線性迴歸計算器

最小平方法線性迴歸的數學原理

線性迴歸是統計學中用來建模兩個連續變數之間關係的經典方法。本計算器採用普通最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS），在二維空間中尋找一條直線，使得所有觀測點到該直線的垂直距離（即殘差）平方和達到最小。

為了確保在高精度計算時不會因為數值捨入而損失精確度，本工具在計算離差平方和時，採用了雙遍補償求和演算法（Compensated Summation）來計算圍繞平均值的離差：

• 自變數離差平方和：Sxx = Σ(xᵢ − x̄)²
• 應變數離差平方和：Syy = Σ(yᵢ − ȳ)²
• 共變異離差平方和：Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)

透過上述基礎變數，即可推導出迴歸線的兩大核心參數：

• 斜率 b：b = Sxy ÷ Sxx
• 截距 a：a = ȳ − b·x̄

其中，x̄ 與 ȳ 分別代表自變數與應變數的算術平均值。當您輸入資料後，計算器會即時進行運算，並在「公式與代入計算」區域中依序呈現以下推導步驟，方便您驗證計算過程：

1. 平均值：x̄ = ‹sumX› ÷ ‹n› = ‹meanX› 且 ȳ = ‹sumY› ÷ ‹n› = ‹meanY›
2. 離差平方和與共變異：Sxx = ‹sxx› 且 Sxy = ‹sxy›
3. 斜率：b = Sxy ÷ Sxx = ‹sxy› ÷ ‹sxx› = ‹slope›
4. 截距：a = ȳ − b·x̄ = ‹meanY› − (‹slope›)·‹meanX› = ‹intercept›

迴歸係數與統計顯著性檢定

擬合出迴歸線後，評估斜率與截距的統計顯著性是推論統計的重要步驟。本工具會計算係數的標準誤，並進行雙尾 t 檢定，以確認自變數對應變數是否具有顯著影響。

在「係數」表格中，各欄位分別對應「項目」、「估計值」、「標準誤」、「t」、「p」以及「‹level›% 信賴區間」。其背後的數學公式如下：

• 殘差標準差 s：s = √(SSE ÷ (n − 2))，其中 SSE 為殘差平方和（Σ(yᵢ − ŷᵢ)²）。
• 斜率標準誤 SE(b)：SE(b) = s ÷ √Sxx。
• 截距標準誤 SE(a)：SE(a) = s · √(1÷n + x̄² ÷ Sxx)。
• t 統計量：t = 估計值 ÷ 其標準誤。

在自由度為 n − 2 的條件下，利用正規化不完全 Beta 函數計算出雙尾 p 值。若單一自變數模型中，斜率的 t 檢定與整體 F 檢定所得到的 p 值完全相同。

變異數分析與擬合優度指標

為了評估迴歸模型對資料的解釋能力，計算器提供了「變異數分析」表格，將總變異拆解為可解釋與不可解釋的部分：

透過變異數的拆解，我們可以定義出以下指標來衡量模型的擬合優度：

• R²（決定係數）：R² = SSR ÷ SST，代表 y 的總變異中可由迴歸線解釋的比例。
• 調整後 R²：1 − (1 − R²)(n − 1) ÷ (n − 2)，排除了樣本數對解釋力的虛增影響。
• 相關係數 r：r = √R²，其正負號與斜率 b 相同，用以表示兩變數間的線性相關強度與方向。

預測區間與殘差分析

當您在「預測特定 x 的 y 值」輸入預測點時，計算器會計算出預測值 ŷ₀ = a + b·x₀，並提供兩種不同定義的區間：

1. 平均值 ‹level›%：針對特定 x₀ 下，所有可能 y 平均值的信賴區間。其標準誤為 s · √(1÷n + (x₀ − x̄)² ÷ Sxx)。
2. 個別值 ‹level›%：針對單一新觀測值的預測區間。由於必須額外考慮個體圍繞迴歸線的隨機波動，其標準誤為 s · √(1 + 1÷n + (x₀ − x̄)² ÷ Sxx)。因此，個別值預測區間的範圍永遠比平均值信賴區間更寬。

若您輸入的預測 x 值超出了原始資料的範圍，系統會在預測結果中標記「超出資料範圍」，並顯示提示：「標記的資料列所使用的 x 值超出了您輸入的資料範圍，因此該線段是延伸至現有資料之外的預測。」

此外，在「擬合與殘差」圖表中，您可以觀察「包含最小平方法迴歸線與其平均值信賴帶的散佈圖」與「殘差對 x 的分佈圖，分佈在零線周圍」，藉此檢查資料是否符合線性關係與常態分佈假設。

資料輸入規範與邊界條件

本計算器支援「成對資料列」與「兩組清單」兩種版面配置。為了確保計算順利進行，請遵循以下輸入規則與系統限制：

• 資料量限制：最少需輸入 2 個點，上限為 50,000 個點且複製文字不超過 1 MB。預測值輸入上限為 50 個。
• 小數點與分隔符號：
  • 使用句點（.）作為小數點時，清單數值需以空格、逗號或換行分隔。
  • 使用逗號（,）作為小數點時，清單數值需以空格、分號或換行分隔。
• 自動忽略標頭：若成對資料的第一列包含非數值文字，系統會自動將其視為試算表的標頭列並予以忽略，方便您直接複製貼上。
• 特殊邊界狀況：
  • 剛好兩個點：系統會顯示「兩個點會剛好決定一條線，因此沒有多餘的資訊可用於估計不確定性。」
  • 完美擬合：若所有點皆在線上，系統會顯示「資料點完全落在迴歸線上，因此沒有殘差變異，無法估計信賴區間或 p 值。」
  • 所有 y 值相同：系統會顯示「所有的 y 值皆相同，因此迴歸線為水平線，r、R² 與顯著性檢定皆無定義。」
  • 所有 x 值相同：系統會停止計算並顯示錯誤訊息：「所有的 x 值皆相同，這會導致迴歸線呈垂直狀態，且斜率計算會除以零。」

隱私保護與本地運算說明

本工具非常重視您的資料隱私。您的資料點與所有統計數據均保留在此瀏覽器中，絕不會被上傳。所有的矩陣運算、公式代入、圖表繪製與統計檢定皆完全在您的本機瀏覽器中即時完成，不會與任何外部伺服器進行資料交換。

---

常見問題

我把哪一個欄位放在 x 有關係嗎？

是的。最小平方法會將垂直距離最小化，因此它將 y 視為被解釋變數，將 x 視為解釋變數。將兩者對調會得到不同的斜率與截距 — 只有 r 與 R² 會保持不變。請將您想要預測的變數放在 y；如果欄位放反了，可以使用對調按鈕直接在原處重寫。

R² 實際上告訴了我什麼？

R² 是 y 的上下起伏變異中，可由迴歸線解釋的比例：0.96 代表有 96% 的變異與 x 一致，而有 4% 則無法解釋。它無法說明直線是否為正確的擬合形狀 — 明顯的曲線仍可能獲得極高的分數 — 因此請務必配合殘差圖一起解讀。相關係數 r 是 R² 的平方根並帶有斜率的正負號，這也是為什麼遞減的迴歸線其 r 值會是負數。

為什麼預測結果會提供兩種區間？

這兩個區間回答不同的問題。平均值信賴區間探討的是在特定 x 下，所有對象的平均 y 值落在哪裡，因此僅計算迴歸線本身的誤差。個別值預測區間探討的是單一個新觀測值會落在哪裡，這必須加上資料點圍繞迴歸線的離散程度 — 正是因為多了這項變異，個別值預測區間總是比平均值信賴區間更寬。當 x 越遠離資料的中心時，這兩個區間都會變寬。

極小的 p 值是否代表 x 導致了 y？

不會。p 值僅回答一個狹隘的問題：如果真實斜率為 0，在相同樣本大小下，有多大的機率會得到與 0 相差至少如此之遠的斜率？極小的 p 值僅代表「兩者毫無關係」這個解釋顯得牽強，僅此而已。因果關係需要研究設計的支持 — 影響這兩個欄位的第三個潛在因素，或是非獨立收集的樣本，都同樣容易產生極小的 p 值。