ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್

ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ರೇಖೆಯ ಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳು

ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಜೋಡಿ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ-ವರ್ಗಗಳ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ರೇಖೆಯನ್ನು (least-squares regression line) ಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ (Ordinary Least Squares - OLS) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಇರುವ ಲಂಬ ಅಂತರಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಈ ಉಪಕರಣವು ಸರಾಸರಿಗಳ ಸುತ್ತಲಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳ ಕಂಪೆನ್ಸೇಟೆಡ್ ಸಮೇಶನ್ (compensated summation) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗಲೂ ನಿಖರತೆ ನಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

• ಹರಡುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಹ-ಚಲನೆ: Sxx = Σ(xᵢ − x̄)², Syy = Σ(yᵢ − ȳ)², Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
• ಇಳಿಜಾರು: b = Sxy ÷ Sxx
• ಅಂತಃಖಂಡ: a = ȳ − b·x̄

ಇಲ್ಲಿ x̄ ಮತ್ತು ȳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ x ಮತ್ತು y ನ ಸರಾಸರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಉಪಕರಣವು ಕನಿಷ್ಠ 2 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ 50,000 ಬಿಂದುಗಳು ಹಾಗೂ 1 MB ವರೆಗಿನ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿಯೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅರ್ಥ

ಹೊಂದಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ: ಇಳಿಜಾರು b ಮತ್ತು ಇಂಟರ್‌ಸೆಪ್ಟ್ a. ಇವುಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅರ್ಥಗಳು ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

• ಇಳಿಜಾರು b: "ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ x ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ 1 ರ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ y ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ". ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬದಲಾದಾಗ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
• ಇಂಟರ್‌ಸೆಪ್ಟ್ a: x ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆಗಿರುವಾಗ ರೇಖೆಯು y ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೆಯು y-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಡೇಟಾದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉಪಕರಣವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿ "ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೆಯು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ." ಎಂಬ ದೋಷ ಸಂದೇಶವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಹಸಂಬಂಧ r ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕ R²

ಮಾದರಿಯು ಡೇಟಾಗೆ ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಉಪಕರಣವು ಹಲವಾರು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ:

• ಸಹಸಂಬಂಧ r: ಇದು x ಮತ್ತು y ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧದ ಬಲ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸೂತ್ರ r = Sxy ÷ √(Sxx·Syy) ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಇಳಿಜಾರಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
• R² (Coefficient of Determination): ಇದು ರೇಖೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಾಲನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸೂತ್ರ R² = SSR ÷ SST.
• ಹೊಂದಿಸಲಾದ R² (Adjusted R²): ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸೂತ್ರ: 1 − (1 − R²)(n − 1) ÷ (n − 2).

ಒಂದು ವೇಳೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು y ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ರಿಗ್ರೆಷನ್ ರೇಖೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಪಕರಣವು "ಪ್ರತಿಯೊಂದು y ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೆಯು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಮತ್ತು r, R² ಹಾಗೂ ಮಹತ್ವದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ." ಎಂಬ ಸ್ಥಿತಿ ಸಂದೇಶವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೈಪೋಥಿಸಿಸ್ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿವರಣೆ (ANOVA)

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು ಅಂತಃಖಂಡಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಹೈಪೋಥಿಸಿಸ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತದೆ. "ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿವರಣೆ" (ANOVA) ಕೋಷ್ಟಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:

• ಮೂಲ (Source) - "ರೇಖೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದು" (Regression), "ಉಳಿದಿರುವುದು" (Residual), ಮತ್ತು "ಒಟ್ಟು" (Total)
• df (ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿ)
• ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ
• ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ
• F ಮತ್ತು p-ಮೌಲ್ಯ

ಇಳಿಜಾರಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷವನ್ನು SE(b) = s ÷ √Sxx ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. t-ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು t = b ÷ SE(b) ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಯಲ್ಲದೆ, p-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು n − 2 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ರೆಗ್ಯುಲರೈಸ್ಡ್ ಇನ್‌ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳ ರಿಗ್ರೆಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಾರೆ F ಮೌಲ್ಯವು ಇಳಿಜಾರಿನ t ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉಳಿಕೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳು

ಮಾದರಿಯು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಕೇವಲ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಾಲದು. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಉಪಕರಣವು "ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಉಳಿಕೆಗಳು" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯಡಿ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ:

1. ಹೊಂದಿಸಲಾದ ರೇಖೆ: "ಕನಿಷ್ಠ-ವರ್ಗಗಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಾಸರಿಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಬ್ಯಾಂಡ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಚದುರುವಿಕೆ ಪ್ಲಾಟ್".
2. ಉಳಿಕೆಗಳು: "ಶೂನ್ಯ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತ ಹರಡಿರುವ, x ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಪ್ಲಾಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಉಳಿಕೆಗಳು".

ಉಳಿಕೆ ಎಂದರೆ ನೈಜ y ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚಿಸಲಾದ ŷ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (y − ŷ). ಬಿಂದುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆಯೇ ಇದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಉಳಿಕೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಬಿಂದುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆಯೇ ಇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ರೆಸಿಡುವಲ್ ಹರಡುವಿಕೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಇಂಟರ್ವಲ್ ಅಥವಾ p-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ." ಎಂಬ ಸಂದೇಶ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕೇವಲ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿದಾಗ, "ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಏನೂ ಉಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ." ಎಂಬ ಸಂದೇಶವನ್ನು ಉಪಕರಣವು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು

ಬಳಕೆದಾರರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ x ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ y ಅನ್ನು ಊಹಿಸಲು "x ನಲ್ಲಿ y ಅನ್ನು ಊಹಿಸಿ" ಇನ್‌ಪುಟ್ ಬಾಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ 50 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಉಪಕರಣವು ಎರಡು ರೀತಿಯ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ:

• ಸರಾಸರಿ ‹level›% ಮಧ್ಯಂತರ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ x₀ ನಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ: s · √(1÷n + (x₀ − x̄)² ÷ Sxx).
• ವೈಯಕ್ತಿಕ ‹level›% ಮಧ್ಯಂತರ: ಒಂದು ಹೊಸ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅವಲೋಕನದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ: s · √(1 + 1÷n + (x₀ − x̄)² ÷ Sxx).

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಧ್ಯಂತರವು ಹೊಸ ಅವಲೋಕನದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಾಸರಿ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮೂದಿಸಿದ x ಮೌಲ್ಯವು ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದ್ದರೆ, ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ "ಡೇಟಾದ ಹೊರಗೆ" ಎಂಬ ಲೇಬಲ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಗುರುತು ಮಾಡಲಾದ ಸಾಲುಗಳು ನೀವು ನಮೂದಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೀರಿದ x ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಡೇಟಾ ತೋರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮುಂದೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ." ಎಂಬ ಸೂಚನೆ ಮೂಡುತ್ತದೆ.

ಡೇಟಾ ನಮೂದು ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

• ವಿನ್ಯಾಸ ಆಯ್ಕೆ: ಬಳಕೆದಾರರು "ಜೋಡಿ ಸಾಲುಗಳು" ಅಥವಾ "ಎರಡು ಪಟ್ಟಿಗಳು" ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.
• ಹೆಡರ್ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವಿಕೆ: ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್‌ನಿಂದ ನಕಲಿಸಿ ಪೇಸ್ಟ್ ಮಾಡುವಾಗ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯವಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಾಲಮ್ ಹೆಡರ್), ಉಪಕರಣವು ಅದನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ ಉಳಿದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.
• ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆ: "x ಮತ್ತು y ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಿ" ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿದರೆ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ವಿಧಾನವು ಲಂಬ ಅಂತರಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಕಾಲಮ್ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು ಅಂತಃಖಂಡಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ; ಆದರೆ r ಮತ್ತು R² ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬದಲಾಗದೆ ಹಾಗೇ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ.
• ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: ಬಳಕೆದಾರರು ಟೈಪ್ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತಕ್ಷಣವೇ ಮರುಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಟನ್ ಒತ್ತುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಡೇಟಾ ಸಂಸ್ಕರಣೆ

ಈ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಉಪಕರಣದಲ್ಲಿ ಸುರಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಗೌಪ್ಯತೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಈ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲೇ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಯಾವುದೇ ಬಾಹ್ಯ ಸರ್ವರ್‌ಗೆ ಅಪ್‌ಲೋಡ್ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬಳಕೆದಾರರ ಸ್ಥಳೀಯ ವೆಬ್ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿಯೇ ನಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಪದೇ ಪದೇ ಕೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (FAQ)

ಪ್ರಶ್ನೆ: ನಾನು ಯಾವ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು x ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇನೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಾಗುತ್ತದೆಯೇ?
ಉತ್ತರ: ಹೌದು. ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ವಿಧಾನವು ಲಂಬವಾದ ಅಂತರಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು y ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗುವ ವಿಷಯವಾಗಿಯೂ ಮತ್ತು x ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿಷಯವಾಗಿಯೂ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ನೀವು ಬೇರೆ ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಇಂಟರ್‌ಸೆಪ್ಟ್ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ — ಕೇವಲ r ಮತ್ತು R² ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗದೆ ಹಾಗೇ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ನೀವು ಊಹಿಸಲು ಬಯಸುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು y ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ; ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ತಪ್ಪಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ದಾಖಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ವಾಪ್ ಬಟನ್ ಅವುಗಳನ್ನು ಇದ್ದ ಜಾಗದಲ್ಲೇ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ: R² ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನನಗೆ ಏನನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ: y ನಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯು ಎಷ್ಟು ಪಾಲನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು R² ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: 0.96 ಎಂದರೆ ಅದರ 96% ಭಾಗವು x ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 4% ಭಾಗವು ಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಸರಿಯಾದ ಆಕಾರವೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಇದು ಏನನ್ನೂ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ — ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಕೋರ್ ಪಡೆಯಬಹುದು — ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ರೆಸಿಡುವಲ್ ಪ್ಲಾಟ್ ಜೊತೆಗೆ ಓದಿ. ಸಹಸಂಬಂಧ r ಎಂಬುದು ಇಳಿಜಾರಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ R² ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಇದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಮುಖ ರೇಖೆಗೆ r ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ: ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳು ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕೆ ಬರುತ್ತವೆ?
ಉತ್ತರ: ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಾಸರಿ ಮಧ್ಯಂತರವು ಆ x ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಸರಾಸರಿ y ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ಹೊಸ ಅವಲೋಕನವು ಎಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಚದುರುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ — ಆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿಯೇ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ಡೇಟಾದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ x ದೂರ ಸರಿದಂತೆ ಎರಡೂ ವಿಸ್ತಾರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ: ಸಣ್ಣ p-ಮೌಲ್ಯ ಎಂದರೆ x ನಿಂದ y ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥವೇ?
ಉತ್ತರ: ಇಲ್ಲ. p-ಮೌಲ್ಯವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಿರಿದಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ: ನಿಜವಾದ ಇಳಿಜಾರು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಗಾತ್ರದ ಮಾದರಿಯು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ 0 ರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಇಷ್ಟು ದೂರವಿರುವ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ? ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು “ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ” ಎಂಬುದನ್ನು ಒಂದು ವಿಚಿತ್ರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಷ್ಟೇ. ಕಾರಣಕ್ಕೆ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿನ್ಯಾಸದ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ — ಎರಡೂ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂರನೇ ಅಂಶ, ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸದ ಮಾದರಿಯು ಅಷ್ಟೇ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಣ್ಣ p-ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.