La radiació tèrmica és el procés pel qual els objectes emeten energia electromagnètica a causa de la seva temperatura. Un cos negre ideal representa el model físic perfecte d'aquest fenomen: absorbeix tota la radiació incident i emet la màxima quantitat d'energia possible per a cada temperatura. Mitjançant la Calculadora de radiació de cos negre, és possible analitzar aquest comportament de manera immediata, ja sigui definint la temperatura de l'emissor o partint d'una longitud d'ona de pic mesurada.
El funcionament de la calculadora i paràmetres d'entrada
El funcionament de l'eina es basa en la selecció d'un mode inicial a «Comença des de», on es pot triar entre «Temperatura» o «Longitud d'ona del pic».
Els paràmetres d'entrada que configuren el càlcul són els següents:
- Temperatura: Defineix la temperatura absoluta de l'emissor quan s'inicia des d'aquest mode.
- Unitat de temperatura: Permet especificar l'escala termomètrica utilitzada.
- Longitud d'ona del pic mesurada: S'utilitza en el mode de longitud d'ona per determinar la temperatura equivalent de l'emissor.
- Unitat de longitud d'ona: Defineix la unitat de mesura per a les longituds d'ona introduïdes.
- Emissivitat: Un coeficient (ε) on 1 representa un cos negre ideal. Els valors inferiors a 1 modelen un cos gris, reduint proporcionalment les magnituds radiades sense alterar la posició del pic.
- Avalua a una longitud d'ona: Un camp opcional per calcular la radiància espectral en un punt concret de l'espectre i comparar-lo amb el pic.
Per facilitar l'exploració, l'apartat «Proveu un emissor conegut» inclou botons de configuració ràpida per a objectes de referència com la «Superfície del Sol», una «Bombeta de filament», la «Flama d'una espelma», el «Cos humà» o el «Fons còsmic».
Fonaments físics i equacions utilitzades
Els resultats de la calculadora s'obtenen mitjançant l'aplicació de tres lleis fonamentals de la termodinàmica i la física quàntica:
Llei de desplaçament de Wien
Aquesta llei estableix que la longitud d'ona on es produeix el pic d'emissió (λ_max) és inversament proporcional a la temperatura absoluta (T) de l'emissor. Es calcula mitjançant la fórmula:
λ_max = b / T
On s'utilitza la constant de Wien CODATA 2022, b = 2.897771955 × 10⁻³ m·K.
Llei de Stefan-Boltzmann
La potència total radiada per unitat d'àrea (M) s'incrementa de manera proporcional a la quarta potència de la temperatura absoluta. L'equació incorpora l'emissivitat (ε) per a cossos grisos:
M = εσT⁴
On s'utilitza la constant de Stefan-Boltzmann CODATA, σ = 5.670374419 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴.
Llei de Planck
La radiància espectral (B_λ) descriu la quantitat d'energia emesa a una longitud d'ona específica i temperatura determinada:
B_λ(λ,T) = (2hc²) / (λ⁵ × (e^(hc / (λ k T)) − 1))
On h és la constant de Planck, c és la velocitat de la llum i k és la constant de Boltzmann.
Límits numèrics i validació de dades
L'aplicació gestiona de manera estricta els límits físics i matemàtics per evitar desbordaments de memòria o errors de càlcul:
- Desbordament exponencial: Quan el terme (hc) / (λ k T) és superior a aproximadament 700, el denominador e^x tendeix a l'infinit. En aquests casos, així com quan λ o T són extremadament petits, la radiància espectral B_λ s'avalua directament com a 0.
- Límits de temperatura: La temperatura ha de ser superior al zero absolut. Si s'introdueix un valor igual o inferior, es mostra l'error: «La temperatura ha de ser superior al zero absolut (0 K, −273.15 °C, −459.67 °F).». El límit superior admès és de 10⁹ K; si se supera, es mostra el missatge: «Mantingueu la temperatura a 10⁹ K o menys.».
- Límits de longitud d'ona: Els valors de longitud d'ona s'han de situar estrictament entre 0.0001 nm i 1 m. Fora d'aquest rang, es mostra l'error: «Les longituds d'ona han d'estar entre 0.0001 nm i 1 m.».
- Límits d'emissivitat: L'emissivitat ha de ser superior a 0 i com a màxim d'1. En cas contrari, es mostra: «L'emissivitat ha de ser superior a 0 i com a màxim d'1.».
- Errors de format: Si s'introdueix un caràcter no numèric, es mostra el missatge: ««
‹token›» no és un nombre.».
Interpretació dels resultats obtinguts
Quan l'eina es troba en l'estat inicial sense cap temperatura vàlida, mostra el missatge: «Introduïu una temperatura superior al zero absolut per il·luminar l'espectre.». Una vegada es realitza un càlcul correcte, l'estat canvia a: «Espectre per a un emissor a ‹t›.».
Els resultats principals es mostren de forma destacada:
- Longitud d'ona del pic d'emissió: El punt exacte on es concentra la màxima emissió.
- Temperatura de l'emissor: El valor d'entrada o el valor calculat a partir del pic.
- Regió espectral del pic: Identifica la banda de l'espectre on cau el pic, classificant-la com a «Raigs X / gamma», «Ultraviolat», «Llum visible», «Infraroig proper», «Infraroig mitjà», «Infraroig llunyà» o «Microones».
A sota es detallen les «Magnituds radiades» que inclouen la «Temperatura», la «Potència radiada total» i la «Radiància espectral al pic». Si s'ha definit una longitud d'ona personalitzada, es mostra la «Radiància espectral a ‹lambda›» i la seva proporció «Relativa al pic».
L'apartat «Fórmula i substitució» desglossa el desenvolupament matemàtic del càlcul. L'usuari pot utilitzar el botó «Copia el resultat» per desar les dades obtingudes.
L'espectre es representa gràficament a la «Corba de Planck de la radiància espectral en funció de la longitud d'ona, amb el pic i la banda de llum visible marcats», on s'identifiquen clarament la «Llum visible», el «Pic» i «La vostra longitud d'ona».
Privacitat de les dades
Cada càlcul s'executa al vostre navegador. Les temperatures i longituds d'ona que introduïu mai no surten del vostre dispositiu, garantint que el processament de les dades es realitza exclusivament de manera local.
Preguntes freqüents
Què és exactament un cos negre?
Un objecte idealitzat que absorbeix totes les longituds d'ona que hi incideixen i, a canvi, emet l'espectre tèrmic més intens que pot produir qualsevol superfície a la seva temperatura. No hi ha res real que ho sigui perfectament, però les estrelles, l'interior dels forns i els filaments de les làmpades s'hi acosten prou perquè la corba ideal sigui el primer model estàndard; els números d'aquí són aquest límit ideal.
Per què un objecte més calent brilla amb un color més blau?
La llei de Wien situa el pic a b ÷ T, de manera que duplicar la temperatura redueix a la meitat la longitud d'ona del pic. Una barra de metall s'escalfa des de l'infraroig invisible fins a un vermell tènue al voltant dels 800 K, després taronja i finalment blanc a mesura que una part més gran de la corba s'estén per tot el rang visible; la superfície del Sol a 5772 K té el seu pic prop dels 502 nm, al mig verd-blau d'aquest rang.
Què canvia l'emissivitat i què deixa intacte?
Establir ε per sota d'1 modela un cos gris: cada magnitud radiada —la potència total i la radiància a cada longitud d'ona— es multiplica per ε, mentre que la forma de la corba i la longitud d'ona del pic es mantenen exactament on eren. Els materials reals van més enllà i varien ε d'una longitud d'ona a una altra, cosa que un sol número no pot reflectir.
Puc estimar la temperatura d'una estrella a partir del seu color?
Sí; si canvieu la calculadora per començar des d'una longitud d'ona de pic, inverteix la llei de Wien, T = b ÷ λ. Una estrella amb un pic a 400 nm surt a prop dels 7 200 K. Preneu-ho com una estimació: una estrella és només aproximadament un cos negre, i les línies d'absorció o l'envermelliment interestel·lar poden desplaçar el lloc on apareix el pic mesurat.