Calculadora de regressió lineal

El mètode dels mínims quadrats per a l'ajust lineal

La regressió lineal simple és un mètode estadístic que permet modelar la relació entre una variable predictora independent (x) i una variable de resposta dependent (y). L'objectiu principal és trobar la línia recta que millor s'ajusti a un conjunt de punts de dades aparellades. Per aconseguir-ho, s'utilitza el mètode dels mínims quadrats ordinaris (OLS), el qual minimitza la suma dels quadrats de les diferències verticals (anomenades residus) entre els punts de dades observats i la línia recta estimada.

Aquesta relació es descriu mitjançant l'equació de la recta:

ŷ = a + b·x

On:

• ŷ és el valor predit de la variable de resposta.
• b és el pendent de la línia, que indica el canvi mitjà en y per cada increment d'una unitat en x.
• a és la intersecció amb l'eix y, que representa el valor on la línia creua l'eix vertical quan x és igual a zero.

Per garantir la màxima precisió numèrica, els càlculs es realitzen en dues passades amb sumes compensades, evitant que les dades amb magnituds molt diferents perdin exactitud durant el procés de computació. Les fórmules de dispersió i covariació de base són:

Sxx = Σ(xᵢ − x̄)² Syy = Σ(yᵢ − ȳ)² Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)

A partir d'aquestes sumes respecte a les mitjanes, es calculen directament el pendent i la intersecció:

b = Sxy ÷ Sxx a = ȳ − b·x̄

Interpretació dels coeficients i significació estadística

Un cop obtinguda la línia de regressió, és fonamental avaluar la precisió dels coeficients estimats mitjançant l'anàlisi d'errors estàndard, estadístics t i valors p. Aquests indicadors permeten determinar si la relació observada és estadísticament significativa o si podria haver sorgit per atzar.

L'error estàndard del pendent, SE(b), i de la intersecció, SE(a), mesuren la variabilitat esperada d'aquestes estimacions si es prenguessin mostres repetides:

SE(b) = s ÷ √Sxx SE(a) = s · √(1÷n + x̄² ÷ Sxx)

On s representa la dispersió residual. L'estadístic t es calcula dividint cada estimació pel seu error estàndard corresponent. Aquest valor es contrasta mitjançant una prova de dues cues amb n - 2 graus de llibertat per obtenir el valor p, utilitzant la funció de la distribució beta incompleta regularitzada. Si el valor p és prou petit, es rebutja la hipòtesi nul·la que el coeficient real és igual a zero.

L'anàlisi de la variància (ANOVA) desglossa la variabilitat total de les dades en dues parts: la variació explicada per la línia de regressió i la variació residual no explicada. Aquesta informació es recull a la taula de Variància explicada, que detalla els graus de llibertat (gl), la suma de quadrats, la mitjana quadràtica, l'estadístic F i el valor p global. En un model amb un sol predictor, la prova F i la prova t del pendent són equivalents i ofereixen exactament el mateix valor p.

Correlació i coeficient de determinació (R²)

Per mesurar la força i la direcció de la relació lineal, s'utilitzen dos indicadors clau:

• Correlació r: El coeficient de correlació de Pearson mesura el grau d'associació lineal entre les dues variables. El seu valor oscil·la entre -1 i 1, on el signe indica la direcció de la relació (positiu per a un pendent ascendent i negatiu per a un pendent descendent).

• R² (Coeficient de determinació): Representa la proporció de la variació total de la variable y que és explicada pel model lineal a través de la variable x. Es calcula com:

  R² = SSR ÷ SST

• R² ajustat: Corregeix el valor d'R² tenint en compte el nombre de punts de dades, evitant sobreestimar la qualitat de l'ajust en mostres petites:

  R² ajustat = 1 − (1 − R²)(n − 1) ÷ (n − 2)

Prediccions i intervals de confiança

Una de les aplicacions pràctiques de la regressió lineal és predir el valor de y per a valors concrets de x. En introduir valors de cerca, l'eina calcula la predicció puntual i ofereix dos tipus d'intervals basats en el nivell de confiança seleccionat (90%, 95% o 99%):

1. Interval per a la mitjana: Cobreix la incertesa associada a la posició de la línia de regressió en si mateixa. Representa l'interval on s'espera que es trobi la mitjana de la població per a aquest valor de x.
2. Interval individual: Cobreix el rang on s'espera que caigui una nova observació individual. Com que ha de tenir en compte tant la incertesa de la línia com la dispersió inherent dels punts individuals al voltant d'aquesta, l'interval individual és sempre més ample que l'interval de la mitjana.

Ambdós intervals s'eixamplen progressivament a mesura que el valor de x utilitzat per a la predicció s'allunya de la mitjana de la mostra (x̄). Si es demana una predicció per a un valor de x que es troba fora del rang de les dades introduïdes, el sistema mostrarà l'etiqueta "fora de les dades" per advertir que s'està realitzant una extrapolació més enllà del domini observat.

Funcionament de l'eina i privacitat

Aquesta calculadora està dissenyada per processar les dades de manera immediata a mesura que s'escriuen o s'enganxen, sense necessitat de prémer cap botó de càlcul.

Opcions de configuració i entrada de dades

• Disposició: Permet triar entre "Files aparellades" (on s'introdueix una parella de valors x i y per línia) o "Dues llistes" (on s'introdueixen tots els valors de x en un camp i els de y en un altre).
• Separadors decimals: Admet tant el punt decimal (per exemple, 12.5) com la coma decimal (per exemple, 12,5). Segons la configuració triada, els valors de les llistes s'han de separar amb espais, comes o salts de línia (per al punt decimal) o bé amb espais, punts i comes o salts de línia (per a la coma decimal).
• Còpia directa: Es poden copiar dues columnes directament des d'un full de càlcul i enganxar-les. Si la primera fila conté text no numèric, es detectarà automàticament com a capçalera i s'ometrà del càlcul.
• Intercanvi de variables: El botó "Intercanvia x i y" permet reescriure instantàniament les dades canviant les columnes de posició. Atès que el mètode dels mínims quadrats minimitza exclusivament les distàncies verticals, l'intercanvi de variables donarà lloc a una línia de regressió diferent, mantenint inalterats només els valors de r i R².
• Límits de dades: L'eina admet un mínim de 2 punts i un màxim de 50.000 punts de dades (o 1 MB de text enganxat). Es poden sol·licitar fins a 50 prediccions simultànies.

Seguretat de les dades

Les vostres dades i cada estadística es queden en aquest navegador i mai no es pengen. Tot el processament i els càlculs matemàtics es realitzen localment en el dispositiu de l'usuari, garantint que la informació no es transmet a servidors externs.

Condicions límit i missatges d'error

El motor de càlcul avalua la viabilitat matemàtica de les dades introduïdes i pot mostrar els següents avisos o errors segons el cas:

• Dades insuficients: Si s'introdueix menys de dos punts, es mostra l'error: "Introduïu almenys 2 punts; un sol punt no defineix una línia.".
• Exactament dos punts: "Dos punts fixen la línia exactament, de manera que no queda res per estimar-ne la incertesa.".
• Ajust perfecte: "Els punts se situen exactament sobre la línia, de manera que no hi ha dispersió residual i no es pot estimar cap interval ni valor p.".
• Valors de Y constants: "Tots els valors de y són iguals, de manera que la línia és plana i r, R² i la prova de significació no estan definits.".
• Valors de X constants (Línia vertical): "Tots els valors de x són iguals, de manera que la línia seria vertical i el pendent dividiria per zero.".
• Incoherències en les dades: Si les llistes tenen mides diferents, es mostra l'error: "Hi ha ‹countX› valors de x i ‹countY› valors de y; les llistes han de tenir la mateixa longitud.". Si es detecten caràcters no numèrics, s'indicarà l'error corresponent, com ara "«‹token›» no és un nombre (fila ‹position›).".

Preguntes freqüents

Què m'indica realment l'R²?

L'R² és la proporció del moviment ascendent i descendent de y que s'explica per la línia: 0,96 significa que el 96% s'alinea amb x i el 4% no. No diu res sobre si una línia recta era la forma correcta (una corba clara encara pot obtenir una puntuació alta), així que cal interpretar-lo al costat del gràfic de residus. La correlació r és l'arrel quadrada de l'R² amb el signe del pendent, motiu pel qual la r és negativa per a una línia descendent.

Importa quina columna posi a la x?

Sí. Els mínims quadrats minimitzen els buits verticals, de manera que tracten y com la variable explicada i x com la variable explicativa. Si les canvieu de l'una a l'altra, obtindreu un pendent i una intersecció diferents; només r i R² es mantenen iguals. Poseu la variable que voleu predir a la y; si heu introduït les columnes a l'inrevés, el botó d'intercanvi les reescriu al seu lloc.

Per què les prediccions s'ofereixen amb dos intervals?

Responen a preguntes diferents. L'interval de la mitjana demana on se situa la y mitjana per a tothom en aquesta x, de manera que només compta la incertesa de la mateixa línia. L'interval individual demana on caurà una nova observació, la qual cosa afegeix la dispersió dels punts al voltant de la línia; aquest terme addicional és el motiu pel qual sempre és el més ample dels dos. Ambdós s'eixamplen a mesura que la x s'allunya del centre de les vostres dades.

Un valor p petit significa que x causa y?

No. El valor p només respon a una pregunta concreta: si el pendent real fos 0, com de freqüentment una mostra d'aquesta mida produiria un pendent almenys així de distant de 0? Un valor petit fa que l'explicació de «cap relació en absolut» sigui poc plausible, res més. La causalitat requereix el disseny de l'estudi que hi ha al darrere; un tercer factor que mogui ambdues columnes, o una mostra que no s'hagi recollit de manera independent, produeix valors p petits amb la mateixa facilitat.