Klasický Dopplerův vzorec a jeho výpočet
Matematický vztah popisující klasický Dopplerův jev vychází z chování mechanického vlnění v klidném a homogenním prostředí. Na rozdíl od elektromagnetického vlnění ve vakuu se mechanické vlnění šíří vůči samotnému prostředí konstantní rychlostí, kterou určují fyzikální vlastnosti dané látky. Pohyb zdroje nebo pozorovatele se proto uvažuje přímo vůči tomuto nehybnému médiu.
Základní rovnice pro výpočet pozorované frekvence (f′) využívá rychlost vlnění v prostředí (v), rychlost pozorovatele (vₒ) a rychlost zdroje (vₛ). Směr pohybu určuje znaménka ve vzorci:
- Čitatel upravuje frekvenci na základě pohybu pozorovatele. Pokud se pozorovatel pohybuje směrem ke zdroji, vlnoplochy potkává častěji, což efektivní rychlost vlnění zvyšuje. Při pohybu směrem od zdroje je tomu naopak.
- Jmenovatel zohledňuje pohyb zdroje. Pokud se zdroj pohybuje směrem k pozorovateli, vysílá každou další vlnoplochu blíže k té předchozí, čímž se zkracuje vlnová délka. Při pohybu směrem od pozorovatele se vlnoplochy od sebe vzdalují.
Kalkulačka provádí výpočet podle těchto vztahů a v sekci Vzorec a dosazení zobrazuje jednotlivé kroky:
- Převod jednotek, pokud je potřeba:
‹from› = ‹to›. - Výpočet čitatele: Čitatel: v
‹sign›vₒ =‹v›‹sign›‹vo›=‹num›m/s (případně Čitatel: v =‹num›m/s, pokud je pozorovatel v klidu). - Výpočet jmenovatele: Jmenovatel: v
‹sign›vₛ =‹v›‹sign›‹vs›=‹den›m/s (případně Jmenovatel: v =‹den›m/s, pokud je zdroj v klidu). - Dosazení do hlavního vzorce: f′ = f₀ ×
‹num›÷‹den›=‹freq›. - Určení absolutního a relativního posuvu: Δf =
‹freq›−‹f0›=‹shift›(‹percent›).
Vliv prostředí na rychlost šíření vln
Rychlost vlnění (v) je klíčovým parametrem, který určuje, jak výrazný Dopplerův posuv při konkrétních rychlostech pohybu nastane. Nástroj obsahuje předvolby pro běžná prostředí, která definují rychlost šíření zvuku při specifických teplotách:
| Prostředí | Rychlost vlnění |
|---|---|
| Vzduch (20 °C) | Automaticky vyplněná hodnota |
| Vzduch (0 °C) | Automaticky vyplněná hodnota |
| Helium (0 °C) | Automaticky vyplněná hodnota |
| Voda (20 °C) | Automaticky vyplněná hodnota |
| Vlastní prostředí | Uživatelsky definovaná hodnota |
Pokud v poli Rychlost vlnění přepíšete hodnotu na vlastní, pole Prostředí se automaticky přepne na možnost Vlastní prostředí.
Fyzika průjezdu a změna výšky tónu
Při reálném pozorování pohybujícího se zdroje, například projíždějící sanitky se sirénou, dochází k náhlému poklesu frekvence v okamžiku, kdy zdroj mine pozorovatele. Tento jev detailně popisuje sekce Průjezd, která rozděluje situaci na dvě fáze:
- Při přibližování: Zdroj i pozorovatel se k sobě blíží. Výsledná Slyšená frekvence je vyšší než vysílaná.
- Po minutí: Zdroj i pozorovatel se od sebe vzdalují. Výsledná Slyšená frekvence je nižší než vysílaná.
Rozdíl mezi těmito dvěma stavy definuje parametr Změna výšky tónu při minutí, který vyjadřuje skokový pokles frekvence v hertzích přímo v momentě přechodu z přibližování do vzdalování.
Chování vlnoploch při nadzvukových rychlostech
Pokud se zdroj pohybuje rychlostí, která se blíží rychlosti vlnění v daném prostředí, dochází k extrémnímu zhušťování vlnoploch před zdrojem. Tento stav popisuje bezrozměrné Machovo číslo zdroje, což je poměr rychlosti zdroje k rychlosti vlnění v médiu.
V klasické akustice nastávají při překročení rychlosti vlnění specifické mezní stavy, které kalkulačka ošetřuje pomocí chybových hlášení:
- Rázová vlna (aerodynamický třesk): Pokud se zdroj přibližuje rychlostí rovnou nebo vyšší než je rychlost vlnění, vlnoplochy se hromadí do rázové vlny. Vzhledem k tomu, že před zdrojem v tomto okamžiku neexistuje žádná konečná výška tónu, kalkulačka zobrazí chybu: „Zdroj přibližující se rychlostí vlnění nebo vyšší hromadí své vlnoplochy do rázové vlny, takže před ním neexistuje žádná konečná výška tónu.“. Pokud se však zdroj pohybuje nadzvukovou rychlostí směrem od pozorovatele, výpočet proběhne, protože roztažené vlnoplochy se mohou šířit směrem zpět k pozorovateli.
- Únik před vlnoplochami: Pokud se pozorovatel vzdaluje od zdroje rychlostí rovnou nebo vyšší než je rychlost vlnění, vlny jej nikdy nedostihnou. V tomto případě kalkulačka zobrazí chybu: „Pozorovatel vzdalující se rychlostí vlnění nebo vyšší uniká vlnoplochám a zdroj nikdy neuslyší.“.
Zpracování dat a validace vstupů
Kalkulačka provádí veškeré matematické operace lokálně. Všechny zadané hodnoty zůstávají v tomto prohlížeči – nic se neodesílá.
Při zadávání hodnot systém kontroluje korektnost vstupů a v případě chyby zobrazí příslušné hlášení:
- Pokud zadáte nečíselný znak: „
‹field›: „‹token›“ není číslo.“. - Pokud zadáte zápornou rychlost: „
‹field›: zadejte rychlost jako kladnou hodnotu a směr nastavte vedle ní.“. - Pokud je Vysílaná frekvence nulová nebo záporná: „Vysílaná frekvence musí být větší než nula.“.
- Pokud je Rychlost vlnění nulová nebo záporná: „Rychlost vlnění musí být větší než nula.“.
- Při překročení limitů výpočetního rozsahu: „Hodnota nebo mezivýsledek přesahuje podporovaný rozsah čísel.“.
Často kladené otázky
Mohu toto použít pro světlo nebo astronomický rudý posuv?
Ne. Světlo nepotřebuje žádné prostředí a jeho Dopplerův zákon je relativistický: záleží pouze na vzájemné rychlosti mezi zdrojem a pozorovatelem, nikoli na tom, kdo se „skutečně“ pohybuje. Tato kalkulačka používá klasický zákon pro zvuk a jiné mechanické vlnění v prostředí, který dává odlišný výsledek s výjimkou běžných rychlostí, kde se oba výsledky téměř shodují.
Proč výška tónu sirény klesne v okamžiku, kdy kolem mě projede?
Když se zdroj přibližuje, každá nová vlnoplocha je vyslána o něco blíže k vám, takže dorazí nahuštěné u sebe a vy slyšíte vyšší frekvenci. V okamžiku, kdy vás mine, tentýž pohyb naopak rozestupy roztáhne a výška tónu klesne. Blok průjezdu ukazuje obě frekvence a přesnou velikost poklesu pro vaše hodnoty.
Co se stane, když se zdroj pohybuje rychleji než zvuk?
Vlnoplochy již nemohou předstihnout zdroj a hromadí se podél kužele – rázové vlny, kterou slyšíme jako aerodynamický třesk. Jednoduchý vzorec pak nemá pro posluchače vpředu žádné konečné řešení, takže kalkulačka místo zobrazení nesmyslného čísla vypíše toto upozornění. Zdroj vzdalující se nadzvukovou rychlostí je v pořádku: jeho roztažené vlnoplochy se šíří dál a vzorec platí.
Mění výsledek vítr nebo pohyb do strany?
Ano, a oba tyto jevy stojí mimo tento model. Vzorec předpokládá klidné prostředí, takže stálý vítr – který unáší prostředí s sebou – mění skutečný posuv. Model také řeší pouze pohyb podél spojnice zdroje a pozorovatele; pro pohyb pod úhlem použijte složku rychlosti podél této spojnice, což je důvod, proč výška tónu projíždějící sirény klesá plynule a neskáče naráz.