Kalkulator Persamaan Kuadratik

Selesaikan ax² + bx + c = 0 daripada tiga pekali atau daripada keseluruhan persamaan, dengan jawapan tepat dan perpuluhan.

Masukkan sebagai

Cuba satu
Penyelesaian
Langkah demi langkah
Bentuk lengkung
Ciri-ciri utama
Diskriminan
Verteks
Paksi simetri
Pintasan-y
Hasil tambah punca
Hasil darab punca
Bentuk pemfaktoran
Isi a, b dan c — penyelesaian dikemas kini semasa anda menaip.

Setiap langkah dihitung dalam penyemak imbas anda — nombor yang anda taip tidak akan keluar daripada peranti anda.

Soalan Lazim

Dalam bentuk apakah penyelesaian diberikan?

Setiap penyelesaian ditunjukkan dalam bentuk tepat terlebih dahulu — nombor bulat, pecahan termudah, atau radikal termudah seperti (3 + √5)/2 — dengan perpuluhan di bawahnya. Apabila diskriminan adalah negatif, anda akan mendapat pasangan kompleks sebagai gantinya, ditulis dengan i.

Apakah yang diberitahu oleh diskriminan kepada saya?

Diskriminan ialah b² − 4ac. Di atas sifar, lengkung menyilang paksi-x dua kali dan kedua-dua punca adalah nyata dan berbeza; pada tepat sifar, ia menyentuh paksi sekali dan kedua-dua punca bertindih; di bawah sifar, lengkung tidak menyentuh paksi langsung dan kedua-dua punca adalah kompleks.

Apakah yang boleh saya taip masuk?

Kotak pekali menerima nombor bulat, perpuluhan, pecahan seperti 3/4 dan nilai seperti 2e-3. Kotak persamaan menerima baris penuh seperti 2x² + 3x − 5 = 0, dalam sebarang susunan sebutan, dengan sebarang huruf tunggal sebagai pemboleh ubah yang tidak diketahui, dan dengan sebutan di kedua-dua belah tanda sama dengan.

Apakah yang berlaku apabila a ialah 0?

Tiada apa-apa yang rosak. Tanpa sebutan x², persamaan tersebut adalah linear, jadi ia diselesaikan sebagai bx + c = 0 dan jawapannya muncul di tempat yang sama. Jika b juga adalah 0, anda akan diberitahu sama ada pernyataan itu palsu untuk setiap x atau benar untuk setiap x.

Ditulis dan disemak oleh pasukan editorial BroBroGo.Terakhir dikemas kini:

Kalkulator Persamaan Kuadratik ialah alat dalam talian percuma yang direka untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk ax² + bx + c = 0. Alat ini membolehkan pengguna mencari punca persamaan dengan dua cara mudah: sama ada dengan memasukkan tiga pekali secara individu atau dengan menampal keseluruhan persamaan terus ke dalam sistem.

Setiap pengiraan dilakukan secara masa nyata, bermakna penyelesaian dan output akan dikemas kini secara automatik semasa pengguna menaip di dalam medan input. Alat ini memaparkan penyelesaian dalam bentuk tepat dan perpuluhan, menunjukkan jalan kerja matematik langkah demi langkah, serta menyediakan ciri-ciri geometri utama bagi persamaan tersebut bersama dengan lakaran visual lengkung.

Cara Memasukkan Data dan Memulakan Pengiraan

Alat ini menyediakan fleksibiliti yang tinggi melalui bahagian "Masukkan sebagai" untuk memenuhi keperluan input yang berbeza:

  • Pekali: Pilihan ini menyediakan medan input individu untuk Pekali x² (a), Pekali x (b), dan Pemalar (c). Medan-medan ini menerima nombor bulat, perpuluhan, pecahan (contohnya 3/4), dan nilai notasi saintifik (contohnya 2e-3).
  • Persamaan penuh: Pilihan ini menyediakan satu medan input tunggal yang dinamakan Persamaan anda. Medan ini menerima baris persamaan penuh (seperti 2x² + 3x − 5 = 0) dalam sebarang susunan sebutan, menggunakan sebarang huruf tunggal sebagai pemboleh ubah yang tidak diketahui, dan membenarkan sebutan diletakkan di kedua-dua belah tanda sama dengan.

Bagi memudahkan pengguna, bahagian "Cuba satu" menyediakan contoh isian pantas seperti:

  • Dua punca nyata
  • Satu punca berulang
  • Tiada punca nyata
  • Pekali pecahan

Butang tindakan Padam disediakan untuk mengosongkan semua medan input dengan serta-merta.

Memahami Output dan Hasil Pengiraan

Selepas memasukkan data, kalkulator akan memaparkan hasil dalam bahagian Penyelesaian yang mengandungi maklumat berikut:

  • Tepat: Perwakilan matematik tepat bagi punca persamaan, ditunjukkan sebagai nombor bulat, pecahan termudah, radikal termudah (seperti (3 + √5)/2), atau pasangan kompleks yang ditulis dengan i. Punca ditunjukkan sebagai nombor bulat atau pecahan termudah apabila diskriminan ialah kuasa dua sempurna, dan sebagai radikal termudah (faktor kuasa dua terbesar dikeluarkan dari punca) apabila ia bukan kuasa dua sempurna.
  • Perpuluhan: Perwakilan perpuluhan bagi punca yang dipaparkan terus di bawah penyelesaian tepat. Baris perpuluhan ini hanya muncul apabila ia memberikan maklumat yang tidak dinyatakan oleh bentuk tepat.
  • Petunjuk interaktif Klik untuk salin disediakan untuk memudahkan pengguna menyalin hasil pengiraan.

Sistem juga akan memaparkan salah satu daripada mesej klasifikasi punca berikut berdasarkan sifat persamaan:

  • Dua punca nyata yang berbeza — lengkung menyilang paksi-x dua kali.
  • Satu punca berulang — lengkung hanya menyentuh paksi-x.
  • Dua punca kompleks — lengkung tidak pernah mencapai paksi-x.
  • Dengan a = 0 ini ialah persamaan linear, diselesaikan untuk x di bawah.
  • Tiada nilai x yang boleh menjadikan ini benar.
  • Setiap nombor ialah penyelesaian.

Langkah Demi Langkah dan Ciri Geometri

Untuk membantu pelajar dan pendidik memahami proses matematik, kalkulator memaparkan bahagian Langkah demi langkah yang merangkumi:

  • Hitung diskriminan
  • Masukkan nombor anda ke dalam formula
  • Baca setiap penyelesaian
  • Susun semula untuk x (dipaparkan khusus apabila menyelesaikan persamaan linear di mana a = 0)

Di bawah bahagian Ciri-ciri utama, kalkulator menyenaraikan sifat geometri dan algebra penting bagi persamaan tersebut:

  • Diskriminan (ditulis sebagai Δ)
  • Verteks
  • Paksi simetri
  • Pintasan-y
  • Hasil tambah punca (berdasarkan hubungan Vieta, iaitu −b/a)
  • Hasil darab punca (berdasarkan hubungan Vieta, iaitu c/a)
  • Bentuk pemfaktoran (hanya dipaparkan apabila persamaan boleh difaktorkan menggunakan nombor nisbah; persamaan dengan punca tidak nisbah atau kompleks tidak akan menunjukkan baris ini)

Visualisasi tambahan turut disediakan melalui lakaran Bentuk lengkung untuk menunjukkan arah dan kedudukan parabola.

Peraturan Matematik dan Pengendalian Kes Khas

Kalkulator ini dibina dengan algoritma yang mengendalikan pelbagai kes had dan pengecualian matematik secara tepat:

  • Kejatuhan Persamaan Linear (a = 0): Jika pekali x² (a) ditetapkan kepada 0, alat ini tidak akan ralat. Ia akan menganggap persamaan tersebut sebagai persamaan linear (bx + c = 0), menyelesaikan nilai x, dan menunjukkan langkah penyusunan semula linear.
  • Kes Terdegradasi (a = 0 dan b = 0): Jika kedua-dua a dan b bernilai 0, alat ini akan menilai baki pernyataan pemalar dan memaparkan sama ada pernyataan itu palsu untuk setiap x ("Tiada nilai x yang boleh menjadikan ini benar.") atau benar untuk setiap x ("Setiap nombor ialah penyelesaian.").
  • Kelakuan Diskriminan (b² − 4ac):
    • Jika diskriminan lebih besar daripada sifar, alat mengeluarkan dua punca nyata yang berbeza.
    • Jika diskriminan tepat sifar, alat mengeluarkan satu punca berulang.
    • Jika diskriminan kurang daripada sifar, alat mengeluarkan pasangan konjugat kompleks yang mengandungi unit khayalan i. Formula penggantian yang ditunjukkan ialah x = (−b ± i√(4ac − b²)) / 2a supaya punca kuasa dua bagi nombor negatif tidak pernah dipaparkan pada skrin.
  • Ketepatan Tinggi: Bilangan punca nyata ditentukan daripada nilai integer tepat b² − 4ac dan bukannya nilai yang dibundarkan. Ini memastikan persamaan yang mempunyai nilai b² dan 4ac yang hampir sama tidak akan tersalah lapor sebagai punca berulang. Selain itu, punca yang lebih kecil bagi persamaan seperti x² + 1000000000x + 1 = 0 akan mengekalkan angka berertinya tanpa runtuh menjadi 0.

Had Input dan Mesej Ralat

Untuk memastikan input dapat diproses dengan betul, pengguna perlu mematuhi beberapa had struktur. Berikut adalah mesej ralat tepat yang akan dipaparkan oleh alat jika berlaku ralat input:

  • Format nombor tidak sah: Masukkan nombor seperti 2, −0.5 atau 3/4.
  • Penyebut sifar dalam pecahan: Pecahan tidak boleh mempunyai 0 di bawah.
  • Had aksara melebihi had: Entri itu lebih panjang daripada yang dibaca oleh alat ini.
  • Terdapat kurungan: Kembangkan kurungan terlebih dahulu — ini membaca bentuk ax² + bx + c biasa.
  • Lebih daripada satu pemboleh ubah: Gunakan satu huruf untuk pemboleh ubah yang tidak diketahui.
  • Kuasa terlalu tinggi atau pemboleh ubah di bawah pecahan: Ini menyelesaikan sehingga x² — tiada kuasa yang lebih tinggi, dan tiada huruf di bawah pecahan.
  • Ralat tanda sama dengan: Gunakan satu tanda sama dengan, dengan sesuatu di setiap sisinya.
  • Tiada pemboleh ubah: Tiada huruf untuk diselesaikan di sini.
  • Persamaan tidak dapat dianalisis: Itu tidak dapat dibaca sebagai persamaan. Cuba bentuk 2x² + 3x − 5 = 0.

Privasi Data

Setiap langkah dihitung dalam penyemak imbas anda — nombor yang anda taip tidak akan keluar daripada peranti anda. Tiada data input atau hasil pengiraan yang dihantar ke pelayan luar, sekali gus memastikan privasi data anda terpelihara sepenuhnya semasa menggunakan alat ini.

Soalan Lazim (FAQ)

Apakah yang boleh saya taip masuk?
Kotak pekali menerima nombor bulat, perpuluhan, pecahan seperti 3/4 dan nilai seperti 2e-3. Kotak persamaan menerima baris penuh seperti 2x² + 3x − 5 = 0, dalam sebarang susunan sebutan, dengan sebarang huruf tunggal sebagai pemboleh ubah yang tidak diketahui, dan dengan sebutan di kedua-dua belah tanda sama dengan.

Apakah yang berlaku apabila a ialah 0?
Tiada apa-apa yang rosak. Tanpa sebutan x², persamaan tersebut adalah linear, jadi ia diselesaikan sebagai bx + c = 0 dan jawapannya muncul di tempat yang sama. Jika b juga adalah 0, anda akan diberitahu sama ada pernyataan itu palsu untuk setiap x atau benar untuk setiap x.

Apakah yang diberitahu oleh diskriminan kepada saya?
Diskriminan ialah b² − 4ac. Di atas sifar, lengkung menyilang paksi-x dua kali dan kedua-dua punca adalah nyata dan berbeza; pada tepat sifar, ia menyentuh paksi sekali dan kedua-dua punca bertindih; di bawah sifar, lengkung tidak menyentuh paksi langsung dan kedua-dua punca adalah kompleks.

Dalam bentuk apakah penyelesaian diberikan?
Setiap penyelesaian ditunjukkan dalam bentuk tepat terlebih dahulu — nombor bulat, pecahan termudah, atau radikal termudah seperti (3 + √5)/2 — dengan perpuluhan di bawahnya. Apabila diskriminan adalah negatif, anda akan mendapat pasangan kompleks sebagai gantinya, ditulis dengan i.

Kalkulator PecahanTambah, tolak, darab dan bahagi pecahan serta nombor bercampur, dengan keputusan yang tepat.Kalkulator Pemfaktoran PerdanaPecahkan sebarang nombor bulat kepada faktor perdananya dan lihat pokok faktor di sebaliknya.Penukar Notasi SaintifikTukar nombor standard, notasi saintifik dan notasi kejuruteraan dalam satu paparan yang tepat.Kalkulator PeratusanBerapakah X% daripada sesuatu nombor, berapa peratuskah nilai satu nombor berbanding nombor lain, nilai keseluruhan di sebalik peratusan yang diketahui, kenaikan atau penurunan antara dua angka, dan harga jualan selepas diskaun — semuanya dalam satu halaman.Kalkulator NisbahRingkaskan nisbah, selesaikan tempat kosong dalam perkadaran, atau skalakan kedua-dua sisi dengan faktor yang sama.Kalkulator Angka BerertiKira angka bererti dalam sebarang nilai, bundarkan kepada kejituan pilihan, atau selesaikan ungkapan + − × ÷ dengan peraturan pembundaran ditunjukkan langkah demi langkah.Kalkulator Punca PolinomialCari setiap punca nyata dan kompleks bagi polinomial daripada ungkapan yang dikembangkan atau senarai pekali, berserta semakan sisa dan penumpuan.