ಫೋರಿಯರ್ ಶ್ರೇಣಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್

ಫೋರಿಯರ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆ

ಫೋರಿಯರ್ ಶ್ರೇಣಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಎನ್ನುವುದು ಆವರ್ತಕ (periodic) ಅಥವಾ ತುಂಡು ತುಂಡಾದ (piecewise) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಒಂದು ಉಚಿತ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಬಳಕೆದಾರರು ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಯ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಐದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ a₀, aₙ, ಮತ್ತು bₙ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುತ್ತದೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಫಂಕ್ಷನ್ ಹಾಗೂ ಫೋರಿಯರ್ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಇಂಟಿಗ್ರೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು (stability check) ಸಹ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಇನ್‌ಪುಟ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂರಚನೆ

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಬಳಕೆದಾರರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

• ಫಂಕ್ಷನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (Function Definition): ಬಳಕೆದಾರರು "ಒಂದು ಅವಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಫಂಕ್ಷನ್" ಅಥವಾ "ಫಂಕ್ಷನ್ ಭಾಗಗಳು" ಇವೆರಡರಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.
  • ಉದಾಹರಣೆಗಳು (Presets): ತ್ವರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ "ಸಾಟೂತ್" (Sawtooth), "ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವೇವ್" (Square), "ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ವೇವ್" (Triangle wave), ಅಥವಾ "ರೆಕ್ಟಿಫೈಡ್ ಸೈನ್" (Rectified sine) ನಂತಹ ಸಿದ್ಧ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.
  • ಫಂಕ್ಷನ್ ಭಾಗಗಳು (Segments): ಗರಿಷ್ಠ ಐದು ಭಾಗಗಳವರೆಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅವಕಾಶವಿದೆ. "ಭಾಗವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ" ಬಟನ್ ಬಳಸಿ ಹೊಸ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು "ಭಾಗ ‹n› ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ" ಬಟನ್ ಬಳಸಿ ಬೇಡದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು.
  • ಭಾಗದ ಗಡಿಗಳು: ಪ್ರತಿ ಭಾಗಕ್ಕೂ "ಇಂದ" ಮತ್ತು "ವರೆಗೆ" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬೇಕು.
  • ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ರೆಶನ್ ($f(x)$): ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು x, pi, e, +, −, *, /, ^, ಆವರಣಗಳು, sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs, min ಮತ್ತು max ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು 2*x ನಂತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅಥವಾ 2x ನಂತೆ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಅವಧಿ (Period):
  • ಪ್ರಾರಂಭ a: ಅವಧಿಯ ಆರಂಭಿಕ ಗಡಿ.
  • ಅಂತ್ಯ b: ಅವಧಿಯ ಅಂತಿಮ ಗಡಿ.
  • ಗಮನಿಸಿ: ಒಟ್ಟು ಅವಧಿಯನ್ನು T = b - a ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು a ಹಾಗೂ b ಮೌಲ್ಯಗಳು x ನಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಯೂನಿಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.
• ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ನಿಖರತೆ (Series and precision):
  • ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ N: 1 ರಿಂದ 30 ರವರೆಗಿನ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ.
  • ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಉಪ-ಅಂತರಗಳು (subintervals): 200 ರಿಂದ 4000 ರವರೆಗಿನ ಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ.
  • ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾದ ದಶಮಾಂಶಗಳು: ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬೇಕಾದ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
• Sₙ(x) ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸಿ: ಇದು ಐಚ್ಛಿಕ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವಧಿಯಂತೆಯೇ ಅದೇ x ಯೂನಿಟ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.

ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ:

• ಫೋರಿಯರ್ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ:
  • ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ: ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿತ ಫೋರಿಯರ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ" ಎಂಬ ಲೇಬಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನಕಲಿಸಲು "ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಕಲಿಸಿ" ಬಟನ್ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.
  • ಚಾರ್ಟ್: "ಮೂಲ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ" ಎಂಬ ಲೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಇದಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಫಂಕ್ಷನ್ "f(x)" ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ "Sₙ(x)" ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ದೃಶ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಸಬಹುದು.
• ಸಹಗುಣಕಗಳು (Coefficients): ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾಲಮ್ ಹೆಡರ್‌ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
  • "aₙ"
  • "bₙ"
  • "ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್"
• ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಆದೇಶಿಸುವಿಕೆ:
  • ಅವಧಿಯ ಫಲಿತಾಂಶ: "T = ‹period›; ω₀ = 2π/T = ಪ್ರತಿ x ಯೂನಿಟ್‌ಗೆ ‹omega› ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳು."
  • ಸ್ಥಿರ ಪದದ ಫಲಿತಾಂಶ: "a₀ = (2/T)∫f(x)dx = ‹a0›; ಸ್ಥಿರ ಪದವು a₀/2 = ‹constant› ಆಗಿದೆ."
  • ಸಹಗುಣಕದ ಫಲಿತಾಂಶ: "n = 1…‹terms› ಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು aₙ ಹಾಗೂ bₙ ಗಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ."
  • ನಿಖರತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ: "ಕಂಪೋಸಿಟ್ ಸಿಂಪ್ಸನ್ ನಿಯಮ: ‹base› ಉಪ-ಅಂತರಗಳು, ‹refined› ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ; ಗರಿಷ್ಠ ಸಹಗುಣಕ ಬದಲಾವಣೆ ‹delta›."
  • ಮೌಲ್ಯೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶ: ಐಚ್ಛಿಕ ಇನ್‌ಪುಟ್ ನೀಡಿದ್ದರೆ, "Sₙ(‹x›) = ‹value›" ಎಂದು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಇಂಟಿಗ್ರೇಶನ್

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ತತ್ವಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ:

• ಫೋರಿಯರ್ ನಿಯಮ (Fourier Convention): ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ f(x) ≈ a₀/2 + Σ [aₙ cos(nω₀ x) + bₙ sin(nω₀ x)] ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ω₀ = 2π/T ಆಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, a₀, aₙ, ಮತ್ತು bₙ ಸಹಗುಣಕಗಳು 2/T ಇಂಟಿಗ್ರೇಶನ್ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.
• ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಇಂಟಿಗ್ರೇಶನ್: ಇಲ್ಲಿ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ (analytical) ವಿಧಾನಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಕಂಪೋಸಿಟ್ ಸಿಂಪ್ಸನ್ ನಿಯಮವನ್ನು (composite Simpson rule) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಶೀಲನೆ (Stability Check): ಇಂಟಿಗ್ರೇಶನ್‌ನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಆಯ್ದ ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಉಪ-ಅಂತರಗಳ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಡುವಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಸಹಗುಣಕ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ‹delta› ಎಂದು ವರದಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಅಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಗಿಬ್ಸ್ ವಿದ್ಯಮಾನ (Gibbs Phenomenon): ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಜಂಪ್ ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಟಿ (ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಜಂಪ್) ಇದ್ದರೆ, ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಗಡಿಗಳ ಬಳಿ ಅಲೆಗಳಂತಹ ಏರಿಳಿತಗಳು (Ripples) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಜಂಪ್ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಮಿತಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ದೋಷ ಸಂದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆ ಎದುರಾದರೆ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ದೋಷ ಸಂದೇಶಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:

ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಡೇಟಾ ಸಂಸ್ಕರಣೆ

ಬಳಕೆದಾರರ ಗೌಪ್ಯತೆಗೆ ಈ ಸಾಧನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ನಮೂದಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ರೆಶನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ನಿಮ್ಮ ವೆಬ್ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲೇ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಬಾಹ್ಯ ಸರ್ವರ್‌ಗಳಿಗೆ ಅಪ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಬಳಕೆದಾರರ ಸಾಧನದಲ್ಲೇ ನಡೆಯುತ್ತವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೋತ್ತರಗಳು (FAQ)

ಪ್ರಶ್ನೆ: ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಯಾವ ಫೋರಿಯರ್ ಸಹಗುಣಕದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ: ಇದು f(x) ≈ a₀/2 + Σ [aₙ cos(nω₀ x) + bₙ sin(nω₀ x)] ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ω₀ = 2π/T ಆಗಿದೆ. ಅದರಂತೆ, a₀, aₙ ಮತ್ತು bₙ ಎಲ್ಲವೂ 2/T ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ a₀ ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತವೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೊದಲು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ: ಸಹಗುಣಕಗಳು ನಿಖರವಾಗಿವೆಯೇ?
ಉತ್ತರ: ಇಲ್ಲ, ಇವು ನಿಖರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲ. ಇವು ಕಂಪೋಸಿಟ್ ಸಿಂಪ್ಸನ್ ನಿಯಮದಿಂದ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ ಆಗಿವೆ. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಆಯ್ದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್‌ನ ಎರಡರಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಸಹಗುಣಕ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವರದಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಯು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇದು ಔಪಚಾರಿಕ ದೋಷದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ.

ಪ್ರಶ್ನೆ: ಜಂಪ್ ಹತ್ತಿರ ಗ್ರಾಫ್ ಏಕೆ ಅಲೆಯಂತೆ ಏರಿಳಿತವಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ: ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಫೋರಿಯರ್ ಮೊತ್ತವು ಅಸ್ಥಿರತೆಯ (ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಟಿ) ಹತ್ತಿರ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗಿಬ್ಸ್ ವಿದ್ಯಮಾನ ಎನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಪೀಡಿತ ಪ್ರದೇಶವು ಕಿರಿದಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗಿಬ್ಸ್ ಓವರ್‌ಶೂಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದಿಲ್ಲ. ಜಂಪ್ ಇರುವಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಮಿತಿಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.