d'entrada: 14.2 MHz = 14200000 Hz
2. Càlcul de la longitud d'ona (λ): Utilitzant la velocitat de la llum en el buit (c = 299 792 458 m/s) i el factor de velocitat (VF): λ = VF × c ÷ f = 0.66 × 299 792 458 m/s ÷ 14200000 Hz = 13.93 m
3. Constant de fase elèctrica (βl): Determina el desfasament angular al llarg de la línia: βl = 2π × l ÷ λ = 2π × 10 m ÷ 13.93 m = 4.51 rad = 258.4°
4. Constant d'atenuació (αl): Converteix la pèrdua expressada en decibels a nepers (Np): αl = 3 dB ÷ 8.686 = 0.3454 Np
5. Càlcul de la tangent o tangent hiperbòlica: Depenent de si la línia té pèrdues o no: t = tan(βl) = tan(4.51) = 4.85 t = tanh(γl) = tanh(0.3454 + j4.51) = 2.27 + j1.2
6. Impedància d'entrada (Zin): S'aplica la fórmula general de transformació d'impedàncies o els seus límits específics segons la terminació: Zin = Z₀ × (Z_L + jZ₀·t) ÷ (Z₀ + jZ_L·t) = 34.1 − j5.62 Ω Zin = Z₀ ÷ t = −j10.3 Ω (límit de circuit obert) Zin = Z₀ × t = j242.73 Ω (càrrega en curtcircuit) Zin = Z₀ = 50 Ω (càrrega adaptada) Zin → ∞: un circuit obert al final d'una línia sense pèrdues de longitud zero continua sent un circuit obert.
7. Coeficient de reflexió (Γ): Mesura la relació entre l'ona reflectida i l'ona incident a la càrrega i la seva evolució cap a l'entrada: Γ = (Z_L - Z₀) ÷ (Z_L + Z₀) = 0.2 = 0.2 ∠ 0° Γ = −1: reflexió total, tota l'ona torna enrere. · Γ = +1: reflexió total, tota l'ona torna enrere. |Γin| = |Γ| × e^(−2αl) = 0.2 × 0.5012 = 0.1
8. VSWR i pèrdues associades: VSWR = (1 + |Γin|) ÷ (1 − |Γin|) = 1.5 Pèrdua de retorn = −20 × log₁₀|Γin| = 13.98 dB Pèrdua per desadaptació = −10 × log₁₀(1 − |Γin|²) = 0.18 dB

Límits del model i validació d'errors

Aquest model matemàtic assumeix un estat estacionari de freqüència única en una línia uniforme. Es considera que la impedància característica Z₀ és real i constant amb la freqüència, que el factor de velocitat és fix i que la càrrega es comporta com una única impedància concentrada. Fenòmens complexos com la dispersió del material, l'efecte dels connectors físics o la impedància interna de la font queden fora de l'abast d'aquest càlcul. Cal tenir en compte que amb longituds elèctriques molt grans, els valors calculats poden oscil·lar de manera dràstica davant de variacions infinitesimals de la longitud o de la freqüència.

L'eina valida de manera estricta les dades introduïdes i mostra missatges d'error específics si es detecten anomalies:

• Si s'introdueix un caràcter no numèric: "Impedància característica: «abc» no és un nombre.".
• Si Z₀ és igual o inferior a zero: "La impedància característica ha de ser superior a zero.".
• Si la freqüència és igual o inferior a zero: "La freqüència ha de ser superior a zero.".
• Si la longitud de la línia és un valor negatiu: "La longitud de la línia no pot ser negativa.".
• Si el factor de velocitat està fora dels límits físics: "El factor de velocitat ha de ser superior a 0 i no superior a 1.".
• Si la resistència de càrrega és negativa: "Una càrrega passiva no té resistència negativa; això seria un dispositiu actiu, que queda fora d'aquest model.".
• Si la pèrdua de la línia és negativa: "La pèrdua de la línia no pot ser negativa.".
• Si els càlculs superen la capacitat numèrica del sistema: "Un valor o resultat intermedi supera el rang de nombres admès.".

---

Preguntes freqüents (FAQ)

Quin VSWR és acceptable?
1:1 és una adaptació perfecta. Fins a uns 1.5:1 només es reflecteix el 4% de la potència directa, cosa que gairebé tots els transmissors toleren. A 2:1 la part reflectida és de l'11%, encara viable per a la majoria d'equips. Més enllà de 3:1 torna més d'una quarta part de la potència, i molts transmissors redueixen la seva sortida per protegir-se; aquest és el moment d'ajustar l'antena o afegir una xarxa d'adaptació.

Per què un cable més llarg o com més pèrdues fa que el VSWR sembli millor?
L'ona reflectida recorre la línia amb pèrdues dues vegades (cap a la càrrega i de tornada al mesurador), de manera que l'atenuació del cable en consumeix una part, i l'extrem d'entrada mostra una ona estacionària més suau de la que realment produeix l'antena. L'adaptació a l'extrem llunyà no ha millorat. Introduïu la pèrdua d'anada del cable en decibels i la calculadora mostrarà els dos extrems: el VSWR a l'entrada i el que realment veu la càrrega.

Es pot trobar la impedància característica d'una microtira o d'un cable coaxial a partir de les seves dimensions?
No, aquest és el problema invers, que es resol amb fórmules de síntesi com la de Hammerstad per a pistes de microtira o la relació logarítmica de conductors per a cable coaxial. Aquesta calculadora comença a partir d'una Z₀ coneguda, obtinguda d'una fitxa tècnica o d'una síntesi d'aquest tipus, i respon què fa la línia a una càrrega a una freqüència concreta. Tampoc cobreix les línies de la xarxa elèctrica, que es modelen per milla o per quilòmetre amb paràmetres diferents.

Per què la impedància d'entrada és diferent de la de la pròpia càrrega?
La línia emmagatzema i retorna energia al llarg de tota la seva longitud, de manera que el que veu la font depèn de quantes longituds d'ona caben entre els dos extrems. Cada mitja ona la línia repeteix la seva càrrega (Zin ≈ Z_L); cada quart d'ona senar inverteix la càrrega (Zin ≈ Z₀² ÷ Z_L); enmig, la reactància recorre tots els valors del seu cercle. Un cable curt a freqüència d'àudio gairebé no canvia res, mentre que el mateix cable a VHF pot convertir una antena de 75 Ω en una cosa completament diferent.