Lausn á annars stigs jöfnum með auðveldum hætti
Annars stigs jöfnu reiknivél er ókeypis tól á netinu sem leysir jöfnur á forminu ax² + bx + c = 0. Notendur geta fundið rætur jöfnu með því annaðhvort að slá inn stuðlana þrjá hvern fyrir sig eða með því að líma heila jöfnu beint inn í tólið. Reiknivélin reiknar og sýnir lausnirnar sjálfkrafa í bæði nákvæmu formi og sem tugatölur, sýnir útreikningana skref fyrir skref og gefur upp helstu rúmfræðilega eiginleika jöfnunnar ásamt sjónrænni teikningu af ferlinum.
Sérhver útreikningur fer fram í vafranum þínum — tölurnar sem þú slærð inn fara aldrei af tækinu þínu.
Sveigjanlegur innsláttur og flýtidæmi
Tólið býður upp á tvær leiðir til að slá inn gögn undir valmöguleikanum „Slá inn sem“:
- Stuðlar: Einstakir innsláttarreitir fyrir Stuðull við x² (a), Stuðull við x (b) og Frjáls liður (c). Þessir reitir taka við heilum tölum, tugatölum, almennum brotum (t.d. 3/4) og tölum á vísindalegu sniði (t.d. 2e-3).
- Heil jafna: Einn innsláttarreitur sem ber heitið Jafnan þín. Þessi reitur tekur við fullri jöfnulínu (t.d. 2x² + 3x − 5 = 0) í hvaða liðaröð sem er. Heimilt er að nota hvaða staka bókstaf sem er sem óþekkta stærð og leyfilegt er að hafa liði báðum megin við jafnaðarmerkið.
Undir „Prófaðu dæmi“ er hægt að smella á flýtivísanir til að sjá hvernig tólið vinnur með ólíkar gerðir jafna:
- Tvær rauntölulausnir
- Ein tvöföld rót
- Engar rauntölulausnir
- Brot sem stuðlar
Hægt er að hreinsa alla reiti fljótt með því að smella á hnappinn Hreinsa.
Skilningur á annars stigs formúlunni og aðgreininum
Til að finna rætur annars stigs jöfnu er stuðst við jöfnuna:
x = (−b ± √Δ) / 2a
Hér táknar Δ aðgreini jöfnunnar, sem er reiknaður með formúlunni:
Δ = b² − 4ac
Gildi aðgreinisins ákvarðar eðli og fjölda rótanna:
- Ef Δ > 0, gefur tólið tvær ólíkar rauntölurætur.
- Ef Δ = 0, gefur tólið eina tvöfalda rót.
- Ef Δ < 0, gefur tólið tvær tvinntölurætur sem innihalda tvinntölueininguna i. Í þessu tilfelli er jafnan sýnd sem x = (−b ± i√(4ac − b²)) / 2a til að forðast að sýna kvaðratrót af neikvæðri tölu í útreikningunum.
Nákvæmni útreikningsins byggir á því að fjöldi rauntalna er ákvarðaður út frá nákvæmu heiltölugildi b² − 4ac en ekki námunduðu gildi. Þetta kemur í veg fyrir að jafna þar sem b² og 4ac eru næstum jafnstór sé ranglega sögð hafa tvöfalda rót. Jafnframt heldur minni rótin í jöfnum eins og x² + 1000000000x + 1 = 0 marktækum stöfum sínum í stað þess að falla niður í 0.
Niðurstöður og rúmfræðilegir eiginleikar
Lausnirnar uppfærast jafnóðum í rauntíma þegar slegið er inn í reitina. Undir Lausnir birtast niðurstöðurnar á tveimur formum:
- Nákvæmt: Sýnir nákvæma stærðfræðilega framsetningu rótanna. Hún er sýnd sem heil tala eða fullstytt almennt brot ef aðgreinirinn er ferningstala. Ef aðgreinirinn er ekki ferningstala er sýnt einfaldað rótartákn þar sem stærsti ferningsþátturinn er dreginn út fyrir rótina (t.d. (3 + √5)/2). Ef aðgreinirinn er neikvæður birtist tvinntölupar skrifað með i.
- Tugatala: Tugatala birtist beint fyrir neðan nákvæma formið, en aðeins þegar hún segir eitthvað sem nákvæma formið sýnir ekki.
Hægt er að smella á niðurstöðurnar til að afrita þær fljótt, en þá birtist vísbendingin Smelltu til að afrita.
Samhliða lausnunum birtist viðeigandi flokkunarskilaboð:
- Tvær ólíkar rauntölurætur — ferillinn sker x-ásinn tvisvar.
- Ein tvöföld rót — ferillinn snertir rétt x-ásinn.
- Tvær tvinntölurætur — ferillinn nær aldrei að x-ási.
- Þar sem a = 0 er þetta línuleg jafna, leyst fyrir x hér að neðan.
- Ekkert gildi á x getur gert þetta satt.
- Sérhver tala er lausn.
Undir Helstu eiginleikar birtir reiknivélin mikilvæg rúmfræðileg einkenni fleygbogans:
- Aðgreinir (Δ)
- Topppunktur
- Samhverfuás
- Skurðpunktur við y-ás
- Summa róta (reiknuð sem −b/a samkvæmt reglum Vieta)
- Margfeldi róta (reiknað sem c/a samkvæmt reglum Vieta)
- Þáttað form: Þetta er aðeins sýnt ef jafnan þáttast yfir ræðar tölur; jöfnur með óræðar rætur eða tvinntölurætur hafa ekki þessa línu.
Teikning undir Lögun ferilsins sýnir sjónrænt hvernig ferillinn liggur gagnvart x-ásnum.
Skref fyrir skref útreikningur
Tólið sýnir ítarlega hvernig niðurstaðan er fengin undir Skref fyrir skref:
- Reiknaðu út aðgreininn: Sýnir útreikninginn á b² − 4ac.
- Settu tölurnar þínar inn í regluna: Sýnir innsetningu stuðlanna í annars stigs formúluna.
- Lestu hverja lausn: Sýnir lokaskrefin við að einangra og einfalda ræturnar.
Ef jafnan reynist línuleg (þar sem a = 0) breytist ferlið yfir í Einangraðu x til að sýna hvernig línulega jafnan bx + c = 0 er leyst.
Sérstök tilfelli og villuboð
Ef stuðullinn a er settur sem 0 breytist jafnan í línulega jöfnu (bx + c = 0). Tólið leysir hana án þess að stöðvast og sýnir línulegu skrefin. Ef bæði a og b eru 0 (algerlega úrkynjað tilfelli) metur tólið fastann sem eftir stendur og gefur annaðhvort út skilaboðin „Ekkert gildi á x getur gert þetta satt.“ eða „Sérhver tala er lausn.“.
Tólið fylgir ströngum reglum um innslátt og birtir viðeigandi villuboð ef út af bregður:
| Vandamál í innslætti | Villuboð sem birtast |
|---|---|
| Ógilt snið á tölu | Sláðu inn tölu eins og 2, −0.5 eða 3/4. |
| Núll í nefnara almenns brots | Brot getur ekki haft 0 undir striki. |
| Innsláttur of langur | Þessi innsláttur er lengri en þetta tól getur lesið. |
| Svigar í jöfnunni | Margfaldaðu upp úr svigunum fyrst — þetta les aðeins einfalt ax² + bx + c form. |
| Fleiri en einn bókstafur notaður | Notaðu einn bókstaf fyrir óþekkta stærð. |
| Veldi hærra en 2 eða breyta í nefnara | Þetta leysir jöfnur upp í x² — ekkert hærra veldi og enginn bókstafur undir brotastrik. |
| Rangur fjöldi jafnaðarmerkja | Notaðu eitt jafnaðarmerki, með einhverju báðum megin við það. |
| Enginn bókstafur til að leysa | Hér er enginn bókstafur til að leysa úr. |
| Jafna ólesanleg | Ekki var hægt að lesa þetta sem jöfnu. Prófaðu formið 2x² + 3x − 5 = 0. |
Algengar spurningar
Hvað get ég slegið inn?
Stuðlaboxin taka við heilum tölum, tugatölum, brotum eins og 3/4 og gildum eins og 2e-3. Jöfnuboxið tekur við heilli línu eins og 2x² + 3x − 5 = 0, í hvaða liðaröð sem er, með hvaða staka bókstaf sem er sem óþekkta stærð, og með liði báðum megin við jafnaðarmerkið.
Hvað gerist þegar a er 0?
Ekkert fer úrskeiðis. Án x²-liðar er jafnan línuleg, svo hún er leyst sem bx + c = 0 og svarið birtist á sama stað. Ef b er líka 0, færðu að vita hvort fullyrðingin er ósönn fyrir öll x eða sönn fyrir öll x.
Hvað segir aðgreinirinn mér?
Aðgreinirinn er b² − 4ac. Ef hann er yfir núlli sker ferillinn x-ásinn tvisvar og báðar rætur eru rauntölur og ólíkar; ef hann er nákvæmlega núll snertir hann ásinn einu sinni og ræturnar tvær samfalla; ef hann er undir núlli missir ferillinn alveg af ásnum og báðar rætur eru tvinntölur.
Á hvaða formi eru lausnirnar gefnar?
Hver lausn er fyst sýnd nákvæmlega — heil tala, fullstytt almennt brot eða einfaldað rótartákn eins og (3 + √5)/2 — með tugatölu fyrir neðan. Þegar aðgreinirinn er neikvæður færðu tvinntölupar í staðinn, skrifað með i.