一元二次方程式計算器 — 精確根

一元二次方程式是代數學的基石，其標準形式為 ax² + bx + c = 0。本「一元二次方程式計算器」提供直覺且強大的介面，協助您快速求解並深入分析二次方程式的幾何與代數特性。

靈活的輸入方式與即時運算

本工具支援兩種輸入模式，解答與各項分析結果皆會隨著您的輸入即時更新：

係數模式：您可以分別在「x² 係數 (a)」、「x 係數 (b)」與「常數 (c)」三個欄位中輸入數值。這些欄位支援整數、小數、分數（例如 3/4）以及科學記號（例如 2e-3）。
完整方程式模式：在「您的方程式」單一欄位中，您可以直接輸入整行方程式（例如 2x² + 3x − 5 = 0）。此模式極具彈性，項的順序不限，等號兩邊皆可有項，且允許使用任何單一字母作為未知數。

為了方便快速測試，工具亦提供「試試看」快速填充範例，包含「兩個實根」、「一個重根」、「無實根」與「分數係數」。若要重新輸入，點擊「清空」按鈕即可清除所有欄位。

二次方程式的根（即方程式的解）與其對應的二次函數曲線（拋物線）在幾何上密不可分。決定根的性質之關鍵在於判別式（以符號 Δ 表示），其計算公式為 Δ = b² − 4ac。

本工具會根據精確的整數判別式值（而非四捨五入後的值）來判定根的數量與性質，避免因數值接近而產生誤判。判別式與曲線形狀的關係如下：

在科學與工程計算中，保留精確的數學表達式至關重要。本工具在「解答」區域會同時提供兩種格式，並附有「點擊複製」的互動提示：

精確值：
- 當判別式為完全平方數時，解答會顯示為整數或最簡分數。
- 當判別式非完全平方數時，會顯示化簡後的根式（將根號內的最大平方因數提至根號外，例如 (3 + √5)/2）。
- 當判別式為負時，會以虛數單位 i 表示共軛複數根。為了避免在介面上出現負數開根號的非標準寫法，代入公式會顯示為 x = (−b ± i√(4ac − b²)) / 2a。
小數值：
- 小數值會直接顯示在精確值下方，僅在小數能提供額外資訊時出現。
- 針對極端數值（例如 x² + 1000000000x + 1 = 0），計算器能精確保留較小根的有效位數，避免其因捨入誤差而直接塌陷為 0。

除了給出最終答案，計算器還會完整呈現「詳細步驟」，引導您理解求解過程：

此外，在「關鍵特徵」區域中，工具會列出該方程式的所有核心幾何與代數屬性：

本工具具備完善的容錯與邊界條件處理機制：

線性方程式退化 (a = 0)：當 x² 係數為 0 時，方程式退化為線性方程式 bx + c = 0。工具不會報錯，而是會切換為「由於 a = 0，此為線性方程式，下方已為您求出 x 的解。」，並在步驟中顯示「移項以求解 x」。
常數退化 (a = 0 且 b = 0)：若前兩項皆為 0，工具會評估剩餘的常數等式，並顯示「無任何 x 值能使此等式成立。」或「任何數皆為解。」。
輸入限制與錯誤提示：
- 不支援分母含有未知數的方程式（例如分母不可含有字母）。
- 僅能求解至二次方（x²），不支援更高次方。
- 輸入前必須先展開括號，工具僅讀取一般的 ax² + bx + c 形式。

若輸入不符合規範，系統會即時顯示對應的錯誤訊息，例如「請先展開括號 — 本工具僅讀取一般的 ax² + bx + c 形式。」、「請使用單一字母作為未知數。」或「分數的分母不能為 0。」。

所有步驟都在您的瀏覽器中計算完成 — 您輸入的數字絕不會離開您的裝置。

係數欄位可輸入整數、小數、像 3/4 這樣的分數，以及像 2e-3 這樣的值。方程式欄位可輸入完整的一行內容，例如 2x² + 3x − 5 = 0，項的順序不限，並可使用任何單一字母作為未知數，且等號兩邊皆可有項。

不會發生錯誤。在沒有 x² 項的情況下，方程式為線性方程式，因此會以 bx + c = 0 進行求解，且答案會顯示在相同的位置。如果 b 同時也為 0，系統會告訴您該陳述是對所有的 x 皆為假，還是對所有的 x 皆為真。

判別式為 b² − 4ac。當判別式大於零時，曲線與 x 軸相交兩次，且兩個根均為相異實根；剛好等於零時，曲線與 x 軸僅接觸一次，且兩個根重合；小於零時，曲線與 x 軸完全不相交，且兩個根均為複數根。

每個解都會先顯示精確值 — 整數、最簡分數或簡化後的根式（例如 (3 + √5)/2）— 下方則顯示小數值。當判別式為負時，則會改為顯示以 i 表示的共軛複數根。