Анализа на отстапувањата преку z-вредност и стандардно отстапување
Стандардното отстапување и z-вредноста се темелни статистички алатки кои овозможуваат да се разбере распределбата на податоците и позицијата на поединечните вредности во рамките на едно множество. Овој калкулатор нуди два начини на работа за пресметка и анализа: директно од сурови податоци или преку решавање на алгебарската равенка на нормалната распределба кога се познати три од четирите клучни параметри.
Пресметките и обработката на податоците се извршуваат локално во Вашиот веб-прелистувач. Вашите податоци и пресметки остануваат во овој прелистувач и никогаш не се испраќаат на сервер, со што се гарантира дека внесените вредности не го напуштаат Вашиот уред.
Избор на режим на работа и внесување податоци
Алатката поддржува два режими на работа кои се избираат преку опцијата Внос:
- Од множество податоци: Овој режим овозможува внесување на сурови нумерички вредности за да се пресметаат нивната средна вредност, варијанса, стандардно отстапување и поединечните z-вредности.
- Од збирни вредности: Овој режим се користи за решавање на равенката на нормалната крива кога се познати три статистички показатели, а се бара четвртиот.
Правила за внесување на множество податоци
При користење на режимот Од множество податоци, внесете ги вредностите во полето Множество податоци. Форматот на внесување се прилагодува според локалните поставки на корисникот:
- Под децимален систем со точка, важи упатството: Одделете ги вредностите со празни места, запирки или нови редови. Користете точка за децимали, како 82.5..
- Под децимален систем со запирка, важи упатството: Одделете ги вредностите со празни места, точки-запирки или нови редови. Користете запирка за децимали, како 82,5..
Постојат одредени ограничувања и контроли при внесувањето:
- Максималниот број на вредности во едно множество податоци мора да биде под 50.000. Доколку се надмине овој лимит, се прикажува грешката: Чувајте го множеството податоци под
‹max›вредности.. - Доколку се внесе невалиден знак кој не е број, алатката ја прикажува пораката: „
‹token›“ не е број (вредност‹position›).. - Доколку некоја вредност или меѓупресметка ги надмине системските нумерички лимити, се појавува предупредувањето: Некоја вредност или меѓурезултат го надминува поддржаниот опсег на броеви..
Разлика меѓу стандардно отстапување на популација и примерок
При пресметување на стандардното отстапување, од суштинско значење е да се избере соодветната статистичка конвенција преку опцијата Стандардно отстапување:
- Популација ÷ n: Се користи кога множеството ги содржи сите членови на групата што се истражува. Пресметката на варијансата и стандардното отстапување се врши со делење со вкупниот број на елементи n. За овој режим е потребно да се внесе барем една вредност, во спротивно се појавува грешката: Внесете барем една вредност..
- Примерок ÷ n − 1: Се користи кога податоците претставуваат само дел (примерок) од поголема група, со цел да се процени отстапувањето на целата популација. Делењето со n - 1 (Беселова корекција) го компензира систематското потценување на варијансата кај малите примероци. За овој режим се потребни најмалку две вредности. Доколку внесете помалку, алатката ја прикажува пораката: За примерок се потребни најмалку 2 вредности — со една вредност делителот n − 1 е нула..
Математички формули и чекори на пресметка
Во делот Формула и замена, алатката ги прикажува деталните чекори за пресметка на статистичките показатели:
- Средна вредност (
Mean): Средна вредност = (Σ x) / n Приказ во алатката: Средна вредност =‹sum›÷‹n›=‹mean›. - Збир на квадрати ($SS$):
SS = Σ (x - x)²
Приказ во алатката: SS = Σ(x − средна вредност)² =
‹ss›. - Варијанса:
- За популација: Варијанса на популацијата σ² = SS ÷ n =
‹ss›÷‹n›=‹variance›. - За примерок: Варијанса на примерокот s² = SS ÷ (n − 1) =
‹ss›÷‹nm1›=‹variance›.
- За популација: Варијанса на популацијата σ² = SS ÷ n =
- Стандардно отстапување:
- За популација: Стандардно отстапување на популацијата σ = √σ² =
‹sd›. - За примерок: Стандардно отстапување на примерокот s = √s² =
‹sd›.
- За популација: Стандардно отстапување на популацијата σ = √σ² =
Специфичен случај: Идентични вредности (Нулта варијанса)
Ако сите внесени вредности во множеството се идентични, нема никакво отстапување во податоците. Во овој случај, стандардното отстапување е 0. Бидејќи пресметката на z-вредноста бара делење со стандардното отстапување, операцијата станува математички недефинирана (делење со нула).
Алатката го детектира ова и го прикажува следново објаснување во чекорите: Секоја вредност е еднаква на средната вредност, па SS = 0 и стандардното отстапување е 0 — делењето со него е недефинирано.. Исто така, се активира пораката за грешка: Сите вредности се идентични, па стандардното отстапување е 0 и z-вредностите се недефинирани..
Пресметка на поединечни z-вредности
За секоја поединечна вредност од множеството податоци се пресметува нејзината z-вредност, која покажува за колку стандардни отстапувања таа вредност се наоѓа над или под средната вредност.
Формулата за пресметка на поединечна z-вредност е: z = (x - μ) / (σ)
Во чекорите за пресметка се прикажува упатството: Секое z = (вредност − ‹mean›) ÷ ‹sd›; по еден ред за секоја вредност погоре.. Резултатите се прикажуваат во табелата z-вредност на секоја вредност со колоните Вредност и x − средна вредност.
Решавање на равенката во збирен режим
Кога е избран режимот Од збирни вредности, корисникот може директно да ги внесува клучните статистички параметри. Важи правилото: Пополнете кои било три полиња, а она што сакате да го решите оставете го празно..
Полињата за внес се:
- Вредност x
- Средна вредност μ
- Стандардно отстапување σ
- z-вредност z
Доколку корисникот не остави точно едно поле празно, се прикажува грешката: Оставете точно едно од четирите полиња празно.. Доколку се внесе невалиден карактер во овие полиња, се појавува пораката: Внесувајте само бројки; „‹token›“ не е број..
Алгебарски трансформации и решенија
Во зависност од тоа кое поле е оставено празно, алатката ја решава равенката и ги прикажува формулата и замената:
- Решавање за z-вредност:
- Формула: z-вредност: z = (x − μ) ÷ σ = (
‹x›−‹mu›) ÷‹sigma›=‹result›. - Примарен резултат: Решена z-вредност z.
- Формула: z-вредност: z = (x − μ) ÷ σ = (
- Решавање за вредност x:
- Формула: Вредност: x = μ + z·σ =
‹mu›+ (‹z›)·‹sigma›=‹result›. - Примарен резултат: Решена вредност x.
- Формула: Вредност: x = μ + z·σ =
- Решавање за средна вредност μ:
- Формула: Средна вредност: μ = x − z·σ =
‹x›− (‹z›)·‹sigma›=‹result›. - Примарен резултат: Решена средна вредност μ.
- Формула: Средна вредност: μ = x − z·σ =
- Решавање за стандардно отстапување σ:
- Формула: Стандардно отстапување: σ = (x − μ) ÷ z = (
‹x›−‹mu›) ÷‹z›=‹result›. - Примарен резултат: Решено стандардно отстапување σ.
- Формула: Стандардно отстапување: σ = (x − μ) ÷ z = (
Ограничувања за стандардното отстапување во збирен режим
Стандардното отстапување мора да биде позитивна вредност. Поради тоа, алатката применува строги математички контроли:
- Ако корисникот внесе вредност 0 за стандардно отстапување, се појавува грешката: Стандардното отстапување не може да биде 0 — делењето со σ е недефинирано..
- Ако се внесе негативна вредност за стандардно отстапување, се прикажува: Стандардното отстапување мора да биде позитивно..
- Ако внесените параметри резултираат со негативно стандардно отстапување по пат на пресметка, се прикажува: Алгебрата дава σ =
‹value›, но стандардното отстапување не може да биде негативно. Проверете ги знаците на x − μ и z.. - Ако корисникот внесе z = 0, а вредноста x не е еднаква на средната вредност μ, равенката нема позитивно решение за σ. Тогаш се прикажува грешката: Ниту едно позитивно σ не го решава ова: кога z = 0, вредноста мора да биде еднаква на средната вредност..
- Ако z = 0 и x = μ, тогаш секое позитивно стандардно отстапување е математички точно, па алатката јавува: Со z = 0 и x = μ, секое позитивно σ одговара, па σ нема единствено решение..
Веројатности на нормална распределба
Под претпоставка дека вредностите следат нормална распределба, алатката ги пресметува следните веројатности и процентили за пресметаната или внесената z-вредност:
- P(X < x): Веројатноста случајно избрана вредност да биде помала од x (областа лево од z).
- P(X > x): Веројатноста случајно избрана вредност да биде поголема од x (областа десно од z).
- P(|X − μ| > |x − μ|): Двострана веројатност вредноста да отстапува од средната вредност повеќе од точката x во која било насока.
- Процентил на x: Позицијата на вредноста изразена како процент од вкупната распределба.
Во чекорите се прикажува интегралната вредност: Φ(‹z›) = ‹p› од стандардната нормална крива..
Често поставувани прашања (FAQ)
Дали z-вредностите претпоставуваат дека моите податоци се нормално распределени?
Не. z-вредноста е само промена на размерот — кажува за колку стандардни отстапувања една вредност е оддалечена од средната вредност — и таа е дефинирана за секое множество податоци со распон различен од нула. Веројатностите во збирниот режим се делот што претпоставува нормална распределба; кај асиметрични податоци, вистинскиот удел на вредности надвор од одредено z може да се разликува од она што го покажува кривата.
Кога треба да делам со n − 1 наместо со n?
Делете со n − 1 (стандардно отстапување на примерок s) кога Вашите вредности се примерок од поголема група и сакате да го процените распонот на таа група — помалиот делител го коригира отстапувањето надолу што го има примерокот. Делете со n (стандардно отстапување на популација σ) кога вредностите што ги внесовте се целата група што Ве интересира. z-вредностите го следат истиот избор, бидејќи секоја вредност се дели со избраниот распон.
Зошто z-вредностите се недефинирани кога секоја вредност е идентична?
При пресметка на z-вредност се дели со стандардното отстапување. Идентичните вредности немаат распон, па стандардното отстапување е 0 и делењето е недефинирано — секоја точка е точно на средната вредност, што не може да се изрази со ниту една единствена z-вредност. Средната вредност, варијансата и другите статистики сепак се пресметуваат нормално.