投票制度的數學原理與資訊提取
在單一議席的選舉中，選民的意願往往比單一選擇更為豐富。不同的投票制度在處理排序選票時，會提取並加權不同的資訊，從而可能導出截然不同的選舉結果。
「投票制度比較器」是一個透明的單一議席比較工具，旨在向公眾展示同一組排序選票在五種不同計票規則下的運作過程。這五種制度包括：
- 多數制（Plurality）：僅提取選民的第一選擇，以「第一選擇總票數最高」為勝出標準。
- 即時淘汰制 (IRV)（Instant runoff）：採用多輪淘汰機制，在「每輪淘汰唯一的最低得票候選人後過半數」來決定勝出者。
- 波達計分制（Borda count）：根據選票上的完整排名分配分數，以「所有排名累計得分最高」者勝出。
- 贊成投票制（Approval）：根據使用者選擇的前列門檻，計算在該範圍內出現次數最多的候選人。
- 寇普蘭 / 兩兩對決（Copeland / pairwise）：將候選人進行兩兩對決，以「兩兩對決每勝出一次得 1 分，平手得 0.5 分」的規則累計得分。
透過比較這些制度，我們可以直觀地觀察到，選票上的偏好順序如何透過不同的數學邏輯轉化為最終的政治或組織決策。
輸入規範與數據限制
為了確保計算的準確性與系統的穩定性，輸入的數據必須嚴格遵守以下格式與限制：
候選人名單
- 候選人數量必須介乎 2 至 8 位之間。
- 每個候選人名稱長度不能超過 40 個字元。
- 候選人名稱必須唯一，包括大小寫差異。
- 候選人名稱不能包含冒號或大於符號（>）。
分組排序選票
- 最多只能使用 200 行分組選票。
- 每行必須格式化為「45: Cedar > Harbor > Summit」的格式，即「選票張數: 候選人 A > 候選人 B > 候選人 C」。
- 冒號前必須是一個整數選票張數，且每行必須包含 1 至 1,000,000 張選票。
- 每行選票必須對每位候選人進行且僅進行一次排序，不允許不完整排序或對同一位候選人進行多次排序。
- 總選票張數必須保持在 10,000,000 張或以下。
系統限制
- 貼上的情境數據過大時，系統會攔截並顯示錯誤訊息：「貼上的情境數據過大。請將合併輸入限制在 100 KB 以下。」
- 若未輸入足夠資訊，系統會提示「請在加入選票前輸入至少兩位候選人。」或「請輸入至少一組排序選票。」
兩兩對決與孔多塞準則
在投票理論中，孔多塞勝出者（Condorcet Winner）是指在與任何其他候選人進行一對一兩兩對決時，均能獲得多數選民支持的候選人。
本工具提供「兩兩對決矩陣」，每個單格代表將橫行候選人排在直欄候選人之前的選民人數。透過此矩陣，系統會自動判定並標註：
- 若存在孔多塞勝出者，會顯示「同時在兩兩對決中擊敗所有對手」。
- 若不存在，則會標示「沒有候選人在兩兩對決中擊敗所有對手。」
寇普蘭制（Copeland）則是處理兩兩對決的經典方法，它為每一次兩兩對決的勝出分配 1 分，平手分配 0.5 分，從而解決可能出現的投票循環（即 A 擊敗 B，B 擊敗 C，C 擊敗 A）。
即時淘汰制（IRV）的運作與平手判定
即時淘汰制（IRV）在每輪計票中，會統計當前所有有效選票的第一選擇。
- 如果某位候選人獲得過半數票數，系統會宣佈「
Cedar達到51票的過半數門檻」並結束計票。 - 若無人過半，系統會執行「淘汰
Cedar」決策，將其選票轉移給選票上的下一個有效選擇。 - 平手處理：如果在淘汰過程中，最低得票位置出現無法解決的平手，系統會停止淘汰，並顯示「停止：最低得票位置在
Cedar, Harbor之間出現平手」。若所有剩餘候選人得票相同，則顯示「所有剩餘的候選人得票相同」。
計算公式與變數定義
本工具在計算過程中，嚴格依據以下數學公式進行運算：
- 多數制： P(c) = Σ count_b · 1[first_b = c]
- 波達計分制： B(c) = Σ count_b · (m − rank_b(c))
- 贊成投票制： A(c) = Σ count_b · 1[rank_b(c) ≤ k]
- 即時淘汰制 (IRV)： V(c) > V ÷ 2
- 寇普蘭 / 兩兩對決： C(c) = W(c) + 0.5 × T(c)
變數說明：
- b — 一組分組選票；count_b 為其選民人數
- c — 正在計票的候選人
- k — 上方選擇的贊成門檻
- m — 候選人總數
- rank_b(c) — 候選人 c 在選票 b 上的排名位置，由 1 開始
- V — 當前即時淘汰制（IRV）輪次中的有效選票；V(c) 為候選人 c 的有效總票數
- W(c) 及 T(c) — 候選人 c 的兩兩對決勝出次數和平手次數
隱私與數據處理說明
本工具充分保障用戶的數據隱私。候選人名稱和選票均保留在你的瀏覽器中，絕不會被上傳或儲存。所有的計票與矩陣生成均在本地瀏覽器內即時完成。
常見問題
相同的排序選票真的會產生不同的勝出者嗎？
可以。每種規則使用的資訊都不同：多數制僅保留第一選擇，波達計分制使用所有排名，即時淘汰制（IRV）在淘汰後轉移選票，而兩兩對決計數則每次比較兩位候選人。本範例的設計旨在讓這些差異變得直觀且可追溯。
如何將贊成投票制與排序選票進行比較？
排序選票本身並未標示贊成在何處結束。因此，本工具會使用你選擇的門檻：前 1 位、前 2 位等。該假設僅適用於贊成投票制一欄，並會顯示在其結果旁。
寇普蘭勝出者是否必定是孔多塞勝出者？
不是。孔多塞勝出者必須在兩兩對決中擊敗所有對手，但由於選民偏好可能形成循環，因此可能並不存在此勝出者。寇普蘭制仍會為兩兩對決中的勝出和平手分配分數；其最高得分會單獨報告，且可能會出現平手。
我可以使用本工具來認證正式的選舉結果嗎？
不是。本比較器使用完整的嚴格排序、單一議席以及「平手即停止」的即時淘汰制（IRV）規則。實際的選舉法規和組織章程對廢票、跳過排序、自填候選人、平手判定、審計和多議席轉移的定義可能有所不同。