የ Z-Score እና ስታንዳርድ ዴቪየሽን ምንነት መረዳት
የዚ-ውጤት (z-score) አንድ እሴት ከዳታ ስብስቡ አማካይ አንጻር ሲታይ ምን ያህል ርቀት ላይ እንደሚገኝ የሚለካ መደበኛ መለኪያ ነው ። ይህ ርቀት የሚገለጸው በስታንዳርድ ዴቪየሽን (መደበኛ መዛባት) አሃዶች ነው ። የዚ-ውጤት አወንታዊ ከሆነ እሴቱ ከአማካዩ በላይ መሆኑን ያሳያል፤ አሉታዊ ከሆነ ደግሞ ከአማካዩ በታች መሆኑን ያመለክታል። እሴቱ በትክክል ከአማካዩ ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ የዚ-ውጤቱ ዜሮ ይሆናል።
ይህንን መለኪያ ማስላት የዳታ ስብስቦችን መደበኛ ቅርጽ ሳይቀይሩ እሴቶችን በተመሳሳይ መመዘኛ ላይ ለማስቀመጥ እና ለማነጻጸር ይረዳል ። ለምሳሌ በተለያዩ መለኪያዎች የተሰበሰቡ መረጃዎችን በቀላሉ ለማነጻጸር የዚ-ውጤት ወሳኝ ሚና አለው።
የፖፑሌሽን እና የሳምፕል ስታንዳርድ ዴቪየሽን ልዩነት
በስታቲስቲክስ ስሌት ውስጥ የትኛውን የስታንዳርድ ዴቪየሽን ቀመር መጠቀም እንዳለብን መለየት መሰረታዊ ተግባር ነው ። ልዩነቱ የሚመነጨው መረጃው የተወሰደበትን አጠቃላይ ስብስብ (Population) ወይም የተወሰነውን ውክልና (Sample) ከመወከሉ ላይ ነው ።
- ፖፑሌሽን (Population ÷ n)፦ ይህ ስሌት ጥቅም ላይ የሚውለው የዳታ ስብስቡ እርስዎ ሊያጠኑት የፈለጉትን አጠቃላይ ቡድን ሙሉ በሙሉ የሚያካትት ሲሆን ነው ። በዚህ ጊዜ ስሌቱ በጠቅላላው የእሴቶች ብዛት (n) ይካፈላል ።
- ሳምፕል (Sample ÷ n − 1)፦ ይህ ስሌት ጥቅም ላይ የሚውለው መረጃው ከትልቅ ቡድን ውስጥ የተወሰደ ውክልና ብቻ ሲሆን እና የዚያን ትልቅ ቡድን ስርጭት ለመገመት ሲፈለግ ነው ። በዚህ ጊዜ በ n - 1 ማካፈል (Bessel's correction) ያስፈልጋል ። ይህ አነስተኛ አካፋይ በሳምፕል መረጃዎች ላይ ሊከሰት የሚችለውን ወደ ታች የማዘንበል ስህተት ያስተካክላል ።
የ Z-Score ፎርሙላ እና የአልጀብራ አወቃቀር
የዚ-ውጤት መሰረታዊ የአልጀብራ ቀመር የሚከተለው ነው፦
z = (x - μ) / (σ)
በዚህ ቀመር ውስጥ አራት ተለዋዋጮች ይገኛሉ፦
- x ፦ እሴት x
- μ ፦ አማካይ μ
- σ ፦ ስታንዳርድ ዴቪየሽን σ
- z ፦ የዚ-ውጤት z
ከእነዚህ አራት ተለዋዋጮች መካከል ማናቸውንም ሶስት እሴቶች በማወቅ አራተኛውን ያልታወቀ እሴት በአልጀብራ ቀመር ማግኘት ይቻላል። ቀመሩን በማስተካከል የሚከተሉትን እሴቶች ማግኘት ይቻላል፦
- እሴት x ለመፈለግ፦ x = μ + z · σ
- አማካይ μ ለመፈለግ፦ μ = x - z · σ
- ስታንዳርድ ዴቪየሽን σ ለመፈለግ፦ σ = (x - μ) / z
ኖርማል ዲስትሪቢዩሽን እና ፕሮባቢሊቲ
የዚ-ውጤት እሴቶች ከስታንዳርድ ኖርማል ከርቭ (Standard Normal Curve) ጋር በቀጥታ ይገናኛሉ። እሴቶቹ ኖርማል ዲስትሪቢዩሽንን ይከተላሉ ብለን ስንገምት፣ የሚከተሉትን የፕሮባቢሊቲ እሴቶች ማስላት ይቻላል፦
- P(X < x)፦ ከአንድ እሴት በታች የመሆን እድል (በስተግራ ያለው ጥላ የተደረገበት ቦታ)።
- P(X > x)፦ ከአንድ እሴት በላይ የመሆን እድል (በስተቀኝ ያለው ቦታ)።
- P(|X − μ| > |x − μ|)፦ ከሁለቱም ጫፎች ውጭ የመሆን እድል (ባለ ሁለት ጫፍ ፕሮባቢሊቲ)።
- የ x ፐርሰንታይል፦ እሴቱ በዲስትሪቢዩሽኑ ውስጥ ከስንት ፐርሰንት በላይ እንደሚገኝ ያሳያል።
ዳታው ኖርማል ዲስትሪቢዩሽንን የማይከተል (የጋደለ) ከሆነ፣ እነዚህ የፕሮባቢሊቲ ግምቶች ከእውነተኛው የዳታ ስርጭት ሊለዩ ይችላሉ ።
የሂሳብ ስሌት ደንቦች እና ልዩ ሁኔታዎች
በስሌት ሂደት ውስጥ የሚከተሉት የደንብ ገደቦች እና የስህተት መልእክቶች ተግባራዊ ይሆናሉ፦
- የዳታ መጠን ገደብ፦ የዳታ ስብስቡ ከ 50,000 እሴቶች በታች መሆን አለበት።
- የአነስተኛ እሴት ገደብ፦ ለሳምፕል ስሌት ቢያንስ 2 እሴቶች ያስፈልጋሉ፤ ካልሆነ
ሳምፕል ቢያንስ 2 እሴቶች ያስፈልጉታል — በአንድ እሴት የ n − 1 አካፋይ ዜሮ ይሆናል።የሚል ስህተት ይታያል። ለፖፑሌሽን ስሌት ቢያንስ 1 እሴት ያስፈልጋል፤ ካልሆነቢያንስ አንድ እሴት ያስገቡ።የሚል መልእክት ይወጣል። - ተመሳሳይ እሴቶች (Zero Variance)፦ በዳታ ስብስብ ውስጥ ያሉት ሁሉም እሴቶች ተመሳሳይ ከሆኑ ስታንዳርድ ዴቪየሽኑ 0 ስለሚሆን በ 0 ማካፈል አይቻልም። በዚህ ጊዜ
ሁሉም እሴቶች ተመሳሳይ ናቸው፣ ስለዚህ ስታንዳርድ ዴቪየሽኑ 0 ነው እና z-scores አልተገለጹም።የሚል ስህተት ይፈጠራል። - የሳመሪ ሞድ ገደቦች፦ በሳመሪ ሞድ ውስጥ በትክክል ሶስት መስኮች መሞላት አለባቸው፤ ካልሆነ
ከአራቱ መስኮች በትክክል አንዱን ባዶ ይተውት።የሚል መልእክት ይታያል። - የስታንዳርድ ዴቪየሽን ገደብ፦ ስታንዳርድ ዴቪየሽን 0 ሊሆን አይችልም (
ስታንዳርድ ዴቪየሽን 0 ሊሆን አይችልም — በ σ ማካፈል አልተገለጸም) እንዲሁም አሉታዊ ሊሆን አይችልም (ስታንዳርድ ዴቪየሽን አወንታዊ መሆን አለበት።)። - የአልጀብራ ህግጋት፦ z = 0 ሆኖ ሳለ x እና μ እኩል ካልሆኑ
ይህንን የሚፈታ ምንም አወንታዊ σ የለም፦ z = 0 ሲሆን፣ እሴቱ ከአማካዩ ጋር እኩል መሆን አለበት።የሚል ስህተት ይወጣል። z = 0 እና x = μ በሚሆንበት ጊዜ ደግሞz = 0 እና x = μ ሲሆን፣ ማንኛውም አወንታዊ σ ይሰራል፣ ስለዚህ σ አንድ ነጠላ መልስ የለውም።የሚል መልእክት ይታያል።
የዳታ ደህንነት እና አሰራር
የእርስዎ ዳታ እና ስሌቶች በዚህ አሳሽ ውስጥ ይቆያሉ እና መቼም ቢሆን አይሰቀሉም። ሁሉም የዳታ ትንተናዎች እና የስሌት ሂደቶች የሚከናወኑት በአካባቢው (በተጠቃሚው የድር አሳሽ ውስጥ) ብቻ ነው። ምንም ዓይነት መረጃ ወደ ውጫዊ ሰርቨር አይላክም።
ተደጋግመው የሚነሱ ጥያቄዎች (FAQ)
ጥያቄ፦ z-scores ዳታዬ በኖርማል ዲስትሪቢዩሽን የተከፋፈለ መሆኑን ይገምታሉ?
መልስ፦ አይደለም። z-score ልኬትን እንደገና ማስተካከል ብቻ ነው — አንድ እሴት ከአማካዩ ስንት ስታንዳርድ ዴቪየሽን ርቆ እንደሚገኝ የሚያሳይ — እና ዜሮ ያልሆነ ስርጭት ላለው ለማንኛውም የዳታ ስብስብ የተገለጸ ነው ። በሳመሪ ሞድ ውስጥ ያሉት ፕሮባቢሊቲዎች ኖርማል ዲስትሪቢዩሽንን የሚገምቱት ክፍል ናቸው፤ ላጋደለ ዳታ ከ z በላይ ያለው እውነተኛ የእሴቶች ድርሻ ከከርቩ ከሚናገረው ሊለይ ይችላል ።
ጥያቄ፦ በ n ፋንታ መቼ ነው በ n − 1 ማካፈል ያለብኝ?
መልስ፦ እሴቶችዎ ከትልቅ ቡድን የተወሰዱ ሳምፕል ሲሆኑ እና የዚያን ቡድን ስርጭት ለመገመት ሲፈልጉ በ n − 1 (የሳምፕል ስታንዳርድ ዴቪየሽን s) ያካፍሉ — አነስተኛው አካፋይ ሳምፕል ያለውን ወደ ታች የማዘንበል ስህተት ያስተካክላል ። ያስገቧቸው እሴቶች እርስዎ የሚፈልጉት አጠቃላይ ቡድን ሲሆኑ በ n (የፖፑሌሽን ስታንዳርድ ዴቪየሽን σ) ያካፍሉ ። እያንዳንዱ እሴት በተመረጠው ስርጭት ስለሚካፈል z-scores ተመሳሳይ ምርጫን ይከተላሉ ።
ጥያቄ፦ እያንዳንዱ እሴት ተመሳሳይ ሲሆን z-scores ለምን አልተገለጹም?
መልስ፦ z-score በስታንዳርድ ዴቪየሽን ያካፍላል ። ተመሳሳይ እሴቶች ምንም ስርጭት የላቸውም፣ ስለዚህ ስታንዳርድ ዴቪየሽኑ 0 ነው እና ማካፈሉ አልተገለጸም — እያንዳንዱ ነጥብ በትክክል አማካዩ ላይ ነው፣ ይህም ምንም ነጠላ የ z እሴት ሊገልጸው አይችልም ። አማካዩ፣ ቫሪያንሱ እና ሌሎች ስታቲስቲክሶች አሁንም በመደበኛነት ይሰላሉ ።