Калкулатор за z-резултат и стандартно отклонение

Поставете набор от данни, за да получите неговото средно аритметично, стандартно отклонение и z-резултати за всяка стойност, или решете z = (x − μ) / σ за едно неизвестно с вероятности по нормалната крива.

Въвеждане

Разделяйте стойностите с интервали, точки и запетаи или нови редове. Използвайте запетая за десетичните знаци, например 82,5.
Стандартно отклонение

Резултати

Стандартно отклонение на извадката s

—

z-резултат за всяка стойност

Стойностx − средно аритметичноz

Формула и заместване

σ = √[ Σ(x − μ)² ÷ n ]

s = √[ Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) ]

z = (x − μ) ÷ σ

    Поставете стойности, за да видите тяхното разсейване и всеки z-резултат.

    Вашите данни и изчисления остават в този браузър и никога не се изпращат онлайн.

    ЧЗВ

    Кога трябва да деля на n − 1 вместо на n?

    Делете на n − 1 (стандартното отклонение на извадката s), когато стойностите Ви са извадка от по-голяма група и искате да оцените разсейването на тази група — по-малкият делител коригира отклонението надолу, което извадката има. Делете на n (стандартното отклонение на генералната съвкупност σ), когато въведените стойности представляват цялата група, която Ви интересува. z-резултатите следват същия избор, тъй като всяка стойност се дели на избраното разсейване.

    Предполагат ли z-резултатите, че данните ми са нормално разпределени?

    Не. z-резултатът е само преоразмеряване — показва на колко стандартни отклонения от средното аритметично се намира дадена стойност — и е дефиниран за всеки набор от данни с ненулево разсейване. Вероятностите в обобщения режим са частта, която предполага нормално разпределение; при асиметрични данни реалният дял на стойностите извън дадено z може да се различава от това, което показва кривата.

    Защо z-резултатите са недефинирани, когато всички стойности са идентични?

    z-резултатът се получава чрез делене на стандартното отклонение. Идентичните стойности нямат разсейване, така че стандартното отклонение е 0 и деленето е недефинирано — всяка точка е точно при средното аритметично, което нито една единична стойност на z не може да изрази. Средното аритметично, дисперсията и другите статистически показатели все пак се изчисляват нормално.

    Написано и проверено от редакционния екип на BroBroGo.Последна актуализация:

    Анализ на статистическото разсейване и z-резултатите

    Статистическият анализ изисква прецизни инструменти за измерване на разсейването на данните и за определяне на позицията на отделните стойности спрямо средната стойност на извадката или генералната съвкупност. Калкулаторът за z-резултат и стандартно отклонение предоставя два специализирани режима на работа за решаване на тези задачи: директен анализ на сурови данни и алгебрично намиране на неизвестни параметри по формулата за нормално разпределение.

    Всички изчисления и обработка на данни се извършват локално в уеб браузъра на потребителя. Данните и въведените стойности не се изпращат към външни сървъри, което гарантира, че Вашите данни и изчисления остават в този браузър и никога не се изпращат онлайн.

    Режими на работа и въвеждане на данни

    Инструментът поддържа два основни режима, които се избират чрез опцията Въвеждане:

    1. От набор от данни

    Този режим е предназначен за анализ на сурови числови масиви. Потребителят въвежда стойностите в текстовото поле Набор от данни.

    • Формати на въвеждане: Стойностите могат да се разделят с интервали, запетаи, точки и запетаи или нови редове. В зависимост от локалните настройки десетичните знаци се въвеждат с точка или запетая (например 82.5 или 82,5).
    • Ограничения за обема: Наборът от данни трябва да съдържа под 50 000 стойности. При надхвърляне се показва съобщението: Ограничете набора от данни до под ‹max› стойности..
    • Минимален брой стойности: За изчисляване на стандартно отклонение на извадка са необходими поне 2 стойности. Ако е въведена само една, се задейства грешката: Извадката трябва да съдържа поне 2 стойности — при една стойност делителят n − 1 е нула.. За генерална съвкупност е необходима поне 1 стойност, в противен случай се изписва: Въведете поне една стойност..

    2. От обобщени стойности

    Този режим се използва за решаване на алгебричното уравнение на z-резултата: z = (x - μ) / (σ)

    Потребителят трябва да попълни точно три от следните четири полета и да остави едно празно, което се изчислява автоматично:

    • Стойност x
    • Средно аритметично μ
    • Стандартно отклонение σ
    • z-резултат z

    Ако не е оставено точно едно празно поле, системата показва предупреждението: Оставете точно едно от четирите полета празно..

    Математически конвенции за стандартно отклонение

    При работа с набори от данни изборът на конвенция за стандартно отклонение променя математическия делител:

    • Генерална съвкупност ÷ n: Използва се, когато въведените данни представляват пълния обем на изследваната група. Делителят при изчисляване на дисперсията е равен на броя на стойностите n.
    • Извадка ÷ n − 1: Прилага се, когато данните са извадка от по-голяма група и целта е да се оцени разсейването на тази по-голяма група. Делителят n - 1 (корекция на Бесел) компенсира систематичното подценяване на разсейването при малки извадки.

    Формули и деривация на резултатите

    При успешно изчисление в режим на набор от данни, инструментът показва детайлното математическо заместване под заглавието Формула и заместване:

    1. Средно аритметично: Средно аритметично = (Σ x) / n Показва се като: Средно аритметично = ‹sum› ÷ ‹n› = ‹mean›.
    2. Сума от квадрати (SS): SS = Σ (x - x)² Показва се като: SS = Σ(x − средно аритметично)² = ‹ss›.
    3. Дисперсия:
      • За генерална съвкупност: Дисперсия на генералната съвкупност σ² = SS ÷ n = ‹ss› ÷ ‹n› = ‹variance›.
      • За извадка: Дисперсия на извадката s² = SS ÷ (n − 1) = ‹ss› ÷ ‹nm1› = ‹variance›.
    4. Стандартно отклонение:
      • За генерална съвкупност: Стандартно отклонение на генералната съвкупност σ = √σ² = ‹sd›.
      • За извадка: Стандартно отклонение на извадката s = √s² = ‹sd›.

    Изчисляване на индивидуалните z-резултати

    Всеки z-резултат показва на колко стандартни отклонения от средната стойност се намира дадена точка. Формулата за заместване е: Всяко z = (стойност − ‹mean›) ÷ ‹sd›. Резултатите се представят в таблица z-резултат за всяка стойност с колони Стойност и x − средно аритметично. За бързо копиране на изчисленията са налични бутоните Копиране на отговора и Копиране на z-резултатите.

    Визуални графики

    Инструментът показва и две графики: числова ос на стойностите с маркирани ленти за средно аритметично, ±1 СО, ±2 СО и ±3 СО, както и стандартна нормална крива със щрихована област вляво от z, която илюстрира вероятността P(X < x).

    Решаване на уравнения в обобщен режим

    В режим От обобщени стойности калкулаторът извършва следните алгебрични трансформации в зависимост от това кое поле е оставено празно:

    • Намиране на z-резултат:
      • z-резултат: z = (x − μ) ÷ σ = (‹x› − ‹mu›) ÷ ‹sigma› = ‹result›
    • Намиране на стойност x:
      • Стойност: x = μ + z·σ = ‹mu› + (‹z›)·‹sigma› = ‹result›
    • Намиране на средно аритметично μ:
      • Средно аритметично: μ = x − z·σ = ‹x› − (‹z›)·‹sigma› = ‹result›
    • Намиране на стандартно отклонение σ:
      • Стандартно отклонение: σ = (x − μ) ÷ z = (‹x› − ‹mu›) ÷ ‹z› = ‹result›

    Вероятности при нормално разпределение

    Под заглавието При допускане, че стойностите следват нормално разпределение: калкулаторът изчислява вероятностните площи под стандартната нормална крива за съответния z-резултат:

    • P(X < x): Вероятността случайна величина да е по-малка от x. Изчислява се чрез интегралната функция на разпределение: Φ(‹z›) = ‹p› от стандартната нормална крива..
    • P(X > x): Вероятността случайна величина да е по-голяма от x.
    • P(|X − μ| > |x − μ|): Двустранна вероятност за отклонение от средната стойност, по-голямо от текущото.
    • Процентил на x: Относителният дял на стойностите, които са по-малки или равни на x.

    Валидиране на данните и специфични грешки

    Калкулаторът следи за математическа коректност и въвеждането на невалидни символи:

    • Невалидни символи в набор от данни: Ако бъде въведен нечислов символ, се изписва: „‹token›“ не е число (стойност ‹position›)..
    • Невалидни символи в обобщени полета: При грешка в някое от четирите полета се показва: Въвеждайте само числа; „‹token›“ не е число..
    • Нулево разсейване: Ако всички стойности в набора от данни са еднакви, стандартното отклонение е 0. В този случай z-резултатите са математически недефинирани, тъй като изискват делене на 0. Инструментът показва грешката: Всички стойности са идентични, такa че стандартното отклонение е 0 и z-резултатите са недефинирани.. В секцията за деривация се изписва: Всяка стойност е равна на средното аритметично, така че SS = 0 и стандартното отклонение е 0 — деленето на него е недефинирано..
    • Ограничения за стандартното отклонение:
      • Ако потребителят въведе 0 за стандартно отклонение: Стандартното отклонение не може да бъде 0 — деленето на σ е недефинирано..
      • Ако се въведе отрицателно число: Стандартното отклонение трябва да бъде положително число..
    • Невъзможни алгебрични решения:
      • Ако z = 0, но x ≠ μ, уравнението няма решение с положително стандартно отклонение: Няма положително σ, което да решава това: когато z = 0, стойността трябва да е равна на средното аритметично..
      • Ако z = 0 и x = μ, всяко положително число за стандартно отклонение е вярно решение: При z = 0 и x = μ всяко положително σ е решение, така че σ няма единствен отговор..
      • Ако изчислението води до отрицателно стандартно отклонение: Алгебричното изчисление дава σ = ‹value›, но стандартното отклонение не може да бъде отрицателно. Проверете знаците на x − μ и z..
    • Числово препълване: Ако междинна или крайна стойност надхвърли изчислителния лимит на системата: Стойност или междинен резултат надхвърля поддържания числов диапазон..

    Често задавани въпроси (FAQ)

    Предполагат ли z-резултатите, че данните ми са нормално разпределени?

    Не. z-резултатът е само преоразмеряване — показва на колко стандартни отклонения от средното аритметично се намира дадена стойност — и е дефиниран за всеки набор от данни с ненулево разсейване. Вероятностите в обобщения режим са частта, която предполага нормално разпределение; при асиметрични данни реалният дял на стойностите извън дадено z може да се различава от това, което показва кривата.

    Кога трябва да деля на n − 1 вместо на n?

    Делете на n − 1 (стандартното отклонение на извадката s), когато стойностите Ви са извадка от по-голяма група и искате да оцените разсейването на тази група — по-малкият делител коригира отклонението надолу, което извадката има. Делете на n (стандартното отклонение на генералната съвкупност σ), когато въведените стойности представляват цялата група, която Ви интересува. z-резултатите следват същия избор, тъй като всяка стойност се дели на избраното разсейване.

    Защо z-резултатите са недефинирани, когато всички стойности са идентични?

    z-резултатът се получава чрез делене на стандартното отклонение. Идентичните стойности нямат разсейване, така че стандартното отклонение е 0 и деленето е недефинирано — всяка точка е точно при средното аритметично, което нито една единична стойност на z не може да изрази. Средното аритметично, дисперсията и другите статистически показатели все пак се изчисляват нормално.

    Калкулатор за линейна регресияНапаснете права по метода на най-малките квадрати към сдвоени данни и вижте нейния наклон, R², p-value, доверителни интервали, остатъци и прогнози на едно място.Калкулатор за претегляне на извадкиНапаснете данни от анкетирани към известни маргинални разпределения на съвкупността, след което проверете всяко крайно тегло, целеви остатък и ефективен размер на извадката.Процентен калкулаторКолко е X% от дадено число, какъв процент е една стойност от друга, общата стойност по известен процент, увеличението или намалението между две числа и продажните цени след отстъпка — всичко на една страница.Калкулатор за съотношенияОпростете съотношение, намерете неизвестното в пропорция или мащабирайте двете страни с един и същ коефициент.Калкулатор за редове на ФуриеВъведете периодична функция или до пет нейни части, за да изчислите коефициентите на Фурие, да прегледате частичната сума и да сравните възстановяването.Калкулатор за значими цифриПребройте значимите цифри във всяка стойност, закръглете до избрана точност или изчислете изрази с + − × ÷ с показани стъпка по стъпка правила за закръгляне.Калкулатор за хроматографска разделителна способностВъведете времената на задържане и ширините на два пика — или мъртвото време на колоната, времената на задържане и броя на тарелките — и получете разделителната способност Rs, оценката на разделянето и съответната формула с вашите заместени числа.Симулатор на генетичен дрейф в популациитеПроследявайте възпроизводими траектории на алелната честота по Wright–Fisher и сравнявайте фиксацията, загубата и оставащата вариация в повторени популации.Калкулатор за заболеваемост и превалентностПревърнете броя на случаите и населението в кумулативна заболеваемост, честота на заболеваемост спрямо човеко-време и моментна превалентност — с ясно показан знаменател зад всеки показател.