Математичка дефиниција: Центар на маса наспроти центроид
Во физиката и инженерството, рамнотежата на еден систем зависи од начинот на кој е распоредена неговата сопствена големина, без разлика дали станува збор за материјална маса, површина или волумен. Постои важна разлика помеѓу поимите центар на маса и геометриски центроид:
- Центар на маса (кога системот се пондерира по „Маса“) ја претставува точката во која е концентрирана целата маса на системот. Оваа точка реагира на надворешни сили како целото тело да е сведено во една единствена честичка.
- Центроид (кога системот се пондерира по „Површина“ или „Волумен“) е чисто геометриски центар на обликот. Тој се совпаѓа со физичкиот центар на маса само под услов на рамномерна густина на материјалот низ сите делови на системот.
Доколку густината на материјалот варира во внатрешноста на некој дел, центроидот на волуменот ќе отстапува од вистинскиот центар на маса. Во такви случаи, деловите со променлива густина мора да се поделат на помали, хомогени елементи и да се внесат како посебни ставки.
Разлика помеѓу центар на маса и центар на гравитација
Иако во секојдневниот говор овие два поима често се користат како синоними, тие се разликуваат по своето физичко значење:
- Центарот на маса е дефиниран исклучиво од распределбата на материјата во системот и е целосно независен од гравитационото поле. Тој останува идентичен без разлика дали објектот се наоѓа на Земјата, во длабокиот вселенски простор или во близина на црна дупка.
- Центарот на гравитација е точката во која делува резултирачката гравитациска сила. Тој зависи од јачината на гравитационото поле низ просторот што го зафаќа објектот.
Кај објекти со стандардни димензии во секојдневниот живот, гравитационото поле е хомогено, па двете точки совршено се совпаѓаат. Разликите стануваат мерливи само кај огромни структури од вселенски размери (како вселенски лифтови или планини), каде што гравитацијата на Земјата е забележливо послаба на врвот во споредба со основата.
Точка на рамнотежа во празен простор
Физичкото тело или систем од тела не мора да содржи материја во точката каде што се наоѓа неговиот центар на маса. Бидејќи позицијата се пресметува како пондериран просек на сите поединечни делови, точката на рамнотежа многу често се наоѓа во празен простор.
Типични примери за ваква појава се прстените, потковиците, бумеранзите или шупливите геометриски тела. Кај астрономските системи, како што се двојните ѕвезди или системот Земја-Месечина, заедничкиот центар на маса (барицентар) се наоѓа во просторот помеѓу двете тела, при што кај Земјата и Месечината оваа точка е позиционирана под површината на Земјата, но надвор од нејзиниот геометриски центар.
Метод на сложени делови и негативен простор
За пресметување на центарот на маса на сложени објекти се користи методот на композитни (сложени) делови. Наместо да се врши интеграција на бесконечно мал простор, објектот се дели на поедноставни геометриски форми (правоаголници, триаголници, кругови) чии центроиди се однапред познати. Секој дел се третира како точка со соодветна тежина поставена во неговиот сопствен центар на рамнотежа.
Овој метод овозможува и лесно моделирање на негативен простор, односно празнини, дупки и исечоци. За да се пресмета влијанието на некоја дупка во рамна плоча или шуплина во тридимензионално тело, дупката се внесува како посебен дел со негативна вредност за нејзината тежина (маса, површина или волумен). Математички, оваа негативна вредност се одзема од вкупниот збир и соодветно го поместува крајниот центар на маса нанадвор од позицијата на дупката.
Принцип на транслациона инваријантност
Изборот на координатниот почеток (точката каде што x = 0, y = 0, z = 0) е целосно произволен и не влијае врз физичката локација на центарот на маса во реалниот простор. Ова својство се нарекува транслациона инваријантност.
Доколку го поместите координатниот почеток за одредено растојание, сите влезни координати на деловите ќе се променат за таа вредност. Како резултат на тоа, пресметаните излезни координати на точката на рамнотежа ќе се поместат за апсолутно истото растојание, задржувајќи ја истата физичка позиција во однос на компонентите на системот.
Како работи калкулаторот
Алатката овозможува пресметка во една, две или три димензии (1D, 2D или 3D). Корисникот го избира начинот на пондерирање преку опциите „Маса“, „Површина“ или „Волумен“.
Влезни параметри и правила
- Име: Изборно поле за секој дел (на пр. „Мотор“, „Батерија“, „Камера“).
- Тежина: Вредноста за маса, површина или волумен. Дозволени се негативни вредности за моделирање на исечоци.
- Координати: Позицијата на делот по активните оски. Доколку некое поле се остави празно, системот го толкува како 0.
- Конзистентност на единиците: Алатката не врши конверзија на мерните единици. Корисникот мора да користи исти единици за сите тежини (на пр. килограми) и исти единици за сите координати (на пр. милиметри). Резултатот се прикажува во внесената координатна единица.
Формули за пресметка
За секоја активна оска, калкулаторот ја пресметува пондерираната сума и ја дели со вкупната тежина. На пример, за 2D систем со координати x и y и тежини w, формулите се:
Σ w = w₁ + w₂ + … + wₙ
x = (Σ(w · x)) / (Σ w) = (w₁ x₁ + w₂ x₂ + … + wₙ xₙ) / (Σ w)
y = (Σ(w · y)) / (Σ w) = (w₁ y₁ + w₂ y₂ + … + wₙ yₙ) / (Σ w)
Ограничувања и грешки
- Максималниот број на внесови е ограничен на 500. Доколку се надмине овој лимит, се прикажува пораката:
Чувајте го системот под 500 внесови.. - Доколку вкупниот збир на тежините изнесува нула, пресметката е невозможна поради делење со нула. Во тој случај се појавува грешката:
Внесовите вкупно даваат нула, па нема со што да се дели и не постои точка на рамнотежа. Проверете дали некој негативен внес го поништува остатокот.. - Доколку некоја вредност го надмине дозволениот опсег на броеви, се прикажува:
Вредноста или меѓурезултатот го надминува поддржаниот опсег на броеви.. - Неномерички внес во некое поле ја активира пораката:
Ред 2: „abc“ во колоната x не е број..
Приватност и локална обработка
Вашите внесови и секоја координата остануваат во овој прелистувач и никогаш не се пренесуваат на сервер. Сите пресметки и обработка на податоците се извршуваат локално на Вашиот уред.
Често поставувани прашања
Како да внесам облик наместо точка? Доделете му еден ред на обликот, користејќи ја неговата сопствена точка на рамнотежа како координати: правоаголник балансира во средината на своите дијагонали, триаголник на една третина од висината од основата, а полудиск на околу 0.4244 од својот радиус од рамниот раб. Составете сложена контура од неколку такви редови и одземете дупка со тоа што ќе ја внесете како негативен ред на сопствената точка на рамнотежа на дупката.
Дали центарот на маса е исто што и центарот на гравитација? Тие се совпаѓаат секогаш кога гравитацијата влече еднакво на секој дел, што го опфаќа речиси сè што можете да држите или изградите. Центарот на маса зависи само од тоа како е распоредена материјата; центарот на гравитација е местото каде што се чини дека делува тежината. Двете се раздвојуваат кај објекти кои се доволно високи за гравитацијата мерливо да ослабне од дното кон врвот, како што се вселенски кабли или структури со големина на планина.
Дали е важно каде ќе го поставам координатниот почеток? Не — изберете кој било агол или раб што ги прави координатите лесни за читање, сè додека секој ред го користи истиот. Одговорот пристигнува во истиот тој систем, па поместувањето на почетокот ги поместува пријавените координати за точно истото растојание, додека физичката точка останува на истото место.
Може ли точката на рамнотежа да се најде на место каде што нема ништо? Да, и тоа е нормално, а не грешка. Прстен, бумеранг, потковица и пар разделени тегови балансираат околу празен простор. Тоа е и причината зошто системот Земја-Месечина се врти околу точка закопана во Земјата, наместо на средина помеѓу двете.