Z-ಸ್ಕೋರ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್

Z-ಸ್ಕೋರ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪರಿಚಯ

Z-ಸ್ಕೋರ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಒಂದು ಉಚಿತ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸಾಧನವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ನ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉಪಕರಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕಚ್ಚಾ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪೇಸ್ಟ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಸರಾಸರಿ, ವೇರಿಯನ್ಸ್, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ z-ಸ್ಕೋರ್‌ಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, z = (x - μ) / σ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮೂರು ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ-ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಈ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಡೇಟಾ ಗೌಪ್ಯತೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಡೇಟಾ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಈ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲೇ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಅಪ್‌ಲೋಡ್ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ.

---

ಇನ್‌ಪುಟ್ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳು

ಬಳಕೆದಾರರು ತಮ್ಮ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಎರಡು ಇನ್‌ಪುಟ್ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು:

1. ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ: ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಬಳಕೆದಾರರು ತಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪೇಸ್ಟ್ ಮಾಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಟೈಪ್ ಮಾಡಬಹುದು.
   • ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುವ ಸ್ವರೂಪಗಳು: ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳು, ಅಲ್ಪವಿರಾಮಗಳು, ಸೆಮಿಕೋಲನ್‌ಗಳು ಅಥವಾ ಹೊಸ ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಬಳಕೆದಾರರ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್‌ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ದಶಮಾಂಶಗಳಿಗಾಗಿ 82.5 ರಂತೆ ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಅಥವಾ 82,5 ರಂತೆ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
   • ಮಿತಿಗಳು: ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ 50,000 ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬೇಕು. ಮಾದರಿ (Sample) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸಮೂಹ (Population) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ 1 ಮೌಲ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.
2. ಸಾರಾಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ: ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಮೂರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಖಾಲಿ ಬಿಡಬೇಕು.
   • ಮೌಲ್ಯ x
   • ಸರಾಸರಿ μ
   • ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ
   • z-ಸ್ಕೋರ್ z

---

ಸಮೂಹ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೂಹ (Population) ಮತ್ತು ಮಾದರಿ (Sample) ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳ ನಡುವೆ ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಳಕೆದಾರರು "ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ" ಆಯ್ಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು:

• ಸಮೂಹ ÷ n: ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ ಇರುವ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ನೀವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು (SS) ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಮಾದರಿ ÷ n − 1: ನಿಮ್ಮ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಮೂಹದಿಂದ ಪಡೆದ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ n - 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಬೆಸ್ಸೆಲ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ), ಇದು ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಕೆಳಮುಖ ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

---

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತ-ಹಂತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಕೇವಲ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವುದಲ್ಲದೆ, "ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಬದಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ" ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಹಂತ-ಹಂತದ ಗಣಿತದ ಹಾದಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ಮೋಡ್‌ನ ಸೂತ್ರಗಳು:

• ಸರಾಸರಿ: ಸರಾಸರಿ = (Σ x) / n ಉಪಕರಣದಲ್ಲಿ ಇದು ಸರಾಸರಿ = ‹sum› ÷ ‹n› = ‹mean› ಎಂದು ಪ್ರದರ್ಶಿತವಾಗುತ್ತದೆ.
• ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ (SS): SS = Σ(x - ಸರಾಸರಿ)² ಇದು SS = Σ(x − ಸರಾಸರಿ)² = ‹ss› ಎಂದು ತೋರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
• ವೇರಿಯನ್ಸ್:
  • ಸಮೂಹ ವೇರಿಯನ್ಸ್: ಸಮೂಹದ ವೇರಿಯನ್ಸ್ σ² = SS ÷ n = ‹ss› ÷ ‹n› = ‹variance›
  • ಮಾದರಿ ವೇರಿಯನ್ಸ್: ಮಾದರಿಯ ವೇರಿಯನ್ಸ್ s² = SS ÷ (n − 1) = ‹ss› ÷ ‹nm1› = ‹variance›
• ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:
  • ಸಮೂಹದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ: ಸಮೂಹದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ = √σ² = ‹sd›
  • ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ: ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ s = √s² = ‹sd›
• ಪ್ರತ್ಯೇಕ Z-ಸ್ಕೋರ್: ಪ್ರತಿಯೊಂದು z = (ಮೌಲ್ಯ − ‹mean›) ÷ ‹sd›.

ಸಾರಾಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೋಡ್‌ನ ಸೂತ್ರಗಳು:

ಬಳಕೆದಾರರು ಬಿಟ್ಟ ಖಾಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• z-ಸ್ಕೋರ್ ಪರಿಹರಿಸಲು: z-ಸ್ಕೋರ್: z = (x − μ) ÷ σ = (‹x› − ‹mu›) ÷ ‹sigma› = ‹result›
• ಮೌಲ್ಯ x ಪರಿಹರಿಸಲು: ಮೌಲ್ಯ: x = μ + z·σ = ‹mu› + (‹z›)·‹sigma› = ‹result›
• ಸರಾಸರಿ μ ಪರಿಹರಿಸಲು: ಸರಾಸರಿ: μ = x − z·σ = ‹x› − (‹z›)·‹sigma› = ‹result›
• ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ ಪರಿಹರಿಸಲು: ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ: σ = (x − μ) ÷ z = (‹x› − ‹mu›) ÷ ‹z› = ‹result›

---

ದೋಷ ಸಂದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಗಡಿ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ವಿವಿಧ ಇನ್‌ಪುಟ್ ದೋಷಗಳು ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

• ಅಮಾನ್ಯ ಅಕ್ಷರಗಳು: ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಮಾನ್ಯ ಅಕ್ಷರಗಳಿದ್ದರೆ, “‹token›” ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ (ಸ್ಥಾನ ‹position›). ಎಂಬ ದೋಷ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾರಾಂಶ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಇದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಮೂದಿಸಿ; “‹token›” ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
• ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದ ಕೊರತೆ: ಮಾದರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ, ಮಾದರಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ — ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವಿದ್ದರೆ n − 1 ಭಾಜಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂಬ ದೋಷ ಬರುತ್ತದೆ. ಸಮೂಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ. ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
• ಶೂನ್ಯ ಹರಡುವಿಕೆ (Zero Variance): ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 0 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು z-ಸ್ಕೋರ್‌ಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿವೆ. ಎಂಬ ದೋಷ ಸಂದೇಶ ಮೂಡುತ್ತದೆ.
• ಸಾರಾಂಶ ಮೋಡ್‌ನ ಮಿತಿಗಳು:
  • ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿದರೆ: ನಾಲ್ಕು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಒಂದನ್ನು ಖಾಲಿ ಬಿಡಿ.
  • ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ: ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 0 ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ — σ ದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
  • ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿದರೆ: ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು.
  • z = 0 ಆಗಿದ್ದು x ≠ μ ಆಗಿದ್ದರೆ: ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ σ ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ: z = 0 ಆದಾಗ, ಮೌಲ್ಯವು ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.
  • z = 0 ಮತ್ತು x = μ ಆಗಿದ್ದರೆ: z = 0 ಮತ್ತು x = μ ಆದಾಗ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ σ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ σ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದೇ ಉತ್ತರವಿಲ್ಲ.
  • ಬೀಜಗಣಿತದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ: ಬೀಜಗಣಿತವು σ = ‹value› ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. x − μ ಮತ್ತು z ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
• ಮಿತಿ ಮೀರಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದರೆ, ಒಂದು ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬೆಂಬಲಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಎಂಬ ಸಂದೇಶ ಬರುತ್ತದೆ.

---

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೋತ್ತರಗಳು (FAQ)

ಪ್ರಶ್ನೆ: z-ಸ್ಕೋರ್‌ಗಳು ನನ್ನ ಡೇಟಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತವೆಯೇ?
ಉತ್ತರ: ಇಲ್ಲ. z-ಸ್ಕೋರ್ ಕೇವಲ ಮರು-ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ — ಅಂದರೆ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಎಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಗಳಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ — ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾರಾಂಶ ಮೋಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ; ಓರೆಯಾದ ಡೇಟಾಗಾಗಿ, z ಗಿಂತ ಆಚೆಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನೈಜ ಪಾಲು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಹೇಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು.

ಪ್ರಶ್ನೆ: ನಾನು n ಗೆ ಬದಲಾಗಿ n − 1 ರಿಂದ ಯಾವಾಗ ಭಾಗಿಸಬೇಕು?
ಉತ್ತರ: ನಿಮ್ಮ ಮೌಲ್ಯಗಳು ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಆ ಗುಂಪಿನ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ನೀವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಯಸಿದಾಗ n − 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ (ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ s) — ಸಣ್ಣ ಭಾಜಕವು ಮಾದರಿಯು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಳಮುಖ ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ನಮೂದಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳೇ ನೀವು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ n ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ (ಸಮೂಹದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ). z-ಸ್ಕೋರ್‌ಗಳು ಸಹ ಇದೇ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ದ ಹರಡುವಿಕೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ: ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದಾಗ z-ಸ್ಕೋರ್‌ಗಳು ಏಕೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ?
ಉತ್ತರ: z-ಸ್ಕೋರ್ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ — ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಒಂದೇ z ಮೌಲ್ಯವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸರಾಸರಿ, ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಇನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.