Գծային ռեգրեսիայի մաթեմատիկական հիմքերը
Գծային ռեգրեսիան վիճակագրական մեթոդ է, որը թույլ է տալիս մոդելավորել երկու փոփոխականների միջև առկա կապը։ Գծային ռեգրեսիայի հաշվիչն օգտագործում է սովորական փոքրագույն քառակուսիների մեթոդը (OLS)՝ տվյալների կետերին ամենամոտ գտնվող ուղիղ գիծը կառուցելու համար։ Այս մեթոդը նվազագույնի է հասցնում դիտարկվող կետերի և հարմարեցված ուղղի միջև եղած ուղղահայաց հեռավորությունների (մնացորդների) քառակուսիների գումարը։
Ճշգրիտ հաշվարկներ ապահովելու համար գործիքն իրականացնում է երկու փուլով կատարվող կոմպենսացված գումարման մեթոդը (compensated summation)՝ համաձայն NIST/SEMATECH ստանդարտների։ Սա թույլ է տալիս խուսափել ճշգրտության կորստից նույնիսկ այն դեպքում, երբ տվյալների արժեքները խիստ տարբերվում են իրենց մեծությամբ։ Հաշվարկների հիմքում ընկած են հետևյալ հիմնական բանաձևերը.
- Միջիններից շեղումների քառակուսիների գումարները՝ Sxx = Σ(xᵢ - x̄)² Syy = Σ(yᵢ - ȳ)² Sxy = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)
- Անկյունային գործակից՝ b = Sxy ÷ Sxx
- Ազատ անդամ՝ a = ȳ - b · x̄
Այս հավասարումների միջոցով որոշվում է «Փոքրագույն քառակուսիների ուղիղ»-ը, որն ունի ŷ = a + bx տեսքը։
Ռեգրեսիայի գործակիցների մեկնաբանումը
Հաշվիչի կողմից տրամադրվող արդյունքները թույլ են տալիս հստակ հասկանալ փոփոխականների միջև կապի բնույթը։ «Գործակիցներ» աղյուսակում ներկայացվում են երկու հիմնական անդամները՝ «Թեքություն b» և «Հատման կետ a»։
«Թեքություն b»-ն (անկյունային գործակիցը) ցույց է տալիս կապի ուժգնությունն ու ուղղությունը։ Ինչպես նշվում է գործիքի ամփոփման մեջ՝ «Միջին հաշվով y-ը փոխվում է ‹slope›-ով՝ x-ի յուրաքանչյուր 1 միավոր աճի դեպքում։»։ Եթե թեքությունը դրական է, ապա x-ի աճին զուգընթաց y-ը նույնպես աճում է, իսկ բացասական թեքության դեպքում՝ նվազում։
«Հատման կետ a»-ն (ազատ անդամը) ցույց է տալիս այն կետը, որտեղ ուղիղը հատում է y առանցքը։ Այն նկարագրվում է հետևյալ կերպ՝ «Այնտեղ, որտեղ x-ը 0 է, ուղիղը գտնվում է y = ‹intercept› կետում։»։ Այս արժեքն ունի գործնական նշանակություն միայն այն դեպքում, երբ x = 0 դիտարկումը իմաստալից է տվյալների տիրույթում։
Կորելյացիա և դետերմինացիայի գործակից (R²)
Մոդելի որակը գնահատելու համար օգտագործվում են մի քանի հիմնական վիճակագրական ցուցանիշներ.
- Կորելյացիա r (Կորելյացիա r). Գծային կապի ուժգնության և ուղղության չափանիշն է, որն ընկած է -1-ից 1 միջակայքում։ Այն հաշվարկվում է որպես Sxy ÷ √(Sxx · Syy)։
- R² (Դետերմինացիայի գործակից). Ցույց է տալիս կախյալ փոփոխականի (y) տատանումների այն մասնաբաժինը, որը բացատրվում է կառուցված ռեգրեսիոն մոդելով։ Այն որոշվում է որպես R² = SSR ÷ SST։
- Ճշգրտված R². Հաշվի է առնում ազատության աստիճանները և հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով՝ 1 - (1 - R²)(n - 1) ÷ (n - 2)։
«Դիսպերսիոն վերլուծություն (ANOVA)» աղյուսակը բացահայտում է դիսպերսիայի բաշխումը։ Այն բաղկացած է երեք տողից՝ «Բացատրվում է ուղղով», «Մնացորդ» և «Ընդամենը»։ Այստեղ ներկայացվում են ազատության աստիճանները («df»), քառակուսիների գումարները («Քառակուսիների գումար»), միջին քառակուսիները («Միջին քառակուսի»), ինչպես նաև F-վիճակագրությունը և դրա համապատասխան p-արժեքը։
Հիպոթեզների ստուգում և վիճակագրական նշանակալիություն
Յուրաքանչյուր գնահատված գործակցի համար հաշվարկվում է ստանդարտ սխալը («Ստանդ. սխալ»), t-վիճակագրությունը («t») և p-արժեքը («p»)։
- Անկյունային գործակցի ստանդարտ սխալը որոշվում է որպես SE(b) = s ÷ √(Sxx), որտեղ s-ը «Մնացորդային շեղում s»-ն է (մնացորդային շեղումը)։
- t-արժեքը հաշվարկվում է որպես գնահատականի և դրա ստանդարտ սխալի հարաբերություն։
- p-արժեքը որոշվում է երկկողմանի թեստի միջոցով՝ n - 2 ազատության աստիճանների դեպքում, օգտագործելով ռեգուլյարիզացված թերի բետա ֆունկցիան։
Քանի որ մոդելն ունի միայն մեկ անկախ փոփոխական, F-թեստի և t-թեստի p-արժեքները միշտ համընկնում են։
Մնացորդների վերլուծության կարևորությունը
Միայն բարձր R² արժեքը բավարար չէ մոդելի ճշգրտությունը երաշխավորելու համար։ Գործիքը տրամադրում է երկու կարևոր գրաֆիկ՝ «Հարմարեցված ուղիղ» (կետերի ցրվածության դիագրամը՝ ամենափոքր քառակուսիների ուղղով) և «Մնացորդներ» (մնացորդների դիագրամն ըստ x-ի՝ բաշխված զրոյական գծի շուրջ)։
Մնացորդների վերլուծությունը թույլ է տալիս ստուգել գծայնության և հոմոսկեդաստիկության (հավասարաչափ ցրվածության) նախապայմանները։ Եթե մնացորդների գրաֆիկում նկատվում է կորագիծ կամ հովհարաձև տեսք, դա վկայում է այն մասին, որ գծային մոդելը լիարժեք չի նկարագրում տվյալների օրինաչափությունը։
Վստահության և կանխատեսման միջակայքեր
Հաշվիչը թույլ է տալիս կանխատեսել y-ի արժեքները տրված x-երի դեպքում՝ առաջարկելով երկու տեսակի միջակայքեր 90%, 95% կամ 99% վստահության մակարդակներում։
- Միջին միջակայք. Սահմանում է տվյալ x₀ կետում y-ի միջին արժեքի վստահության տիրույթը։ Ստանդարտ սխալը հաշվարկվում է որպես s · √(1 ÷ n + (x₀ - x̄)² ÷ Sxx)։
- Անհատական միջակայք. Սահմանում է մեկ նոր դիտարկման հնարավոր տիրույթը։ Դրա ստանդարտ սխալը հավասար է s · √(1 + 1 ÷ n + (x₀ - x̄)² ÷ Sxx)։
Քանի որ անհատական միջակայքը հաշվի է առնում նաև առանձին կետերի պատահական տատանումները, այն միշտ ավելի լայն է, քան միջին միջակայքը։ Երկու միջակայքերն էլ լայնանում են, երբ կանխատեսվող x₀ արժեքը հեռանում է ընտրանքային միջինից (x̄)։ Եթե կանխատեսվող արժեքը դուրս է ներմուծված տվյալների սահմաններից, աղյուսակում հայտնվում է ««տվյալներից դուրս»» նշումը։
Տվյալների ներմուծման կանոններ և սահմանափակումներ
Գործիքն աջակցում է տվյալների ներմուծման երկու ձևաչափ՝ «Զուգակցված տողեր» (զուգակցված տողեր) և «Երկու ցուցակ» (երկու ցուցակ)։ Կախված ընտրված տասնորդական բաժանարարից՝ գործում են հետևյալ կանոնները.
- Կետի դեպքում (օրինակ
12.5). Ցուցակներում արժեքները պետք է բաժանվեն բացատներով, ստորակետերով կամ նոր տողերով։ - Ստորակետի դեպքում (օրինակ
12,5). Արժեքները պետք է բաժանվեն բացատներով, կետ-ստորակետերով կամ նոր տողերով։
Սահմանային դեպքեր և սխալներ
- Ճշգրիտ երկու կետ. Ցուցադրվում է հաղորդագրություն՝ «Երկու կետը ճշգրիտ որոշում են ուղիղը, ուստի անորոշությունը գնահատելու համար ոչինչ չի մնում։»։
- Կատարյալ համընկնում. Եթե բոլոր կետերը գտնվում են ուղղի վրա, հայտնվում է հետևյալ հաղորդագրությունը՝ «Կետերը գտնվում են ճշգրիտ ուղղի վրա, ուստի մնացորդային շեղում չկա, և ոչ մի միջակայք կամ p-արժեք չի կարող գնահատվել։»։
- Հաստատուն Y արժեքներ. Եթե բոլոր y արժեքները նույնն են, ապա «Յուրաքանչյուր y նույնն է, ուստի ուղիղը հարթ է, իսկ r-ը, R²-ը և նշանակալիության թեստը սահմանված չեն։»։
- Ուղղահայաց ուղիղ (Հաստատուն X արժեքներ). Եթե բոլոր x արժեքները նույնն են, հաշվարկը կանգնում է և ցուցադրվում է սխալը՝ «Բոլոր x արժեքները նույնն են, ինչի պատճառով ուղիղը կլիներ ուղղահայաց, իսկ անկյունային գործակցի հաշվարկում տեղի կունենար բաժանում զրոյի։»։
Տվյալների առավելագույն սահմանը 50,000 կետ է կամ 1 ՄԲ տեքստ, իսկ կանխատեսումների համար թույլատրվում է ներմուծել առավելագույնը 50 արժեք։
Գաղտնիություն և տվյալների մշակում
Օգտագործողի տվյալների գաղտնիությունն ամբողջությամբ պահպանվում է։ Բոլոր տվյալների կետերը և հաշվարկված վիճակագրական արդյունքները մնում են բացառապես օգտատիրոջ տեղական վեբ բրաուզերում և երբեք չեն վերբեռնվում արտաքին սերվերներ։
Հաճախ տրվող հարցեր (FAQ)
Կապ ունի՞, թե որ սյունակը կտեղադրեմ x-ում։
Այո՛։ Փոքրագույն քառակուսիների մեթոդը նվազագույնի է հասցնում ուղղահայաց բացերը, ուստի այն y-ը դիտարկում է որպես բացատրվող փոփոխական, իսկ x-ը՝ բացատրող։ Տեղերով փոխեք դրանք, և կստանաք այլ թեքություն ու այլ հատման կետ. միայն r-ն ու R²-ն են մնում նույնը։ Տեղադրեք այն փոփոխականը, որը ցանկանում եք կանխատեսել, y-ի մեջ. եթե սյունակները սխալ հերթականությամբ են ներմուծվել, տեղափոխման կոճակը կվերագրի դրանք հենց տեղում