Хамгийн бага квадратуудын шулууны математик үндэс
Шугаман регрессийн шинжилгээ нь хоёр хувьсагчийн хоорондын хамаарлыг судлах статистикийн үндсэн аргуудын нэг юм. "Шугаман регрессийн тооцоолуур" нь хосолсон өгөгдлийн цэгүүдэд хамгийн бага квадратуудын (Ordinary Least Squares буюу OLS) шулууныг тааруулах үйлдлийг хэрэглэгчийн вэб хөтөч дотор шууд гүйцэтгэдэг. Энэхүү арга нь бодит y утгууд болон шулууны таамагласан ŷ утгуудын хоорондын босоо зөрүү буюу үлдэгдлүүдийн квадратуудын нийлбэрийг хамгийн бага байлгах зарчимд тулгуурладаг.
Тооцооллыг өндөр нарийвчлалтай гүйцэтгэхийн тулд NIST/SEMATECH-ийн статистик аргуудын гарын авлагын дагуу хоёр шатлалт нөхөн олговортой нийлбэр авах аргыг ашигладаг. Энэ нь өөр өөр хэмжигдэхүүнтэй өгөгдлүүдийг боловсруулах үед нарийвчлал алдагдахаас сэргийлдэг. Тооцоололд ашиглагддаг үндсэн хэмжигдэхүүнүүдийг дараах томьёогоор тодорхойлно:
- x-ийн дундаж утгаас хазайх квадратуудын нийлбэр: Sxx = Σ(xᵢ − x̄)²
- y-ийн дундаж утгаас хазайх квадратуудын нийлбэр: Syy = Σ(yᵢ − ȳ)²
- x ба y-ийн хамтын хөдөлгөөний хэмжээ: Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
Эдгээр суурь нийлбэрүүд дээр үндэслэн регрессийн шулууны налуу b болон огтлолцол a-г дараах байдлаар бодно:
b = Sxy / Sxx a = ȳ − b · x̄
Энд x̄ болон ȳ нь харгалзах хувьсагчдын дундаж утгууд юм.
Регрессийн коэффициентүүд болон статистик үзүүлэлтүүд
Тооцоолуур нь өгөгдлийг оруулмагц дараах статистик үзүүлэлтүүдийг бодож гаргадаг:
Регрессийн шулууны хураангуй
- Хамгийн бага квадратуудын шулуун: Тохируулсан шулууны тэгшитгэл.
- Дунджаар x-ийн утга 1-ээр нэмэгдэх тутамд y нь
‹slope›-оор өөрчлөгдөнө.: Налуу b-ийн практик тайлбар. - x нь 0 байх үед шулуун y =
‹intercept›дээр байрлана.: Огтлолцол a-ийн практик тайлбар. - Корреляци r: Пирсоны корреляцийн коэффициент бөгөөд r = √(R²) томьёогоор бодогдох ба налуугийн тэмдгийг агуулна.
- R²: Тайлбарлагдах хэлбэлзлийн хувь.
- Зассан R²: Чөлөөний зэргийг харгалзан зассан тодорхойлогч коэффициент.
- Үлдэгдлийн тархалт s: Үлдэгдлийн стандарт хазайлт.
- Цэгийн тоо n: Нийт ашигласан цэгийн тоо.
Коэффициентуудын хүснэгт (Коэффициентууд)
Энэхүү хүснэгтэд "Налуу b" болон "Огтлолцол a" мөрүүд байх бөгөөд дараах багануудаар үзүүлэлтүүдийг харуулна:
- Гишүүн: Гишүүний нэр.
- Үнэлгээ: Үнэлэгдсэн утга.
- Стандарт алдаа: Стандарт алдаа.
- t: t-статистик.
- p: хоёр талт p-утга.
‹level›%-ийн интервал: Сонгосон итгэх түвшний интервал.
Шулууны налуугийн стандарт алдааг SE(b) = s ÷ √(Sxx) томьёогоор бодох бөгөөд t-статистикийг t = b ÷ SE(b) гэж тодорхойлно. p-утгыг n - 2 чөлөөний зэрэгтэй regularized incomplete beta функц ашиглан боддог.
Хэлбэлзлийн тайлбарлагдах байдал (ANOVA)
Загварын ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд дисперсийн шинжилгээний (ANOVA) хүснэгтийг ашигладаг. Хүснэгт нь дараах бүтэцтэй байна:
| Эх үүсвэр (Source) | df | Квадратуудын нийлбэр | Дундаж квадрат | F | p |
|---|---|---|---|---|---|
| Шулуунаар тайлбарлагдсан (Regression) | 1 | SSR | MSR = SSR ÷ 1 | F = MSR ÷ MSE | p-утга |
| Үлдэгдэл (Residual) | n − 2 | SSE | MSE = SSE ÷ (n − 2) | ||
| Нийт (Total) | n − 1 | SST |
Нэг тайлбарлагч хувьсагчтай загварын хувьд F-статистик нь налуугийн t-статистикийн квадраттай тэнцүү байдаг тул F шалгуур болон t шалгуурын p-утга үргэлж ижил байна.
Оруулах өгөгдлийн хэлбэр ба хязгаарлалтууд
Тооцоолуурт өгөгдлийг хоёр янзын бүтцээр оруулж болно:
- Хосолсон мөрүүд: Мөр бүрт нэг x ба y утгыг оруулна. Хүснэгтэн мэдээллээс шууд хуулж тавих боломжтой бөгөөд эхний мөр нь тоон утга биш бол толгой мөр гэж үзэж алгасдаг.
- Хоёр жагсаалт: x болон y утгуудыг тусдаа талбарт оруулна.
Хязгаарлалт ба дүрмүүд:
- Цэгийн тоо: Хамгийн багадаа 2 цэг оруулах шаардлагатай. Дээд хязгаар нь 50,000 цэг буюу 1 MB текст байна.
- Бутархайн тэмдэг: Цэг (жишээ нь:
12.5) эсвэл таслал (жишээ нь:12,5) ашиглахыг дэмжинэ. Цэг ашиглах үед утгуудыг зай, таслал, шинэ мөрөөр тусгаарлах ба таслал ашиглах үед зай, цэгтэй таслал, шинэ мөрөөр тусгаарлана. - Таамаглал: "x дээрх y-ийн утгыг таамаглах" талбарт 50 хүртэлх утгыг зай эсвэл таслалаар тусгаарлан оруулж болно.
Онцгой тохиолдлууд ба алдааны мэдэгдлүүд
Өгөгдлийн шинж чанараас хамааран дараах онцгой нөхцөлүүд үүсдэг:
- Яг хоёр цэг оруулсан үед: Шулуун яг таг тодорхойлогдох тул тодорхойгүй байдлыг үнэлэх боломжгүй бөгөөд "Хоёр цэг нь шулууныг яг таг тодорхойлох тул тодорхойгүй байдлыг үнэлэх үлдэгдэл үлдэхгүй." гэсэн төлөв харагдана.
- Төгс тохиролт: Бүх цэгүүд шулуун дээр яг байрлаж байвал үлдэгдэл байхгүй тул "Цэгүүд яг шулуун дээр байрлаж байгаа тул үлдэгдлийн тархалт байхгүй бөгөөд интервал эсвэл p-утгыг үнэлэх боломжгүй." гэсэн мэдэгдэл гарна.
- Тогтмол Y утгууд: Хэрэв бүх y утга ижил бол шулуун хэвтээ болох бөгөөд "y-ийн утга бүр ижил байгаа тул шулуун нь хавтгай бөгөөд r, R² болон ач холбогдлын шалгуур тодорхойлогдохгүй." гэсэн төлөв гарна.
- Босоо шулуун (Тогтмол X утгууд): Бүх x утга ижил бол налууг олоход тэгд хуваах үйлдэл хийгдэх тул тооцоолол зогсож, "Бүх x утга ижил байгаа тул шулуун нь босоо болж, налууг олоход тэгд хуваах үйлдэл хийгдэнэ." гэсэн алдаа заана.
Бусад алдааны мэдэгдлүүд:
- Мөр дэх буруу тэмдэгт: "“
‹token›” нь тоо биш байна (мөр‹position›)." - Жагсаалт дахь буруу тэмдэгт: "“
‹token›” нь тоо биш байна (утга‹position›)." - Буруу таамаглалын утга: "Таамаглалд зөвхөн тоо ашиглана; “
‹token›” нь тоо биш байна." - Дутуу хос: "Мөр
‹position›-д яг хоёр тоо байх шаардлагатай: эхлээд x, дараа нь y." - Жагсаалтын урт зөрөх: "Энд
‹countX›ширхэг x утга,‹countY›ширхэг y утга байна — жагсаалтуудын урт ижил байх ёстой." - Хэт олон цэг: "Өгөгдлийн цэгийн тоог
‹max›-аас хэтрүүлэхгүй байлгана уу." - Тооны хязгаар давах: "Утга эсвэл дундын тооцооллын үр дүн дэмжигдэх тооны хязгаараас давсан байна."
Нууцлал ба өгөгдөл боловсруулалт
Энэхүү тооцоолуурыг ашиглахад хэрэглэгчийн оруулсан өгөгдлийн цэгүүд болон тооцоолсон статистик үзүүлэлтүүд нь бүгд хэрэглэгчийн локал вэб хөтөч дотор боловсруулагддаг бөгөөд гадны ямар нэгэн сервер рүү хэзээ ч хуулагдаж илгээгддэггүй.
Түгээмэл асуултууд (FAQ)
Би аль баганыг x-д оруулах нь хамаатай юу?
Тийм ээ, хамаатай. Хамгийн бага квадратуудын арга нь босоо зөрүүг хамгийн бага байлгадаг тул y-ийг тайлбарлагдаж буй хувьсагч, x-ийг тайлбарлагч хувьсагч гэж үздэг. Тэдгээрийг солиход та өөр налуу болон өөр огтлолцол авах бөгөөд зөвхөн r болон R² хэвээр үлдэнэ. Таамаглахыг хүсэж буй хувьсагчаа y-д оруулна уу; хэрэв баганууд буруу дарааллаар орсон бол солих товчлуур тэдгээрийг байранд нь шууд өөрчилнө.
R² надад яг юуг харуулдаг вэ?
R² нь шулууны тайлбарлаж буй y-ийн дээш доош хэлбэлзлийн хувь хэмжээ юм: 0.96 гэдэг нь үүний 96% нь x-тэй шугаман хамааралтай, харин 4% нь хамааралгүй гэсэн үг. Энэ нь шулуун шугам зөв хэлбэр байсан эсэх талаар юу ч хэлэхгүй бөгөөд тодорхой муруй шугам ч өндөр оноо авах боломжтой тул үлдэгдлийн графиктай хамт харна уу. r корреляци нь R²-ийн язгуур бөгөөд налуугийн тэмдгийг агуулдаг тул уруудах шулууны хувьд r нь сөрөг утгатай байдаг.
Таамаглал яагаад хоёр өөр интервалтай байдаг вэ?
Эдгээр нь өөр өөр асуултад хариулдаг. Дунджийн интервал нь тухайн x утга дээрх нийт дундаж y хаана байрлахыг тодорхойлдог тул зөвхөн шулууны өөрийн тодорхойгүй байдлыг тооцдог. Харин дан утгын интервал нь шинээр ажиглагдах нэг утга хаана буухыг тодорхойлдог бөгөөд үүнд шулууны дагуух цэгүүдийн сарнилт нэмэгддэг — энэхүү нэмэлт гишүүнээс шалтгаалан дан утгын интервал нь үргэлж илүү өргөн байдаг. x утга нь таны өгөгдлийн дундаж хэсгээс холдох тусам хоёр интервал хоёулаа өргөсдөг.
Бага p-утга нь x нь y-ийн шалтгаан болдог гэсэн үг үү?
Үгүй. p-утга нь зөвхөн нэг явцуу асуултад хариулдаг: хэрэв бодит налуу 0 байсан бол ийм хэмжээний түүвэр хэдэн удаа 0-ээс ийм хол налууг гаргаж ирэх вэ? Бага утга нь “ямар ч хамаарал байхгүй” гэх тайлбарыг эргэлзээтэй болгохоос цаашгүй. Шалтгаан хамаарлыг тогтооход судалгааны бүтэц, загвар чухал байдаг — хоёр баганад хоёуланд нь нөлөөлж буй гуравдагч хүчин зүйл, эсвэл бие даасан бус байдлаар цуглуулсан түүвэр зэрэг нь маш амархан бага p-утгыг үүсгэж болдог.