பூலியன் இயற்கணிதச் சுருக்கம் மற்றும் அதன் செயல்பாடுகள்
பூலியன் இயற்கணிதச் சுருக்கி (Boolean Algebra Simplifier) என்பது எந்தவொரு பூலியன் கோவையையும் அதன் மிக எளிய கணித வடிவங்களுக்கு மாற்றும் ஒரு இலவச ஆன்லைன் கருவியாகும். பயனர் ஒரு பூலியன் கோவையை உள்ளீட்டுப் பெட்டியில் தட்டச்சு செய்தவுடன் அல்லது ஒட்டும்போது, இக்கருவி உடனடியாகக் கணக்கிட்டு, குறைந்தபட்ச பெருக்கல்களின் கூடுதல் (SOP) மற்றும் குறைந்தபட்ச கூட்டல்களின் பெருக்கல் (POS) ஆகிய இரண்டு வடிவங்களையும் ஒரே நேரத்தில் காட்டுகிறது.
இவற்றுடன், Quine–McCluskey முறையைப் பயன்படுத்தி இந்தச் சுருக்கம் எவ்வாறு சாத்தியமானது என்பதற்கான படிப்படியான விளக்கத்தையும், அனைத்து முதன்மை உட்படுத்திகளையும் (prime implicants) பட்டியலிட்டு, அசல் கோவையுடன் சுருக்கப்பட்ட முடிவை ஒப்பிட்டுச் சரிபார்க்கும் வரிசை வாரியான உண்மை அட்டவணையையும் (truth table) இது வழங்குகிறது.
கோவைகள் இந்த உலாவியிலேயே சுருக்கப்படுகின்றன, அவை ஒருபோதும் உங்கள் சாதனத்தை விட்டு வெளியேறாது. இதனால் தரவு செயலாக்கம் முற்றிலும் பயனரின் கணினியிலேயே நிகழ்கிறது.
உள்ளீட்டு வடிவங்கள் மற்றும் கட்டுப்பாடுகள்
இக்கருவி பல்வேறு வகையான குறியீட்டு முறைகளை ஏற்றுக்கொள்கிறது, இதனால் பொறியியல், கணினி அறிவியல் மற்றும் தர்க்கவியல் துறைகளைச் சேர்ந்தவர்கள் தங்களுக்குப் பழக்கமான குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தலாம்.
ஏற்றுக்கொள்ளப்படும் வடிவங்கள்
மாறிகளை ஒற்றை எழுத்துகளாக எழுத வேண்டும். வெவ்வேறு செயலிகளை எழுதப் பின்வரும் குறியீடுகள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன:
- AND: மாறிகளை இடைவெளியின்றி எழுதுதல் (எ.கா:
AB),A·B,A*B,A AND B,A && Bஅல்லது தர்க்கக் குறியீடுகள்.ABCபோன்ற பல எழுத்துத் தொடர்கள்A AND B AND Cஎனக் கருதப்படும். - OR:
A + B,A OR B,A || Bஅல்லது தர்க்கக் குறியீடுகள். - NOT:
A',!A,NOT A,¬Aஅல்லது பிரைம் குறியீடு. - XOR:
A ^ B,A XOR B,A ⊕ B. - NAND:
A NAND B,⊼. - NOR:
A NOR B,⊽. - மாறிலிகள்:
0மற்றும்1ஆகிய மாறிலிகள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன.
உள்ளீட்டு வரம்புகள்
- அதிகபட்சமாக 6 வெவ்வேறு மாறிகள் மட்டுமே அனுமதிக்கப்படும்.
- உள்ளீட்டு கோவை 2,000 எழுத்துகளுக்குள் இருக்க வேண்டும்.
பயனர்கள் எளிதாகப் புரிந்துகொள்ள "உறுப்புகளை இணைத்தல்" (consensus உதாரணம்), "எதிர்மறைப் பெருக்கல்" (De Morgan's உதாரணம்) மற்றும் "மூன்று வழி XOR" ஆகிய மாதிரி குறுக்குவழிகள் வழங்கப்பட்டுள்ளன. உள்ளீட்டை முழுமையாக நீக்க "அழி" என்ற பொத்தான் பயன்படுகிறது.
Quine–McCluskey வழிமுறையும் சுருக்க விளக்கமும்
பூலியன் கோவைகளைச் சுருக்கும்போது, மனிதர்கள் பொதுவாக 4 மாறிகள் வரை கார்டினோ வரைபடங்களை (K-maps) பயன்படுத்துகின்றனர். ஆனால் மாறிகளின் எண்ணிக்கை 5 அல்லது 6 ஆக உயரும்போது, கைமுறையாகச் சுருக்குவது கடினமாகிறது. 6 மாறிகள் கொண்ட ஒரு கோவைக்கு 64 வரிசைகள் கொண்ட உண்மை அட்டவணை தேவைப்படுகிறது, இதுவே மனிதர்கள் படித்துச் சரிபார்க்கக்கூடிய இறுதி எல்லையாகும்.
இக்கருவி "Quine–McCluskey, துல்லியமான குறைந்தபட்சக் கவர்" முறையைப் பயன்படுத்துகிறது. இது ஒரு தோராய முறை அல்ல, மாறாக முறையான கணித வழிமுறை என்பதால் எப்போதும் துல்லியமான குறைந்தபட்ச வடிவத்தையே வழங்கும்.
சுருக்கப்படும் படிநிலைகள்:
- மாறிகள் மற்றும் உண்மை அட்டவணை: கோவை எத்தனை மாறிகளைப் பயன்படுத்துகிறது என்பதைப் பொறுத்து உண்மை அட்டவணையின் வரிசைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, "இக்கோவை
‹count›மாறிகளை (‹variables›) பயன்படுத்துகிறது, எனவே உண்மை அட்டவணை‹rows›வரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது.". - மின்டெர்ம்கள் மற்றும் மேக்ஸ்டெர்ம்கள்: கோவை எந்தெந்த வரிசைகளில் 1 மற்றும் 0 மதிப்புகளைப் பெறுகிறது என்பது கண்டறியப்படுகிறது. இது "Σm(
‹minterms›) வரிசைகளில் 1-க்கும், ΠM(‹maxterms›) வரிசைகளில் 0-க்கும் சமமாக இருக்கும்.". - முதன்மை உட்படுத்திகள்: அருகிலுள்ள 1-வரிசைகளை இயன்றவரை இணைத்த பிறகு எஞ்சியிருக்கும் முதன்மை உட்படுத்திகள் பட்டியலிடப்படுகின்றன.
- அத்தியாவசிய முதன்மை உட்படுத்திகள்: குறைந்தபட்சம் ஒரு 1-வரிசையையாவது கவர் செய்யக்கூடிய தனித்துவமான முதன்மை உட்படுத்திகள் கண்டறியப்படுகின்றன.
- கவர் செய்யப்படாத வரிசைகள்: எஞ்சியிருக்கும் வரிசைகள் மிகக் குறைந்த கூடுதல் உறுப்புகளுடன் நிறைவு செய்யப்படுகின்றன.
- POS வடிவம்: 0-வரிசைகளில் இதே இணைப்பை மேற்கொள்வதன் மூலம் குறைந்தபட்ச கூட்டல்களின் பெருக்கல் வடிவம் பெறப்படுகிறது.
வெளியீட்டுத் தரவுகள் மற்றும் கண்டறிதல்
சுருக்கம் வெற்றிகரமாக முடிந்ததும், பின்வரும் விவரங்கள் "ஒரு பார்வையில்" என்ற கண்டறியும் பலகத்தில் காட்டப்படும்:
- மாறிகள்: கண்டறியப்பட்ட மாறிகளின் பட்டியல்.
- 1-க்குச் சமமான வரிசைகள்: மின்டெர்ம்களின் எண்ணிக்கை.
- முதன்மை உட்படுத்திகள் (Prime implicants): கண்டறியப்பட்ட மொத்த முதன்மை உட்படுத்திகளின் எண்ணிக்கை.
- அத்தியாவசிய முதன்மை உட்படுத்திகள் (Essential prime implicants): அத்தியாவசியமான உட்படுத்திகளின் எண்ணிக்கை.
- எழுத்துருக்கள், மாற்றத்திற்கு முன் → பின்: சுருக்கத்திற்கு முன்னும் பின்னும் உள்ள எழுத்துருக்களின் (literals) எண்ணிக்கை.
- முறை: பயன்படுத்தப்பட்ட வழிமுறை ("Quine–McCluskey, துல்லியமான குறைந்தபட்சக் கவர்").
முடிவுகளை நகலெடுக்க "முடிவை நகலெடு" என்ற பொத்தான் உள்ளது.
பிழைச் செய்திகள் மற்றும் விளிம்பு நிலைகள்
பயனரின் உள்ளீட்டில் தவறுகள் இருந்தால், கருவி பின்வரும் பிழைச் செய்திகளைக் காட்டும்:
- உள்ளீடு காலியாக இருக்கும்போது: "ஒரு பூலியன் கோவையை உள்ளிடவும்.".
- 2,000 எழுத்துகளுக்கு மேல் இருந்தால்: "கோவையை 2,000 எழுத்துகளுக்குள் வைத்திருக்கவும்.".
- தவறான குறியீடு இருந்தால்: ""
‹char›" (இடம்‹position›) என்பது ஒரு பூலியன் செயலி, மாறி அல்லது மாறிலி அல்ல.". - செயலிக்குரிய செயலேற்பி விடுபட்டிருந்தால்: "இடம்
‹position›அருகே செயலிக்குரிய செயலேற்பி விடுபட்டுள்ளது — தொங்கிக்கொண்டிருக்கும் +, · அல்லது ⊕ உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும்.". - அடைப்புக்குறிகள் தவறாக இருந்தால்: "அடைப்புக்குறிகள் சமமாக இல்லை — ஒரு அடைப்புக்குறியைச் சேர்க்கவும் அல்லது நீக்கவும்.".
- 6 மாறிகளுக்கு மேல் இருந்தால்: "இந்தக் கோவை
‹count›வெவ்வேறு மாறிகளைப் பயன்படுத்துகிறது; இந்தச் சுருக்கி 6 மாறிகள் வரை மட்டுமே ஆதரிக்கும்.".
விளிம்பு நிலைகள்:
- ஏற்கனவே சுருக்கப்பட்ட கோவை: உள்ளீடு ஏற்கனவே சுருங்கிய வடிவில் இருந்தால், "உங்கள் கோவை ஏற்கனவே குறைந்தபட்ச பெருக்கல்களின் கூடுதல் வடிவத்தில் தான் உள்ளது." என்று காட்டும்.
- மாறிலி 1 (Tautology): கோவை எப்போதும் 1 ஆக இருந்தால், "இந்தக் கோவை எப்போதும் 1 ஆகும்: மதிப்புகளின் ஒவ்வொரு சேர்க்கையும் இதை உண்மையாக்கும்." என்ற செய்தி தோன்றும்.
- மாறிலி 0 (Contradiction): கோவை எப்போதும் 0 ஆக இருந்தால், "இந்தக் கோவை எப்போதும் 0 ஆகும்: மதிப்புகளின் எந்தவொரு சேர்க்கையும் இதை உண்மையாக்காது." என்ற செய்தி தோன்றும்.
அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள் (FAQ)
கேள்வி: அதிகபட்சமாக 6 மாறிகள் மட்டுமே ஆதரிக்கப்படுவது ஏன்?
பதில்: ஆறு மாறிகளே ஏற்கனவே 64-வரிசைகள் கொண்ட உண்மை அட்டவணையை உருவாக்குகின்றன, இது கைமுறையாகப் படித்துச் சரிபார்க்கக்கூடிய எல்லையாகும். அதற்கு மேல், கோட்பாட்டளவில் சுருக்குதல் தொடர்ந்து செயல்படும் என்றாலும், இந்தப் பக்கத்தின் அடிப்படையான வழிமுறையும் அட்டவணையும் ஆதாரமாகப் பயன்படாமல் போகின்றன. கூடுதல் மாறிகளைக் கொண்ட செயல்பாடுகளுக்கு கோப்பு வெளியீட்டுடன் கூடிய லாஜிக்-டிசைன் மென்பொருளே மிகவும் பொருத்தமானது.
கேள்வி: குறைந்தபட்ச வடிவம் எவ்வாறு கண்டறியப்படுகிறது?
பதில்: இந்தக் கருவி முழு உண்மை அட்டவணையை உருவாக்கி, அருகிலுள்ள 1-வரிசைகளை முதன்மை உட்படுத்திகளாக (Quine–McCluskey முறை) இணைத்து, அத்தியாவசியமானவற்றைத் தக்கவைத்து, மீதமுள்ள வரிசைகளைத் துல்லியமான குறைந்தபட்சக் கவர் மூலம் நிறைவு செய்கிறது. இந்த முடிவு பெருக்கல்களின் கூடுதல் (SOP) வடிவத்திற்குத் துல்லியமான குறைந்தபட்ச வடிவமாக இருக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது — இது ஒரு தோராய முறை (heuristic) அல்ல — மேலும் 0-வரிசைகளில் இதே செயல்முறையை மேற்கொள்வதன் மூலம் கூட்டல்களின் பெருக்கல் வடிவம் பெறப்படுகிறது.
கேள்வி: கோவையை எழுத எந்தெந்த முறைகள் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன?
பதில்: அனைத்து பொதுவான மரபுகளும் தாராளமாகக் கலந்து பயன்படுத்தப்படலாம்: பொறியியல் முறை (AB + A'C, மறைமுக AND மற்றும் NOT-க்கான பிரைம் குறியீட்டுடன்), நிரலாக்க முறை (A &&!B || C, A ^ B), தர்க்கக் குறியீடுகள் (¬ ∧ ∨ ⊕ ⊼ ⊽) மற்றும் எளிய சொற்கள் (A AND B OR NOT C, NAND, NOR). ABC போன்ற பல எழுத்துத் தொடர்கள் A AND B AND C என்பதைக் குறிக்கும், மேலும் AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR ஆகிய சொற்கள் எப்போதும் செயலிகளாகவே படிக்கப்படும்.
கேள்வி: SOP மற்றும் POS முடிவுகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு என்ன?
பதில்: இரண்டும் ஒரே செயல்பாட்டையே விவரிக்கின்றன. பெருக்கல்களின் கூடுதல் (SOP) என்பது AB' + BC போன்ற AND-உறுப்புகளை ஒன்றாக OR செய்கிறது, மேலும் இது நேரடியாக AND–OR சுற்றுகளுடன் பொருந்துகிறது; கூட்டல்களின் பெருக்கல் (POS) என்பது (A + B)(B' + C) போன்ற OR-காரணிகளை ஒன்றாக AND செய்கிறது, மேலும் இது OR–AND சுற்றுகளுடன் பொருந்துகிறது. செயல்பாட்டைப் பொறுத்து, ஒரு வடிவத்திற்கு மற்றொன்றை விடக் குறைவான வாயில்கள் (gates) தேவைப்படலாம், எனவே இந்தக் கருவி எப்போதும் இரண்டையும் காட்டுகிறது.