ਲੀਨੀਅਰ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ

ਲੀਨੀਅਰ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ-ਵਰਗ ਵਿਧੀ

ਲੀਨੀਅਰ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਅੰਕੜਾ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਧੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ (ਪੂਰਵ-ਸੂਚਕ x) ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ (ਪ੍ਰਤੀਕਿਰਿਆ y) ਵਿਚਕਾਰ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਫਿੱਟ ਬੈਠਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਲੱਭੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਕੰਮ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਤਰੀਕਾ ਸਾਧਾਰਨ ਨਿਊਨਤਮ-ਵਰਗ (Ordinary Least Squares - OLS) ਵਿਧੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਧੀ ਅਸਲ ਡੇਟਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਰੇਖਾ ਵਿਚਕਾਰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਤਰਾਂ (residuals) ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਇਹ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods ਦੇ ਮਿਆਰਾਂ ਅਨੁਸਾਰ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਡੇਟਾ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਬਣਾਈ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਇਹ ਦੋ ਪੜਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੰਪਨਸੇਟਿਡ ਸਮੇਸ਼ਨ (compensated summation) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਔਸਤਾਂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਆਪਸੀ ਅੰਤਰ ਕਾਰਨ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।

ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਅਤੇ ਗਣਿਤਕ ਸੂਤਰ

ਲੀਨੀਅਰ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ŷ = a + b·x

ਇੱਥੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸੂਤਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:

• ਔਸਤਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ: x̄ = Σxᵢ ÷ n ਅਤੇ ȳ = Σyᵢ ÷ n
• ਵਿਚਲਨ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ: Sxx = Σ(xᵢ − x̄)², Syy = Σ(yᵢ − ȳ)², Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
• ਢਾਲ: ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ x ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਬਦਲਾਅ ਹੋਣ 'ਤੇ y ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਬਦਲਾਅ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। b = Sxy ÷ Sxx
• ਅੰਤਰ-ਖੰਡ: ਇਹ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਜਿੱਥੇ x ਦਾ ਮੁੱਲ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। a = ȳ − b·x̄

ਇਹ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਇਹਨਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪੜਾਅ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ:

• "ਔਸਤਾਂ: x̄ = ‹sumX› ÷ ‹n› = ‹meanX› ਅਤੇ ȳ = ‹sumY› ÷ ‹n› = ‹meanY›"
• "ਫੈਲਾਅ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਚਾਲ: Sxx = ‹sxx› ਅਤੇ Sxy = ‹sxy›"
• "ਢਾਲ (Slope): b = Sxy ÷ Sxx = ‹sxy› ÷ ‹sxx› = ‹slope›"
• "ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (Intercept): a = ȳ − b·x̄ = ‹meanY› − (‹slope›)·‹meanX› = ‹intercept›"

ਮਾਡਲ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ

ਮਾਡਲ ਡੇਟਾ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਕਿੰਨਾ ਸਹੀ ਬੈਠਦਾ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਮਾਪਦੰਡ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ:

• ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (ANOVA):
  • ਕੁੱਲ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ: SST = Syy
  • ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (Error): SSE = Σ(yᵢ − ŷᵢ)²
  • ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸਪਸ਼ਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਜੋੜ (Regression): SSR = SST − SSE
• ਨਿਰਧਾਰਨ ਗੁਣਾਂਕ (R²): ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ y ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਕੁੱਲ ਉਤਾਰ-ਚੜ੍ਹਾਅ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸਪਸ਼ਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। R² = SSR ÷ SST
• ਸਮਾਯੋਜਿਤ R² (Adjusted R²): ਇਹ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਅਤੇ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ R² ਨੂੰ ਸਮਾਯੋਜਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। Adjusted R² = 1 − (1 − R²)(n − 1) ÷ (n − 2)
• ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ r: ਇਹ x ਅਤੇ y ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। r = Sxy ÷ √(Sxx·Syy)
• ਰੈਜ਼ੀਡਿਊਲ ਫੈਲਾਅ s: ਇਹ ਅਸਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਔਸਤ ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। s = √(SSE ÷ (n − 2))

ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਟੈਸਟਿੰਗ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ

ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਅੰਕੜਾਤਮਕ ਮਹੱਤਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ t-ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:

• ਢਾਲ ਦੀ ਮਿਆਰੀ ਤਰੁੱਟੀ: SE(b) = s ÷ √Sxx
• ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦੀ ਮਿਆਰੀ ਤਰੁੱਟੀ: SE(a) = s · √(1÷n + x̄² ÷ Sxx)
• t-ਸਟੈਟਿਸਟਿਕ: t = ਅਨੁਮਾਨ ÷ ਮਿਆਰੀ ਤਰੁੱਟੀ
• p-ਮੁੱਲ: ਇਹ n − 2 ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ (degrees of freedom) 'ਤੇ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਟੈਸਟ ਰਾਹੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਭਰੋਸੇਯੋਗਤਾ ਪੱਧਰ (90%, 95%, ਜਾਂ 99%) ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਅਨੁਮਾਨ ± t_{1−α/2, n−2} × ਮਿਆਰੀ ਤਰੁੱਟੀ

ਡੇਟਾ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਵਰਤੋਂ ਦੇ ਨਿਯਮ

ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ਡੇਟਾ ਦਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਮੁੱਖ ਵਿਕਲਪ ਉਪਲਬਧ ਹਨ:

1. ਜੋੜਿਆਂ ਵਾਲੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ: ਪ੍ਰਤੀ ਲਾਈਨ ਇੱਕ x ਅਤੇ y ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕਰੋ। ਸਪ੍ਰੈਡਸ਼ੀਟ ਤੋਂ ਸਿੱਧੇ ਦੋ ਕਾਲਮ ਕਾਪੀ-ਪੇਸਟ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਗੈਰ-ਅੰਕੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਹੈਡਰ ਮੰਨ ਕੇ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
2. ਦੋ ਸੂਚੀਆਂ: x ਅਤੇ y ਦੇ ਮੁੱਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਕਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਰਜ ਕਰੋ।

ਦਸ਼ਮਲਵ ਅਤੇ ਵਿਭਾਜਕ ਨਿਯਮ:

• ਜੇਕਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (ਜਿਵੇਂ 12.5) ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੂਚੀਆਂ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਖਾਲੀ ਥਾਂ, ਕਾਮੇ ਜਾਂ ਨਵੀਂ ਲਾਈਨ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕੀਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
• ਜੇਕਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਲਈ ਕਾਮਾ (ਜਿਵੇਂ 12,5) ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੂਚੀਆਂ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਖਾਲੀ ਥਾਂ, ਸੈਮੀਕੋਲਨ ਜਾਂ ਨਵੀਂ ਲਾਈਨ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕੀਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

ਸੀਮਾਵਾਂ ਅਤੇ ਤਰੁੱਟੀਆਂ:

• ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 2 ਬਿੰਦੂ ਲੋੜੀਂਦੇ ਹਨ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 50,000 ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ 1 MB ਤੱਕ ਦਾ ਟੈਕਸਟ ਦਰਜ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
• ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 50 ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
• ਜੇਕਰ ਸੂਚੀਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ "ਇੱਥੇ ‹countX› x ਮੁੱਲ ਅਤੇ ‹countY› y ਮੁੱਲ ਹਨ — ਸੂਚੀਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।" ਤਰੁੱਟੀ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗੀ।
• ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ "ਹਰੇਕ x ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਰੇਖਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਢਾਲ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਭਾਗ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।" ਤਰੁੱਟੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।

ਗਣਨਾ ਦੀ ਗੋਪਨੀਯਤਾ

ਇਸ ਟੂਲ ਵਿੱਚ ਸੁਰੱਖਿਆ ਅਤੇ ਨਿੱਜਤਾ ਦਾ ਪੂਰਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ ਡੇਟਾ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕੜਾ ਇਸੇ ਬ੍ਰਾਊਜ਼ਰ ਵਿੱਚ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕਦੇ ਵੀ ਅਪਲੋਡ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ। ਸਾਰੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਸਥਾਨਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਪਭੋਗਤਾ ਦੇ ਡਿਵਾਈਸ 'ਤੇ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

---

ਅਕਸਰ ਪੁੱਛੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਵਾਲ (FAQ)

ਕੀ ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੈਂ x ਵਿੱਚ ਕਿਹੜਾ ਕਾਲਮ ਰੱਖਦਾ ਹਾਂ?

ਹਾਂ। ਨਿਊਨਤਮ ਵਰਗ (least squares) ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਤਰਾਂ ਨੂੰ ਘੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ y ਨੂੰ ਉਸ ਚੀਜ਼ ਵਜੋਂ ਮੰਨਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ x ਨੂੰ ਉਸ ਚੀਜ਼ ਵਜੋਂ ਮੰਨਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਢਾਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਇੰਟਰਸੈਪਟ (intercept) ਮਿਲੇਗਾ — ਸਿਰਫ਼ r ਅਤੇ R² ਹੀ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਜਿਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਤੁਸੀਂ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ ਉਸਨੂੰ y ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ; ਜੇਕਰ ਕਾਲਮ ਗਲਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਦਰਜ ਹੋ ਗਏ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਵੈਪ (swap) ਬਟਨ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਉਸੇ ਜਗ੍ਹਾ 'ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

R² ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਮੈਨੂੰ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ?

R² y ਵਿੱਚ ਉਤਾਰ-ਚੜ੍ਹਾਅ ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਹਿਸਾਬ ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: 0.96 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ 96% x ਦੇ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰ ਹੈ ਅਤੇ 4% ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਨਹੀਂ ਦੱਸਦਾ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਹੀ ਸਹੀ ਆਕਾਰ ਸੀ — ਇੱਕ ਸਪਸ਼ਟ ਵਕਰ (curve) ਅਜੇ ਵੀ ਉੱਚ ਸਕੋਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ — ਇਸ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਰੈਜ਼ੀਡਿਊਲ ਪਲਾਟ (residual plot) ਦੇ ਨਾਲ ਪੜ੍ਹੋ। ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ r, R² ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਢਾਲ (slope) ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਲਈ r ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕੀ ਇੱਕ ਛੋਟੇ p-ਮੁੱਲ ਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਹੈ ਕਿ x ਦੇ ਕਾਰਨ y ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ?

ਨਹੀਂ। p-ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: ਜੇਕਰ ਅਸਲ ਢਾਲ 0 ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਇਸ ਆਕਾਰ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ 0 ਤੋਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੰਨੀ ਦੂਰ ਦੀ ਢਾਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ? ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ “ਕੋਈ ਸਬੰਧ ਨਾ ਹੋਣ” ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਸੰਗਤ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਹੋਰ ਕੁਝ ਨਹੀਂ। ਕਾਰਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ — ਕੋਈ ਤੀਜਾ ਕਾਰਕ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਕਾਲਮਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਅਜਿਹਾ ਨਮੂਨਾ ਜੋ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਕੱਠਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਵੀ ਬੜੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਛੋਟੇ p-ਮੁੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਭਵਿੱਖਬਾਣੀਆਂ ਦੋ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਕਿਉਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ?

ਉਹ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਮੱਧਮਾਨ ਅੰਤਰਾਲ ਇਹ ਪੁੱਛਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸ x 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਲਈ ਔਸਤ y ਕਿੱਥੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਆਪਣੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਹੀ ਮਾਇਨੇ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਅੰਤਰਾਲ ਇਹ ਪੁੱਛਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਨਿਰੀਖਣ ਕਿੱਥੇ ਆਵੇਗਾ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਖਿੰਡਾਅ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ — ਇਸ ਵਾਧੂ ਪਦ ਦੇ ਕਾਰਨ ਹੀ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਵਧੇਰੇ ਚੌੜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ x ਤੁਹਾਡੇ ਡੇਟਾ ਦੇ ਮੱਧ ਤੋਂ ਦੂਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੋਵੇਂ ਅੰਤਰਾਲ ਚੌੜੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।