Bernoulli 方程計算器

延伸 Bernoulli 方程的機械能平衡

Bernoulli 方程計算器是一個實用的線上工具，用於求解延伸 Bernoulli 方程，以平衡流動路徑上兩個截面之間的壓力、流速、海拔高度、泵水頭、渦輪水頭及水頭損失。在流體力學中，此方程是分析沿單一流動路徑之穩定、近似不可壓縮流的核心工具。

本工具允許使用者在多個流動參數中選擇一個作為未知量進行求解，並輸入其餘已知的流動條件。計算器會將所有輸入數值標準化，並詳細列出每個能量項、單位換算以及能量平衡的代入步驟。

其核心計算基於以下水頭形式的機械能平衡公式：

P₁/(ρg) + α₁V₁²/(2g) + z₁ + hₚ = P₂/(ρg) + α₂V₂²/(2g) + z₂ + hₜ + hL

此方程遵循美國能源部（DOE）的《Thermodynamics, Heat Transfer, and Fluid Flow》手冊，將各項能量以長度（水頭，單位為米）的形式進行量度與相加。

使用者必須為以下參數輸入數值，並選擇其中一個作為「求解目標」：

有效數字：設定輸出結果的顯示精度。
壓力基準：可選擇「錶壓」或「絕對壓力」。
截面 1（所選流動路徑上的上游狀態）與 截面 2（同一流動路徑上的下游狀態）：
- 靜壓：單位換算後，數值必須保持在 ±10¹⁵ Pa 以內。若壓力基準選擇「絕對壓力」，則數值不能低於零。
- 平均流速：單位換算後，必須介乎 0 至 1,000,000 m/s 之間。
- 海拔高度：單位換算後，必須保持在 ±10¹² m 以內。
截面之間（按指定方向輸入非負水頭，若無該項目則輸入零）：
- 加入的泵水頭：單位換算後，必須介乎 0 至 10¹² m 之間。
- 輸出的渦輪水頭：單位換算後，必須介乎 0 至 10¹² m 之間。
- 水頭損失：單位換算後，必須介乎 0 至 10¹² m 之間。
流體與模型條件：
- 流體密度：必須大於 0 且不超過 100,000 kg/m³。
- 重力加速度：必須大於 0 且不超過 100,000 m/s²。標準重力加速度常取 9.80665 m/s²。
- 截面 1 動能修正係數 α₁ 與 截面 2 動能修正係數 α₂：必須介乎 1 至 10 之間。若流速分佈接近均勻，請使用 1。

計算完成後，工具會輸出「求解值」並顯示詳細的能量平衡報告：

水頭清單：
- 壓力水頭（P/(ρg)）
- 流速水頭（αV²/(2g)）
- 位置水頭（z）
- HGL（水力坡度線，即壓力水頭與位置水頭之和）
- EGL / 總水頭（能量坡度線，即壓力水頭、流速水頭與位置水頭之總和）
- 方程殘差：驗證方程兩側平衡的剩餘誤差。
公式與代入：
- 顯示標準公式：P₁/(ρg) + α₁V₁²/(2g) + z₁ + hₚ = P₂/(ρg) + α₂V₂²/(2g) + z₂ + hₜ + hL
- 列出 截面 1 EGL = ‹pressure› + ‹velocity› + ‹elevation› = ‹total› m
- 列出 截面 2 EGL = ‹pressure› + ‹velocity› + ‹elevation› = ‹total› m
- 顯示平衡關係：平衡：‹upstream› + ‹pump› = ‹downstream› + ‹turbine› + ‹loss›；殘差 ‹residual› m
- 輸出最終解答：‹unknown› = ‹value› ‹unit›

在特定的物理或數值邊界下，計算器會觸發相應的提示或錯誤訊息：

流速水頭平衡為零：流速水頭平衡在數值上為零，因此求解出的流速顯示為 0。系統會顯示警告訊息：「流速水頭平衡在數值上為零，因此求解出的流速顯示為 0。」
極大項抵消：當兩側極大的能量項幾乎互相抵消時，會顯示「極大的能量項幾乎互相抵消。顯示的答案對輸入的微小變化非常敏感；請保持更高的測量精度並驗證配置。」
負錶壓警告：若計算出的壓力為負錶壓，會顯示「結果為負錶壓。在評估空蝕風險前，請檢查相應的絕對壓力和飽和蒸汽壓。」
無實數流速解：若輸入的能量平衡使流速平方項出現負值，會顯示「輸入的能量平衡使 ‹field›² 出現負值，因此在此配置下沒有實數流速解。」
負水頭求解：若求解出的泵、渦輪或損失水頭為負值，會顯示「求解 ‹field› 得出負水頭。請反轉截面，或在相反的泵／渦輪方向上模擬該能量。」
數值超限：若求解值超出範圍，會顯示「求解出的 ‹field› 超出支援的數值範圍。請檢查單位和所選的未知量。」；若中間項溢位，則顯示「數值或中間能量項超出了支援的數值範圍。」

本工具的計算完全在用戶端進行。您的流動條件和計算結果均保留在此裝置中，絕不上傳。所有處理均在瀏覽器內本地完成。

當截面上的流速分佈不均勻時，該係數用於修正流速水頭項。接近均勻的紊流分佈通常近似為 α = 1，而完全發展的圓管層流分佈則為 α = 2。請根據實際流速分佈使用相應的數值，而非將兩者視為通用常數。

水頭損失代表因管道摩擦、配件、閥門、入口、出口及其他實際流動效應而耗散的機械能。此計算器使用您輸入的數值，不會從管道長度、粗糙度、管徑或流量中推導損失。

可以，因為 Bernoulli 方程使用的是兩個截面之間的壓力差。兩個壓力必須使用相同的基準。若需要計算器拒絕低於完全真空的數值，請選擇絕對壓力；在進行空蝕檢查前，必須將錶壓結果轉換為絕對壓力。

流速以非負的平方項引入方程。若剩餘的壓力、海拔、泵、渦輪和損失水頭要求該平方項為負值，則所述條件在此模型中無法共存。請檢查單位、流動方向和缺失的能量項，而不是對負數求平方根。