Класична формула ефекту Доплера
Математична модель класичного ефекту Доплера описує зміну частоти хвилі, яку фіксує спостерігач, коли джерело хвилі та/або сам спостерігач рухаються відносно нерухомого однорідного середовища. Рух відбувається вздовж прямої лінії, що з'єднує джерело та спостерігача.
Залежність спостережуваної частоти f′ від випущеної частоти f₀, швидкості поширення хвилі в середовищі v, швидкості спостерігача vₒ та швидкості джерела vₛ визначається класичною формулою:
f′ = f₀ × (v ± vₒ) ÷ (v ∓ vₛ)
Знаки у чисельнику та знаменнику залежать від напрямку руху об'єктів:
- Якщо спостерігач наближається до джерела, його швидкість додається до швидкості хвилі (v + vₒ), збільшуючи спостережувану частоту.
- Якщо спостерігач віддаляється, його швидкість віднімається (v − vₒ).
- Якщо джерело наближається до спостерігача, його швидкість віднімається від швидкості хвилі у знаменнику (v − vₛ), що зменшує знаменник і збільшує кінцеву частоту.
- Якщо джерело віддаляється, його швидкість додається у знаменнику (v + vₛ).
Цей калькулятор автоматично визначає правильні знаки на основі вибраних напрямків руху та виконує обчислення за цим математичним апаратом.
Вхідні параметри та налаштування середовища
Для проведення розрахунку необхідно задати фізичні властивості середовища та параметри руху об'єктів. Калькулятор підтримує такі вхідні дані:
- Середовище: випадаючий список із попередньо встановленими значеннями швидкості звуку для різних умов:
- «Повітря (20 °C)».
- «Повітря (0 °C)».
- «Гелій (0 °C)».
- «Вода (20 °C)».
- «Інше середовище» — дозволяє ввести власне значення швидкості хвилі.
- Швидкість хвилі: швидкість поширення хвилі у вибраному середовищі. Введення значення вручну автоматично перемикає вибір середовища на «Інше середовище».
- Випущена частота: частота коливань, що генеруються джерелом.
- Швидкість джерела: швидкість руху джерела відносно середовища.
- Швидкість спостерігача: швидкість руху спостерігача відносно середовища.
- Рух джерела: напрямок руху джерела, який може набувати значень «Наближається», «Віддаляється» або «Нерухомий».
- Рух спостерігача: напрямок руху спостерігача, який набуває значень «Наближається», «Віддаляється» або «Нерухомий».
- Одиниця частоти та Одиниця швидкості: одиниці вимірювання для введених величин.
- Десяткові знаки: кількість знаків після коми для відображення результатів.
Для швидкого ознайомлення з роботою інструменту можна натиснути кнопку «Завантажити приклад», яка заповнить поля тестовими даними, або очистити всі поля за допомогою кнопки «Очистити».
Результати обчислень та аналіз зміщення
Після введення коректних даних калькулятор миттєво оновлює статус на «Обчислено спостережувану частоту та зміщення.» та виводить результати у кількох блоках. Якщо дані неповні, відображається статус «Введіть випущену частоту та швидкість хвилі, щоб отримати результат.».
Що чує спостерігач
- Спостережувана частота: розрахована частота f′, яка супроводжується текстовим індикатором зміни висоти звуку: «вища за випущену», «нижча за випущену» або «така ж, як випущена».
- Доплерівське зміщення: абсолютна різниця між спостережуваною та випущеною частотами Δf = |f′ − f₀|.
- Зміщення у відсотках: відносне відхилення частоти у відсотках.
- Спостережувана довжина хвилі: довжина хвилі, яку фіксує спостерігач.
- Випущена довжина хвилі: початкова довжина хвилі, розрахована як λ₀ = v ÷ f₀.
- Число Маха джерела: відношення швидкості джерела до швидкості хвилі в середовищі (M = vₛ ÷ v).
Проходження повз
Цей блок моделює динаміку зміни частоти під час руху об'єктів по одній лінії повз один одного:
- При наближенні: частота, яку чує спостерігач, коли об'єкти рухаються назустріч один одному.
- Після проходження: частота, яка фіксується після того, як об'єкти розминулися і почали віддалятися.
- Зміна висоти звуку при проходженні: точна величина падіння частоти в момент переходу від наближення до віддалення.
Візуалізація хвильових фронтів та покроковий розрахунок
Для кращого розуміння фізики процесу калькулятор містить графічний блок Хвильові фронти. На схемі зображено знімок кругових хвильових фронтів, випущених уздовж шляху джерела; відстань між ними показує стиснення або розтягнення, спричинене рухом. Легенда на схемі чітко позначає положення «джерело» та «спостерігач».
У розділі Формула та підстановка наводяться детальні кроки обчислення:
- Етап конвертації одиниць, якщо це необхідно:
‹from› = ‹to›. - Розрахунок чисельника: «Чисельник: v
‹sign›vₒ =‹v›‹sign›‹vo›=‹num›m/s» або «Чисельник: v =‹num›m/s», якщо спостерігач нерухомий. - Розрахунок знаменника: «Знаменник: v
‹sign›vₛ =‹v›‹sign›‹vs›=‹den›m/s» або «Знаменник: v =‹den›m/s», якщо джерело нерухоме. - Кінцевий розрахунок частоти: «f′ = f₀ ×
‹num›÷‹den›=‹freq›». - Розрахунок зміщення: «Δf =
‹freq›−‹f0›=‹shift›(‹percent›)».
Обмеження моделі та обробка помилок
Калькулятор базується на класичній фізичній моделі для звуку в нерухомому однорідному середовищі з рухом уздовж лінії, що з'єднує джерело та спостерігача. Поблизу швидкості хвилі проста формула перестає працювати, а світло або астрономічне червоне зміщення підпорядковуються іншому, релятивістському закону.
При введенні некоректних даних або виході за межі фізичної моделі система відображає відповідні повідомлення про помилки:
- Нечислові значення: якщо замість чисел введено текст, з'явиться помилка «
‹field›: «‹token›» не є числом.». - Від'ємна швидкість: швидкість має бути додатною величиною. У разі введення від'ємного значення відображається: «
‹field›: введіть швидкість як абсолютну величину та встановіть напрямок поруч із нею.». - Некоректна частота: якщо частота джерела менша або дорівнює нулю, виводиться повідомлення «Випущена частота має бути більшою за нуль.».
- Некоректна швидкість хвилі: якщо швидкість хвилі менша або дорівнює нулю, виводиться «Швидкість хвилі має бути більшою за нуль.».
- Надзвукове джерело: якщо джерело наближається зі швидкістю, що дорівнює або перевищує швидкість хвилі, виникає ефект накопичення хвиль. Калькулятор видає помилку: «Джерело, що наближається зі швидкістю хвилі або швидше, накопичує свої хвильові фронти в ударну хвилю, тому попереду нього немає кінцевої висоти звуку.». Рух джерела, що віддаляється з надзвуковою швидкістю, є фізично коректним і розраховується без помилок.
- Надзвуковий спостерігач: якщо спостерігач віддаляється зі швидкістю, що дорівнює або перевищує швидкість хвилі, він випереджає звукові коливання. Відображається помилка: «Спостерігач, який віддаляється зі швидкістю хвилі або швидше, випереджає хвильові фронти й ніколи не почує джерело.».
- Переповнення діапазону: якщо проміжні або кінцеві результати перевищують ліміти обчислювальної системи, відображається повідомлення «Значення або проміжний результат перевищує підтримуваний діапазон чисел.».
Всі обчислення виконуються локально: кожне введене вами число залишається в цьому браузері — нічого не завантажується на сервер.
Часті запитання (FAQ)
Чому висота звуку сирени падає в момент, коли вона проходить повз мене?
Коли джерело наближається, кожен новий хвильовий фронт випромінюється трохи ближче до вас, тому вони приходять щільніше, і ви чуєте вищу частоту. У момент проходження той самий рух натомість розтягує відстань між ними, і висота звуку падає. Блок проходження показує обидві частоти та точний розмір падіння для ваших значень.
Що відбувається, коли джерело рухається швидше за звук?
Хвильові фронти більше не можуть випереджати джерело й накопичуються вздовж конуса — це ударна хвиля, яку чути як звуковий удар. Проста формула тоді не має кінцевої відповіді для слухача попереду, тому калькулятор повідомляє про це замість виведення безглуздого числа. Джерело, що віддаляється швидше за звук, обчислюється нормально: його розтягнуті хвильові фронти продовжують поширюватися, і формула залишається дійсною.
Чи можна використовувати це для світла або астрономічного червоного зміщення?
Ні. Світло не потребує середовища, і його закон Доплера є релятивістським: значення має лише відносна швидкість між джерелом і спостерігачем, а не те, хто «насправді» рухається. Цей калькулятор використовує класичний закон для звуку та інших механічних хвиль у середовищі, який дає інший результат, за винятком повсякденних швидкостей, де обидва закони майже збігаються.
Чи змінюють результат вітер або рух убік?
Так, і обидва фактори виходять за межі цієї моделі. Формула передбачає нерухоме середовище, тому постійний вітер, який переносить середовище з собою, змінює реальне зміщення. Вона також враховує рух лише вздовж лінії, що з'єднує джерело та спостерігача; для руху під кутом використовуйте проєкцію швидкості на цю лінію — саме тому висота звуку сирени, що проходить повз, змінюється плавно, а не стрибком.