Laboratoř srážek

Interaktivní simulace fyzikálních srážek

Laboratoř srážek je interaktivní online nástroj určený k simulaci pružných a nepružných srážek mezi dvěma míčky v jednorozměrném nebo dvourozměrném prostoru. Uživatelé mohou v reálném čase sledovat chování těles, jejichž fyzikální vlastnosti sami definují, a analyzovat změny hybnosti a energie, ke kterým dochází během kontaktu. Celá simulace běží v tomto prohlížeči – nic z toho, co nastavíte, se neodesílá, což zajišťuje lokální zpracování všech výpočtů přímo na vašem zařízení.

Nástroj slouží jako vizuální pomůcka pro studenty fyziky, kteří si potřebují ověřit výpočty z učebnic, pro učitele demonstrující zákony zachování a pro samouky studující mechaniku těles.

---

Nastavení parametrů a ovládání simulace

Před spuštěním simulace je k dispozici panel Nastavení srážky, kde lze definovat počáteční podmínky systému:

• Rozměr: Volba mezi jednorozměrným pohybem (1D dráha) a pohybem v ploše (2D rovina).
• Scénáře: Předpřipravené konfigurace pro rychlou demonstraci typických jevů:
  • Stejné hmotnosti, čelně
  • Těžký naráží do lehkého
  • Náraz zezadu
  • Dokonale nepružná
  • Šikmý 2D náraz
• Koeficient restituce e: Posuvník definující míru pružnosti srážky od hodnoty dokonale nepružná po hodnotu pružná.
• Vlastnosti pro Míček 1 a Míček 2:
  • Hmotnost: Kladná hodnota vyjádřená v kilogramech.
  • Poloha x a Poloha y (druhá jmenovaná pouze pro 2D rozměr).
  • Rychlost x a Rychlost y (druhá jmenovaná pouze pro 2D rozměr).

Během pozastavení můžete přetažením míčku změnit jeho polohu – simulace se pak spustí s novým nastavením. K ovládání běhu slouží tlačítka Spustit, Pozastavit, Krok (pro posun o jeden snímek) a Resetovat. Rychlost přehrávání lze přepínat mezi režimy Normální a Zpomaleně.

---

Sledování výsledků v reálném čase

Nástroj vizualizuje pohyb v sekci Animovaná aréna zobrazující pohyb a srážku dvou míčků s vyznačenými šipkami rychlosti a těžištěm. Nad arénou se zobrazuje aktuální stavový řádek, který může nabývat následujících hodnot:

• Nastavte hmotnosti a rychlosti, poté stiskněte spustit.
• Simulace běží.
• Pozastaveno v t = ‹t› s.

Data jsou přehledně rozdělena do dvou tabulek:

1. Právě teď: Zobrazuje okamžité hodnoty veličin během pohybu:

   • Rychlost
   • Hybnost
   • Kinetická energie
   • Celková hybnost
   • Celková kinetická energie

2. Před srážkou a po srážce: Tato srovnávací tabulka se sama vyplní, jakmile se míčky srazí. Pokud simulace teprve začala, zobrazuje se text: Spusťte simulaci – jakmile se míčky srazí, tato srovnávací tabulka se sama vyplní.. Po nárazu tabulka nese záhlaví Srážka ‹n›, v t = ‹t› s a obsahuje sloupce Před, Po a Změna pro jednotlivé řádky Rychlost, Hybnost a Kinetická energie každého míčku. Pod tabulkou se vypíše přesná bilance ztrát: Kinetická energie ztracená při nárazu: ‹value› J (‹percent› z celkové energie před ním).

---

Fyzikální pravidla a omezení simulátoru

Simulace pracuje jako idealizovaný výukový model, který využívá následující zjednodušení: hladké disky, bez tření, bez gravitace, bez rotace, okamžité nárazy a dokonale pružné stěny. Demonstruje zákony zachování, ale nereprodukuje skutečná inženýrská nebo laboratorní měření.

Při zadávání parametrů platí tyto limity a pravidla pro ošetření chyb:

• Hmotnost: Musí být větší než nula a maximálně 1000 kg. Při porušení se zobrazí chybová hlášení: Míček ‹n›: hmotnost musí být větší než nula. nebo Míček ‹n›: hmotnosti nad 1000 kg jsou mimo rozsah této ukázky..
• Rychlost: Každá složka rychlosti musí být v rozmezí ±50 m/s. V opačném případě systém zobrazí chybu: Míček ‹n›: udržujte každou složku rychlosti v rozmezí ±50 m/s..
• Neplatný vstup: Pokud zadáte nečíselný znak, zobrazí se: Míček ‹n›, ‹field›: „‹token›“ není číslo. (kde ‹field› odpovídá konkrétnímu poli, např. hmotnost, poloha x, poloha y, rychlost x nebo rychlost y).
• Poloha: Pokud umístíte míček mimo vymezený prostor, zobrazí se: Míček ‹n› začíná mimo arénu – posuňte ho zpět dovnitř stěn.. Pokud se míčky překrývají, simulátor ohlásí: Dva míčky se na startu překrývají – před spuštěním je posuňte od sebe..
• Chování na hranicích: Stěny arény odrážejí míček beze změny jeho rychlosti. Mezi nárazy nepůsobí žádné vnější síly (jako gravitace či tření), takže se polohy posouvají přesně. Každý náraz je vyřešen v přesném okamžiku kontaktu v rámci snímku, což zabraňuje tomu, aby rychlé míčky propadly skrz sebe.

---

Použité vzorce

Výpočty v simulátoru vycházejí z klasické mechaniky a jsou prezentovány v následující podobě:

Hybnost a kinetická energie

• p = m·v
• KE = ½·m·|v|²

Náraz podél spojnice středů

Pro výpočet silového působení při nárazu se definuje jednotkový vektor n̂ spojující středy obou míčků a relativní rychlost v_rel = v₂ − v₁. Velikost impulsu j se spočítá jako:

• j = −(1 + e) · (v_rel · n̂) ÷ (1/m₁ + 1/m₂)

Následné rychlosti po srážce jsou určeny vztahy:

• v₁′ = v₁ − (j/m₁)·n̂
• v₂′ = v₂ + (j/m₂)·n̂

Koeficient restituce e je definován vztahem:

• e = −(v_rel′ · n̂) ÷ (v_rel · n̂)

Zvláštní případ čelní pružné srážky (e = 1)

Pokud je koeficient restituce roven 1, kinetická energie se plně zachovává a rychlost po srážce odpovídá vzorci:

• v₁′ = ((m₁ − m₂)·v₁ + 2·m₂·v₂) ÷ (m₁ + m₂)

Zvláštní případ čelní dokonale nepružné srážky (e = 0)

Při dokonale nepružném čelním nárazu se tělesa pohybují společnou rychlostí v′ podle vzorce:

• v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) ÷ (m₁ + m₂)

Mezi nárazy

V intervalech mezi kolizemi se poloha bodů mění lineárně, neboť na ně nepůsobí žádné síly:

• x ← x + v·Δt

---

Často kladené otázky

Proč se zachovává hybnost, i když se nezachovává kinetická energie?
Bhem nárazu na sebe oba míčky působí stejně velkými silami opačného směru, takže jakoukoli hybnost jeden ztratí, druhý získá – celková hybnost se nemůže změnit, ať už je hodnota e jakákoli. Kinetická energie takovou ochranu nemá: při měkkém nárazu se její část přemění na deformaci, teplo a zvuk. Tabulka před srážkou a po ní ukazuje přesně toto – řádek s hybností si zachovává svou hodnotu, zatímco řádek s energií klesá.

Co vlastně koeficient restituce určuje?
Je to poměr rychlosti, jakou se míčky od sebe vzdalují, k rychlosti, jakou se k sobě přibližovaly, měřený podél spojnice jejich středů. Při e = 1 se při odrazu vrátí plná rychlost přibližování a kinetická energie se zachovává; při e = 0 se míčky přestanou zcela vzdalovat – při čelním nárazu se pohybují společně jako jedno těleso. Cokoli mezi tím ztrácí část energie: basketbalový míč se odráží s e ≈ 0.6, tenisový míček na betonu s přibližně 0.75.

Proč se míčky při 2D dokonale nepružném nárazu nespojí?
Hodnota e = 0 odstraňuje rychlost vzdalování podél spojnice středů – tedy ve směru, ve kterém na sebe míčky skutečně tlačí. Při čelním nárazu se jedná o celý pohyb, takže se pohybují společně. Při šikmém nárazu má však každý míček také boční pohyb podél styčné plochy a hladké míčky bez tření nemají žádný odpor, který by ho zrušil, takže se jejich dráhy rozdělí, i když samotný odraz vymizel. Aby se skutečně spojily, bylo by zapotřebí tření nebo zaklesnutí, což tento model záměrně vynechává.

Jak moc se to blíží skutečné srážce?
Zákony zachování platí přesně – spoléhají na ně vyšetřovatelé nehod i částicoví fyzici. To, co je zde idealizované, je vše ostatní: reálné objekty se deformují v řádu milisekund a nikoli okamžitě, při mimostředném nárazu rotují, třou se o sebe a valením se zastaví. Berte tato čísla jako učebnicovou limitu, ke které se čistý experiment přibližuje, nikoli jako předpověď pro konkrétní reálný objekt.