扩展 Bernoulli 方程的机械能平衡
Bernoulli 方程计算器是一个用于求解扩展 Bernoulli 方程的在线工具，可在两个流动截面之间平衡静压、平均流速、高程、泵水头、水轮机水头以及水头损失。该工具允许用户在所有流动参数中选择一个未知量作为求解目标，并输入其余已知的流动条件。
在计算过程中，系统会将所有输入的数值标准化为国际单位制（Pa、m/s、m、kg/m³ 和 m/s²），然后代入水头形式的机械能平衡方程中进行求解。该方程的完整数学表达式为：
P₁/(ρg) + α₁V₁²/(2g) + z₁ + hₚ = P₂/(ρg) + α₂V₂²/(2g) + z₂ + hₜ + hL
式中各物理量定义如下：
- P₁ 和 P₂ 分别为截面 1 和截面 2 的静压。
- V₁ 和 V₂ 分别为两个截面的平均流速。
- z₁ 和 z₂ 分别为两个截面的高程。
- hₚ 为加入的泵水头，hₜ 为输出的水轮机水头，hL 为水头损失。
- ρ 为流体密度，g 为重力加速度。
- α₁ 和 α₂ 分别为截面 1 和截面 2 的动能修正系数。
本工具适用于单一流道上的恒定、近似不可压缩流动。它不计算摩擦或管件损失、泵特性曲线、饱和蒸气压、可压缩性、瞬态或多相流效应。用户需要单独输入这些经核实的水头，保持统一的高程基准和压力基准，并在最终设计中使用更完整的流体动力学模型。
输入参数与数值范围限制
为了确保物理意义的合理性与数值计算的稳定性，计算器对输入的各项参数设定了严格的取值范围。若输入的数据超出以下限制，系统将触发相应的错误提示：
- 有效数字：用于控制输出结果的显示精度。
- 压力基准：可选择“表压”或“绝对压力”。
- 静压（截面 1 与 2）：单位换算后，静压必须保持在 ±10¹⁵ Pa 以内。若压力基准选择“绝对压力”，则静压不能低于零，否则会触发错误提示：“当压力基准为绝对压力时，
‹field›不能低于零。” - 平均流速（截面 1 与 2）：单位换算后，流速必须介于 0 和 1,000,000 m/s 之间。
- 高程（截面 1 与 2）：单位换算后，高程必须保持在 ±10¹² m 以内。
- 加入的泵水头、输出的水轮机水头、水头损失：这些参数必须在其指定方向上以非负值输入（若无该项则输入零）。单位换算后，这些水头参数必须介于 0 和 10¹² m 之间。
- 流体密度：必须大于 0 且不超过 100,000 kg/m³。
- 重力加速度：必须大于 0 且不超过 100,000 m/s²。
- 动能修正系数 α₁ 与 α₂：必须介于 1 和 10 之间。对于近乎均匀的流速分布，请使用 1。仅在已知流速分布的实际值时，才输入其他数值。
能量水头账目与输出结果
计算器在完成求解后，会详细展示能量平衡的各项数据，帮助用户直观地分析流动系统中的能量分布：
- 能量平衡：显示最终的“求解值”。
- 水头账目：
- 压力水头：即 P/(ρg)，表示单位重量流体所具有的静压能。
- 流速水头：即 αV²/(2g)，表示单位重量流体所具有的动能。
- 位置水头：即高程 z，表示单位重量流体因所处位置而具有的势能。
- HGL（水力坡降线）：压力水头与位置水头的总和。
- EGL / 总水头（能量坡降线）：压力水头、流速水头与位置水头的总和。
- 方程残差：用于验证方程两端数值平衡的微小偏差。
- 公式与数值代入：
- 展示标准公式：
P₁/(ρg) + α₁V₁²/(2g) + z₁ + hₚ = P₂/(ρg) + α₂V₂²/(2g) + z₂ + hₜ + hL - 展示截面 1 的能量代入过程：
截面 1 EGL = ‹pressure› + ‹velocity› + ‹elevation› = ‹total› m - 展示截面 2 的能量代入过程：
截面 2 EGL = ‹pressure› + ‹velocity› + ‹elevation› = ‹total› m - 展示整体平衡关系：
平衡关系：‹upstream› + ‹pump› = ‹downstream› + ‹turbine› + ‹loss›；残差 ‹residual› m - 输出最终求解结论：
求得 ‹unknown› = ‹value› ‹unit›
- 展示标准公式：
异常情况与边缘案例处理
在处理极端输入或物理上不成立的边界条件时，计算器会通过特定的算法和提示信息引导用户：
- 大数值抵消敏感性：当方程两边存在极大的能量项且它们几乎完全抵消时，计算器会弹出警告：“较大的能量项几乎相互抵消。显示的答案对输入的微小变化非常敏感；请保留更多测量精度并核实设置。”
- 负表压与汽蚀风险：如果计算出的静压结果为负表压，系统会提示：“结果为负表压。在评估汽蚀风险前，请检查对应的绝对压力和饱和蒸气压。”
- 无实数流速解：若输入的能量平衡条件导致流速的平方项（V²）计算结果为负值，系统将无法进行开方运算，并提示：“输入的能量平衡导致
‹field›² 为负值，因此该设置下无实数流速解。” - 负水头求解冲突：若求解泵水头、水轮机水头或损失水头时得到负值，说明能量流向与设定的物理方向相反，系统会提示：“求解
‹field›得到负水头。请调换截面顺序，或在相反的泵/水轮机方向上对该能量项进行建模。” - 数值溢出与超限：若求解出的参数超出支持的数值范围，会提示：“求解出的
‹field›超出了支持的数值范围。请检查单位和所选的未知量。”；若中间计算步骤发生溢出，则提示：“数值或中间能量项超出了支持的数值范围。”
物理原理与技术参考源
本计算器的理论基础与数值换算标准均来自公认的学术与工程规范：
- 水头形式的机械能平衡：遵循美国 DOE（Department of Energy）出版的《Thermodynamics, Heat Transfer, and Fluid Flow》手册，该手册详细阐述了压力水头、流速水头、位置水头、泵水头以及摩擦水头损失的定义与应用。
- Bernoulli 方程的推导与假设：参考 NASA Glenn 研究中心的《Bernoulli's Equation》项目，该理论指出基本 Bernoulli 方程建立在恒定、无黏性、不可压缩流动的能量守恒基础之上。
- 动能修正系数（α）：参考普渡大学（Purdue University）关于控制体能量方程的教学大纲。在实际管流中，由于流速分布不均匀，需要引入修正系数 α。对于充分发展的层流圆管流动，α = 2；而随着湍流充分发展，流速分布趋于均匀，α 逐渐接近于 1。
- 标准物理常数与单位换算：根据 NIST SP 811（附录 B.8）标准，标准重力加速度取为 9.80665 m/s²，压力换算关系为 1 bar = 100,000 Pa，1 标准大气压 = 101,325 Pa。
本地化数据处理与隐私说明
为了保障用户的数据安全，本工具采用本地化处理机制。您的流动条件和计算结果均保存在此设备上，绝不上传。所有的数值换算、方程求解和结果输出均在您的浏览器内本地运行。
常见问题解答
什么是 α 动能修正系数？
当截面上的流速分布不均匀时，该系数用于修正流速水头项。近乎均匀的湍流分布通常近似取 α = 1，而充分发展的层流圆管流动分布则取 α = 2。请根据实际流速分布使用相应的值，而不要将其中任何一个视为通用值。
水头损失是从哪里来的？
水头损失代表因管路摩擦、管件、阀门、入口、出口及其他实际流动效应而耗散的机械能。本计算器直接使用您输入的值，不会根据管长、粗糙度、管径或流量来推算损失。
我可以使用表压代替绝对压力吗？
可以，因为 Bernoulli 方程使用的是两个截面之间的压力差。两个压力必须使用相同的基准。当您需要计算器拒绝低于完全真空的数值时，请选择绝对压力；在进行汽蚀检查前，必须将表压结果换算为绝对压力。
为什么流速会无实数解？
流速以非负平方项的形式进入方程。如果剩余的压力、高程、泵、水轮机和损失水头要求该平方项为负，则说明所述条件在此模型中无法共存。请检查单位、流动方向和缺失的能量项，而不是对负数求平方根。