地震震央特定三辺測量計算ツールの概要
地震震央特定三辺測量計算ツールは、球面の地球モデル上において、3点から8点の観測点データを用いて地震の震央位置を推定する教育用オンラインツールです。各観測点の緯度、経度、およびS−P時間（初期微動継続時間）を入力し、波の伝播速度と時間誤差を設定することで、最小二乗法を用いてすべての観測点間の距離の不整合を最小化する最適な震央位置を算出します。
本ツールは、観測点配置の幾何学的な強度や、各観測点における距離の残差を可視化し、観測データがどの程度適合しているかを評価します。教育現場でのデモンストレーション用に「東京のサンプルデータを読み込む」ボタンが用意されているほか、入力をリセットする「クリア」ボタンも備わっています。
地震波の物理と三辺測量の原理
P波（主要動・疎密波）はS波（主要動・ねじれ波）よりも伝播速度が速いため、震源からの距離が大きくなるほど、両方の波の到達時間差（S−P時間）は広がります。この到達時間差 Δ t、P波速度 Vₚ、およびS波速度 Vₛ の関係から、震央距離 D は以下の式で近似されます。
近似距離: D = Δt ÷ (1/Vs − 1/Vp)
1つの観測点データからは震央までの距離（半径）のみが特定され、球面上の円として表現されます。2つの観測点による円は2つの交点を持ち、3つ以上の観測点（最小3点、最大8点）を用いることで、交点を1つの震央位置に特定することが可能になります。
実際の地球上での地表距離 d は、地球の平均半径 R = 6,371 km を用いて、ハバースの公式による中心角から計算されます。
地表距離: d = R × ハバースの公式による中心角（R = 6371 km）
観測データに誤差が含まれる実世界においては、すべての円が完全に1点で交わることは稀です。そのため、本ツールは以下の数式を用いて、すべての観測点における距離残差の二乗和を最小化する最小二乗法（L2ノルム最小化）を実行し、最適な震央を決定します。
震央適合: すべての観測点における Σ(dᵢ − Dᵢ)² の最小化
入力規則とエラーハンドリング
計算を正しく実行するためには、入力値が以下の制約を満たしている必要があります。制約から外れた数値を入力した場合、ツールは対応するエラーメッセージを表示します。
- 観測点数: 3点から8点の間で指定する必要があります。範囲外の場合は
観測点は3点から8点の間で指定してください。と表示されます。 - 数値入力: 数値以外の文字が入力された場合、
input: 「abc」は数値ではありません。が出力されます。 - 緯度・経度: 緯度は -90° から 90°、経度は -180° から 180° の範囲で入力します。範囲外の場合は、
観測点 1: 緯度は−90°から90°の間で入力してください。または観測点 1: 経度は−180°から180°の間で入力してください。と表示されます。 - S−P時間: 0秒より大きく2,000秒以下である必要があります。違反時は
観測点 1: 0秒より大きく2000秒以下のS−P時間を入力してください。と表示されます。 - 波の速度: P波速度およびS波速度は、0 km/sより大きく20 km/s以下で、かつP波速度がS波速度より大きくなければなりません。違反時は
Vₚ/Vₛは0 km/sより大きく20 km/s以下の範囲で入力してください。またはP波速度はS波速度より大きな値にする必要があります。と表示されます。 - 時間誤差 (1σ): 0秒より大きく60秒以下である必要があります。違反時は
時間誤差は0秒より大きく、60秒以下である必要があります。と表示されます。 - 配置の重複と幾何学的安定性: 2つの観測点が同一座標にある場合は
観測点 1 と 2 が同じ座標に設定されています。異なる観測点位置を使用してください。と表示されます。また、観測点が一直線上や狭い範囲に密集している場合は、これらの観測点からは、安定した二次元の位置を特定できません。現在の直線または群から離れた位置に観測点を追加してください。と表示されます。 - 計算限界: 数値がオーバーフローした場合は
数値または中間計算結果が、サポートされている数値範囲を超えています。と表示されます。
計算結果と出力情報の見方
計算が実行されると、以下の結果が出力されます。
- 観測点の適合状況: 各観測点について「計算された半径」（S−P時間から導出した距離）と、適合した震央からの「球面距離」、およびその差分である「残差」がテーブルに表示されます。
- 適合品質の評価:
- 距離の適合度は、良好な距離適合、混在した距離適合、または不十分な距離適合として評価されます。
- 観測点の配置強度は、強固な観測点配置、標準的な観測点配置、または脆弱な観測点配置として評価されます。
- 統計値: 「RMS距離残差」、「最大距離残差」、「概算位置誤差 1σ」、「観測点ごとの距離誤差 1σ」が算出されます。
- 概略図: 観測点と推定震央の相対的な位置関係を示す「観測点配置の概略図」が表示されます。これには「相対的な位置関係のみを示しています。地図、境界線、リアルタイムの地震データは含まれません。」という注記が伴います。
簡易モデルにおける適用範囲と限界
本ツールは、地球を一様な地殻を持つ完全な球面（半径 6,371 km）として扱う教育用の簡易モデルです。そのため、実際の地震カタログ作成で考慮される以下の要素は省略されています。
- 震源の深さ（極浅発地震を想定）
- 地球内部の層状構造および三次元的な速度不均質
- 屈折・湾曲する地震波の経路
- 観測点の時計のバイアスや相（フェーズ）の誤認
算出される位置の不確実性は、ユーザーが入力した「時間誤差 (1σ)」のみを幾何学的に伝播させたものであり、速度モデル自体の不確実性や系統誤差は含まれません。
プライバシーとデータ処理
本ツールにおけるすべての計算処理は、利用者のブラウザ上（ローカルデバイス内）で完結します。入力された観測点の座標、S−P時間、および計算結果が外部のサーバーに送信またはアップロードされることはありません。
よくある質問 (FAQ)
なぜ3つの観測点が必要なのですか？
1つのS−P測定値からは距離を示す円が得られますが、方向は特定できません。2つの円は2箇所で交わります。通常、3つ目の観測点によって位置が1つに決定され、4つ目以降の観測点によって残差を通じた不整合が可視化されます。震源を取り囲むように配置された観測点は、一列に並んだ観測点よりも緯度と経度の両方をより正確に特定できます。
S−P距離は正確な地表距離ですか？
いいえ。一定速度を前提とした方程式は、到達時間の差から共通の伝播経路を推定するものです。その半径を球面上の地表距離として扱うことは、震源が浅く、単純な速度構造であることを前提としています。実際の走時曲線は、震源の深さ、距離、および各地震波が通過する媒体の材質に依存します。
残差が正または負であることは何を意味しますか？
残差とは、適合した球面距離からS−P時間により推定された距離を引いた値です。正の値は適合した震央がその観測点からS−P半径よりも遠いことを意味し、負の値は近いことを意味します。正負の大きな残差が混在している場合は、選択された速度モデルにおいて、各円が1つの明確な交点を共有していないことを示しています。
位置の不確実性には何が含まれますか？
この値は、入力された単一の時間誤差 1σ を、S−P距離係数および適合点付近の観測点配置に基づいて伝播させたものです。誤った速度モデル、震源の深さ、相（フェーズ）の誤認、時計のバイアス、地球の三次元構造などは考慮されていないため、完全な精度を保証するものではありません。