投票制度的數學原理與資訊提取
不同的投票制度在處理同一張排序選票時，會提取並加權不同的偏好資訊。這也是為什麼在相同的選民結構下，採用不同的計票規則可能會產生完全不同的當選人。
為了深入理解這些數學差異，我們可以檢視以下五種主要的單一席次計票規則：
- 相對多數制：這是最傳統的投票方式，計票時僅保留選民的第一選擇，並以「第一選擇票數最高者」決定勝出者。此制度完全忽略了選民對其他候選人的次要偏好。
- 即時決選制 (IRV)：這是一種排序複選制，其規則為「每輪淘汰唯一的最低得票候選人後過半數者」。在每一輪中，若無候選人過半，則將得票最少者淘汰，並將其選票轉移給選票上排序次高的候選人，直到有人過半為止。
- 波達計數法：此方法為每位候選人在選票上的每個排序位置賦予不同的分數，以「所有排序累計得分最高者」為贏家。這種方式能完整反映選民對所有候選人的整體滿意度。
- 同意投票制：在排序選票的脈絡下，此制度必須設定一個門檻，由使用者選定前幾名，並以該範圍內出現次數最多者當選。
- 柯普蘭 / 兩兩對決：這是一種基於孔多塞標準的計票方式，其規則為「兩兩對決每勝出一次得 1 分，平手得 0.5 分」，最後由累計得分最高者勝出。
模擬選舉情境的輸入規範
在使用投票制度比較器時，使用者必須提供精確的候選人與選票資料，以確保計算的準確性。系統設有以下輸入限制與規則：
候選人名單
- 候選人數量必須介於 2 到 8 位之間。
- 每行輸入一位唯一的候選人，姓名長度請限制在 40 個字元以內。
- 候選人姓名必須唯一，大小寫不同亦視為重複。
- 候選人姓名不能包含冒號或大於符號。
分組排序選票
- 分組排序選票每行代表一組相同偏好的選民，格式必須類似「45: Cedar > Harbor > Summit」。
- 冒號前必須輸入一個整數得票數，且每行必須包含 1 到 1,000,000 張選票。
- 每行選票必須將每位候選人恰好排序一次，不可重複排序相同的候選人，亦不可包含不在候選人名單中的姓名。
- 請使用不超過 200 行分組選票，且總得票數必須限制在 10,000,000 張以下。
- 貼上的情境資料過大時，系統會拒絕處理。請將合併輸入限制在 100 KB 以下。
同意門檻
- 同意門檻僅適用於同意投票制比較。使用者必須選擇一個介於 1 與候選人總數之間的數值，代表每張選票皆同意其前 N 名候選人。
投票制度比較與計分審計
當輸入正確的資料後，系統會即時呈現情境結果，顯示如「100 張選票 · 5 種投票制度 · 3 位不同的贏家」等摘要資訊。
投票制度比較
系統會透過表格呈現五種投票制度的比較，包含以下欄位：
- 投票制度：顯示「相對多數制」、「即時決選制 (IRV)」、「波達計數法」、「同意投票制」與「柯普蘭 / 兩兩對決」。
- 結果：顯示贏家姓名，若有平手則顯示「平手：
Cedar, Harbor」。 - 計票方式：說明該制度的計票規則。
計分審計
為了讓計算過程透明化，計分審計表格提供了詳細的得分拆解：
- 候選人
- 第一選擇（對應相對多數制）
- 波達計分
- 同意票數
- 柯普蘭計分
即時決選制 (IRV) 輪次與兩兩對決矩陣
對於較為複雜的即時決選制與柯普蘭制，系統提供了逐步的分析步驟。
IRV 輪次
在IRV 輪次表格中，使用者可以追蹤每一輪的淘汰與轉移過程：
- 輪次
- 有效第一選擇票數
- 決策：顯示該輪的具體動作，例如「淘汰
Cedar」、「Cedar達到過半所需的51票」、「所有剩餘的候選人平手」，或「停止：最低得票由Cedar, Harbor平手」。若在淘汰過程中出現無法解決的平手，系統會顯示「未解決的淘汰平手：Cedar, Harbor」並停止計算。
兩兩對決矩陣
在兩兩對決矩陣中，每個儲存格代表將「列候選人」排在「行候選人」之前的選民人數。此矩陣能幫助使用者判斷是否存在孔多塞贏家。若存在，系統會標註「同時在兩兩對決中擊敗所有對手」；若不存在，則會顯示「沒有候選人在兩兩對決中擊敗所有對手。」。
數學公式與變數定義
本工具在公式與變數區域中，使用以下標準數學公式進行計算：
- 相對多數制： P(c) = Σ count_b · 1[first_b = c]
- 即時決選制 (IRV)： V(c) > V ÷ 2
- 波達計數法： B(c) = Σ count_b · (m − rank_b(c))
- 同意投票制： A(c) = Σ count_b · 1[rank_b(c) ≤ k]
- 柯普蘭 / 兩兩對決： C(c) = W(c) + 0.5 × T(c)
變數說明
- b — 一組分組選票；count_b 為其選民人數
- c — 正在計票的候選人
- k — 上方選擇的同意門檻
- m — 候選人總數
- rank_b(c) — 候選人 c 在選票 b 上的排序位置，從 1 開始
- V — 當前 IRV 輪次中的有效票數；V(c) 為候選人 c 的有效票總數
- W(c) 與 T(c) — 候選人 c 的兩兩對決勝出與平手次數
隱私與本地端處理說明
本工具充分保障使用者的資料隱私。所有的候選人姓名與選票資料均保留在您的瀏覽器中，計算過程完全在本地端完成，絕不會被上傳或儲存至任何外部伺服器。
常見問題
相同的排序選票真的會產生不同的贏家嗎？
可以。每種規則使用的資訊不同：相對多數制僅保留第一選擇，波達計數制使用所有排序，IRV 在淘汰後轉移選票，而兩兩對決比較則是每次比較兩位候選人。本範例計算經過特別設計，以便能清楚呈現並追蹤這些差異。
如何將同意投票制與排序選票進行比較？
排序選票並未標示同意的界線。因此，本工具使用您選擇的門檻：前 1 名、前 2 名等。該假設僅適用於同意投票制欄位，並顯示於其結果旁。
柯普蘭贏家一定是孔多塞贏家嗎？
否。孔多塞贏家必須在兩兩對決中擊敗所有其他對手，但由於偏好可能形成循環，因此可能並不存在孔多塞贏家。柯普蘭制仍會針對兩兩對決的勝出與平手給予評分；其最高分會單獨報告，且可能出現平手。
我可以使用此工具來認證正式的選舉結果嗎？
否。本比較器使用完整的嚴格排序、單一席次，以及平手即停止的 IRV 規則。選舉法規與組織章程對於廢票、跳過排序、寫入候選人、平手遞補、驗票及多席次轉移的規定可能有所不同。