Calculadora de puntuación Z y desviación estándar

Pega un conjunto de datos para obtener su media, desviación estándar y puntuaciones z por valor, o resuelve z = (x − μ) / σ para una incógnita con probabilidades de la curva normal.

Entrada

Separa los valores con espacios, puntos y comas o saltos de línea. Usa la coma para los decimales, como 82,5.
Desviación estándar

Resultados

Desviación estándar muestral s

—

Puntuación z de cada valor

Valorx − mediaz

Fórmula y sustitución

σ = √[ Σ(x − μ)² ÷ n ]

s = √[ Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) ]

z = (x − μ) ÷ σ

    Pega los valores para ver su dispersión y cada puntuación z.

    Tus datos y cálculos se quedan en este navegador y nunca se suben a ningún servidor.

    Preguntas frecuentes

    ¿Cuándo debo dividir por n − 1 en lugar de por n?

    Divide por n − 1 (la desviación estándar muestral s) cuando tus valores sean una muestra de un grupo más grande y quieras estimar la dispersión de dicho grupo; el divisor más pequeño corrige el sesgo a la baja que tienen las muestras. Divide por n (la desviación estándar poblacional σ) cuando los valores introducidos representen a todo el grupo que te interesa. Las puntuaciones z seguirán la misma elección, ya que cada valor se divide por la dispersión seleccionada.

    ¿Asumen las puntuaciones z que mis datos siguen una distribución normal?

    No. Una puntuación z es solo un cambio de escala (indica a cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor de la media) y está definida para cualquier conjunto de datos con una dispersión distinta de cero. Las probabilidades en el modo de resumen son la única parte que asume una distribución normal; en el caso de datos sesgados, la proporción real de valores más allá de una z puede diferir de lo que indica la curva.

    ¿Por qué las puntuaciones z no están definidas cuando todos los valores son idénticos?

    Para calcular una puntuación z se divide por la desviación estándar. Los valores idénticos no tienen dispersión, por lo que la desviación estándar es 0 y la división no está definida: todos los puntos están exactamente en la media, algo que ningún valor z único puede expresar. La media, la varianza y otras estadísticas se siguen calculando con normalidad.

    Redactado y revisado por el equipo editorial de BroBroGo.Última actualización:

    Comprensión de las puntuaciones Z y la dispersión de datos

    La puntuación z, también conocida como valor de estandarización, es una medida estadística que indica el número de desviaciones estándar que un valor determinado (x) se encuentra por encima o por debajo de la media (μ) de su conjunto de datos. Este cálculo transforma los datos originales a una escala común sin alterar la forma de la distribución subyacente, lo que permite comparar elementos procedentes de diferentes conjuntos de datos que originalmente tenían distintas escalas o unidades de medida.

    La relación matemática fundamental entre los elementos que definen una distribución normal se expresa mediante la fórmula:

    z = (x - μ) / (σ)

    Donde:

    • x es el valor individual que se desea analizar.
    • μ es la media aritmética del conjunto de datos.
    • σ es la desviación estándar.
    • z es la puntuación z resultante.

    Esta herramienta permite abordar el análisis de dos formas distintas. En el modo Desde un conjunto de datos, se procesa una lista de valores numéricos para calcular de forma automática la media, la varianza, la suma de cuadrados, la desviación estándar y la puntuación z de cada elemento. En el modo Desde valores de resumen, se puede despejar algebraicamente cualquiera de las cuatro variables de la ecuación de la puntuación z introduciendo las otras tres.

    Desviación estándar poblacional frente a muestral

    Al calcular la desviación estándar, la elección del divisor matemático depende de la naturaleza de los datos analizados. La herramienta permite alternar entre dos convenciones de cálculo:

    Población ÷ n

    Esta opción se aplica cuando los datos introducidos representan la totalidad del grupo que se desea estudiar (la población completa). La varianza poblacional (σ²) y la desviación estándar poblacional (σ) se calculan dividiendo la suma de los cuadrados de las desviaciones (SS) por el número total de observaciones (n):

    σ² = SS / n

    σ = √(SS / n)

    Muestra ÷ n − 1

    Esta opción se utiliza cuando los datos son una muestra, es decir, un subconjunto de un grupo más amplio, y el objetivo es estimar la dispersión de dicha población general. Se aplica la corrección de Bessel dividiendo la suma de cuadrados por n - 1 en lugar de por n. Este divisor menor compensa el sesgo a la baja que suelen presentar las muestras pequeñas:

    s² = SS / (n - 1)

    s = √(SS / (n - 1))

    Anatomía de la fórmula y resolución de incógnitas

    Cuando no se dispone de un conjunto de datos completo pero se conocen tres de los valores de resumen de la distribución, la fórmula de la puntuación z se puede reorganizar algebraicamente para despejar la cuarta variable desconocida. La herramienta realiza estas sustituciones de manera automática:

    • Puntuación z: Para determinar cuántas desviaciones estándar se aleja un valor de la media, se aplica la ecuación directa: z = (x - μ) / (σ)
    • Valor x: Para hallar el valor original a partir de una puntuación z conocida, se despeja la variable x: x = μ + z · σ
    • Media μ: Para encontrar la media de la distribución conociendo el valor, la desviación estándar y la puntuación z: μ = x - z · σ
    • Desviación estándar σ: Para determinar la dispersión requerida para que un valor tenga una puntuación z específica: σ = (x - μ) / z

    Distribución normal y cálculo de probabilidades

    Una vez obtenida la puntuación z, es posible determinar la probabilidad asociada a dicho valor dentro de una distribución normal estándar (donde la media es 0 y la desviación estándar es 1). La herramienta calcula las siguientes áreas bajo la curva de densidad de probabilidad:

    • $P(X < x)$: La probabilidad acumulada a la izquierda del valor, que representa la proporción de observaciones que caen por debajo de x. Este valor define también el Percentil de x.
    • $P(X > x)$: La probabilidad a la derecha del valor, que indica la proporción de observaciones que superan a x.
    • P(|X - μ| > |x - μ|): La probabilidad de dos colas, que expresa la probabilidad de obtener un valor que se aleje de la media (en cualquier dirección) más de lo que se aleja el valor x analizado.

    Funcionamiento de la herramienta y gestión de errores

    La herramienta procesa los datos de manera local. Toda la computación se realiza directamente en el navegador web del usuario, por lo que los datos y valores introducidos no se suben a ningún servidor externo.

    Entrada de datos y límites

    En el modo Desde un conjunto de datos, los valores numéricos se pueden introducir separados por espacios, comas, puntos y comas o saltos de línea. Dependiendo de la configuración regional, se admite el uso de la coma o del punto para delimitar los decimales (por ejemplo, 82,5 o 82.5). El límite máximo de procesamiento es de 50.000 valores.

    Validaciones y mensajes de error

    El sistema valida estrictamente las entradas para asegurar la coherencia matemática de los cálculos:

    • Errores de formato: Si se introduce un carácter no numérico en el conjunto de datos, se muestra el mensaje «‹token›» no es un número (valor ‹position›).. En los campos de resumen, el error correspondiente es Introduce solo números; «‹token›» no es un número..
    • Restricciones de tamaño: Si se intenta calcular una desviación estándar muestral con menos de dos valores, se muestra: Una muestra necesita al menos 2 valores; con un solo valor, el divisor n − 1 es cero.. Para cálculos poblacionales vacíos, se indica: Introduce al menos un valor..
    • Dispersión cero: Si todos los valores del conjunto de datos son idénticos, la desviación estándar es cero. En este caso, las puntuaciones z no se pueden calcular debido a que la división por cero no está definida, mostrando el mensaje: Todos los valores son idénticos, por lo que la desviación estándar es 0 y las puntuaciones z no están definidas..
    • Restricciones en modo resumen: Se debe dejar exactamente un campo vacío para que el sistema identifique la incógnita a resolver; de lo contrario, se muestra Deja en blanco exactamente uno de los cuatro campos..
    • Límites de la desviación estándar: La desviación estándar introducida debe ser mayor que cero. Si se introduce un valor de cero, se muestra La desviación estándar no puede ser 0; la división por σ no está definida.. Si se introduce un valor negativo, se muestra La desviación estándar debe ser positiva..
    • Incoherencias algebraicas: Si se introduce z = 0 pero el valor x es diferente de la media μ, no existe ninguna desviación estándar positiva que pueda satisfacer la ecuación, lo que genera el error: Ninguna σ positiva resuelve esto: cuando z = 0, el valor debe ser igual a la media.. Si z = 0 y x = μ, cualquier desviación estándar positiva es matemáticamente válida, por lo que se muestra: Con z = 0 y x = μ, cualquier σ positiva sirve, por lo que σ no tiene una solución única.. Si el despeje algebraico resulta en un valor negativo para la desviación estándar, se muestra: El cálculo da σ = ‹value›, pero una desviación estándar no puede ser negativa. Comprueba los signos de x − μ y z..
    • Desbordamiento numérico: Si cualquier valor de entrada o resultado intermedio supera los límites de precisión del sistema, se muestra el mensaje: Un valor o resultado intermedio supera el rango numérico admitido..

    Preguntas frecuentes

    ¿Asumen las puntuaciones z que mis datos siguen una distribución normal?
    No. La puntuación z es simplemente una transformación lineal que mide a cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor respecto a la media, y se puede calcular para cualquier conjunto de datos que tenga una desviación estándar distinta de cero. La asunción de normalidad solo es necesaria cuando se utilizan las puntuaciones z para calcular probabilidades o percentiles bajo la curva normal estándar; si los datos reales están sesgados, las proporciones reales diferirán de las teóricas.

    ¿Cuándo debo dividir por n − 1 en lugar de por n?
    Se debe dividir por n - 1 (desviación estándar muestral) cuando los datos analizados sean una muestra extraída de una población más grande y se pretenda estimar la dispersión de dicha población general. Se debe dividir por n (desviación estándar poblacional) únicamente cuando se disponga de los datos de todos los individuos que componen el grupo de estudio.

    ¿Por qué las puntuaciones z no están definidas cuando todos los valores son idénticos?
    Cuando todos los valores de un conjunto de datos son iguales, no existe variabilidad, lo que significa que la desviación estándar es exactamente cero. Dado que la fórmula de la puntuación z requiere dividir la diferencia respecto a la media entre la desviación estándar, la operación matemática implica una división por cero, la cual no está definida.

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