Lineaire regressie calculator

De wiskundige basis van de kleinste-kwadratenmethode

De lineaire regressie calculator gebruikt de methode van de gewone kleinste kwadraten (ordinary least squares, OLS) om de best passende rechte lijn door een verzameling gepaarde gegevenspunten te trekken. Deze methode minimaliseert de som van de gekwadrateerde verticale afstanden (de residuen) tussen de waargenomen y-waarden en de voorspelde waarden op de lijn.

Om numerieke precisie te waarborgen bij sterk uiteenlopende grootten, berekent de calculator de sommen rond de gemiddelden in twee afzonderlijke stappen met gecompenseerde sommatie. De berekening verloopt via de volgende stappen en formules:

• Spreiding en samenhang:
  • Sxx = Σ(xᵢ − x̄)²
  • Syy = Σ(yᵢ − ȳ)²
  • Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
• Richtingscoëfficiënt b: b = Sxy ÷ Sxx
• Snijpunt a: a = ȳ − b·x̄

Hierbij zijn x̄ en ȳ de rekenkundige gemiddelden van respectievelijk de x- en y-waarden. De resulterende regressielijn wordt beschreven door de vergelijking ŷ = a + b·x.

Interpretatie van de regressiecoëfficiënten

De calculator vat de berekende regressielijn samen met twee kerncijfers die de relatie tussen de variabelen beschrijven:

• Richtingscoëfficiënt b: Dit getal geeft de helling van de lijn weer. De praktische betekenis hiervan is: "Gemiddeld verandert y met ‹slope› voor elke toename van x met 1.".
• Snijpunt a: Dit is de y-intercept. De betekenis hiervan is: "Waar x 0 is, ligt de lijn op y = ‹intercept›.".

Wanneer er exact twee gegevenspunten worden ingevoerd, kan de lijn perfect tussen deze twee punten worden getrokken. In dat geval toont de calculator de statusmelding: "Twee punten bepalen de lijn exact, waardoor er geen gegevens overblijven om de onzekerheid te schatten.". Als alle ingevoerde punten exact op één lijn liggen, is er geen sprake van variatie rond de lijn. De calculator geeft dan de melding: "De punten liggen exact op de lijn, waardoor er geen residu-spreiding is en er geen intervallen of p-waarden kunnen worden geschat.".

Correlatie r en verklaarde variantie R²

Om te beoordelen hoe goed de lijn aansluit bij de gegevens, berekent de tool verschillende statistieken voor de modelpassing:

• Correlatie r: De correlatiecoëfficiënt r geeft de richting en de sterkte van de lineaire samenhang weer. Deze wordt berekend als r = Sxy ÷ √(Sxx·Syy), wat equivalent is aan √R² waarbij het teken van de richtingscoëfficiënt (b) behouden blijft.
• R²: De coëfficiënt van de verklaarde variantie (R²) geeft aan welk deel van de totale variatie in de afhankelijke variabele wordt verklaard door het model. De formule hiervoor is R² = SSR ÷ SST, waarbij SST = Syy en SSR = SST − SSE.
• Aangepaste R²: Deze gecorrigeerde waarde houdt rekening met het aantal vrijheidsgraden en wordt berekend als 1 − (1 − R²)(n − 1) ÷ (n − 2).
• Spreiding van residuen s: Dit is de standaardfout van de schatting, berekend als s = √MSE, waarbij MSE = SSE ÷ (n − 2).

Als alle y-waarden identiek zijn, is de regressielijn volledig vlak en is er geen sprake van variabiliteit. De calculator toont dan de statusmelding: "Elke y-waarde is gelijk, waardoor de lijn vlak is en r, R² en de significantietoets ongedefinieerd zijn.".

Hypothesetoetsing en de variantieanalyse (ANOVA)

De calculator voert een statistische toets uit om te bepalen of de richtingscoëfficiënt b significant verschilt van nul. De resultaten hiervan worden gepresenteerd in de tabel "Coëfficiënten" en de tabel "Variantieanalyse".

De standaardfout van de richtingscoëfficiënt wordt berekend als SE(b) = s ÷ √Sxx. De t-statistiek is de verhouding tussen de schatting en de standaardfout: t = b ÷ SE(b). De tweezijdige p-waarde wordt berekend met de regulariseerde incomplete bètafunctie op basis van n − 2 vrijheidsgraden. Omdat er bij enkelvoudige lineaire regressie slechts één verklarende variabele is, is de F-waarde uit de ANOVA-tabel gelijk aan het kwadraat van de t-statistiek (F = t²). Beide toetsen leveren daardoor exact dezelfde p-waarde op.

De tabel "Variantieanalyse" splitst de totale variatie op in twee delen:

1. Verklaard door de lijn (regressie, met df = 1).
2. Residueel (onverklaard) (residuen, met df = n − 2).
3. Totaal (met df = n − 1).

Betrouwbaarheidsintervallen en voorspellingen

Wanneer u specifieke x-waarden invoert bij "Voorspel y bij x", berekent de tool de voorspelde waarde ŷ₀ = a + b·x₀ en twee verschillende intervallen op basis van het gekozen betrouwbaarheidsniveau (90%, 95% of 99%):

• Gemiddelde ‹level›%: Dit betrouwbaarheidsinterval schat de onzekerheid van de gemiddelde respons op de lijn. De standaardfout hiervoor is s · √(1÷n + (x₀ − x̄)² ÷ Sxx).
• Individueel ‹level›%: Dit voorspellingsinterval schat de spreiding van een enkele nieuwe toekomstige waarneming. De standaardfout hiervoor is s · √(1 + 1÷n + (x₀ − x̄)² ÷ Sxx). Omdat deze formule rekening houdt met zowel de onzekerheid van de lijn als de inherente spreiding van de individuele punten (de extra 1 onder het wortelteken), is het individuele interval altijd breder dan het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

Beide intervallen worden breder naarmate de waarde x₀ zich verder verwijdert van het gemiddelde x̄. Als een ingevoerde x-waarde buiten het bereik van de oorspronkelijke dataset valt, toont de calculator de waarschuwing "buiten de gegevens" met de opmerking: "Gemarkeerde rijen gebruiken een x-waarde buiten het bereik van je ingevoerde gegevens, wat betekent dat de lijn wordt doorgetrokken buiten de feitelijke waarnemingen.".

Gebruik van de calculator en gegevensinvoer

De calculator verwerkt gegevens direct tijdens het typen of plakken; er is geen berekeningsknop aanwezig. U kunt kiezen uit twee indelingen voor de invoer:

1. Gepaarde rijen: Voer één x- en y-waarde per rij in, gescheiden door een spatie of een scheidingsteken. Als u gegevens kopieert uit een spreadsheet, kunt u de kolommen inclusief de koprij direct plakken. Een eerste rij waarvan beide waarden niet-numeriek zijn, wordt automatisch herkend als koprij en overgeslagen.
2. Twee lijsten: Voer de x-waarden en y-waarden in twee afzonderlijke invoervelden in.

De calculator ondersteunt zowel de punt (bijv. 12.5) als de komma (bijv. 12,5) als decimaal scheidingsteken. Bij gebruik van de punt als decimaal scheidingsteken moeten de waarden in de lijsten worden gescheiden door spaties, komma's of nieuwe regels. Bij gebruik van de komma als decimaal scheidingsteken dient u spaties, puntkomma's of nieuwe regels als scheidingsteken te gebruiken.

Invoerlimieten en foutmeldingen

• Minimale omvang: Minimaal 2 punten. Bij minder punten verschijnt de foutmelding: "Voer minimaal 2 punten in; één punt kan geen lijn definiëren.".
• Maximale omvang: Maximaal 50.000 punten en 1 MB aan geplakte tekst. Bij overschrijding verschijnt: "Houd de gegevens onder de ‹max› punten.".
• Voorspellingen: Maximaal 50 waarden tegelijk. Bij overschrijding verschijnt: "Voorspel maximaal ‹max› waarden tegelijk.".
• Gelijke lijstlengte: Bij de indeling met twee lijsten moeten beide invoervelden evenveel waarden bevatten. Is dit niet het geval, dan verschijnt de foutmelding: "Er zijn ‹countX› x-waarden en ‹countY› y-waarden — de lijsten moeten even lang zijn.".
• Verticale lijn: Als alle x-waarden identiek zijn, zou de regressielijn verticaal lopen, wat leidt tot een deling door nul. De berekening stopt dan met de foutmelding: "Elke x-waarde is gelijk, waardoor de lijn verticaal zou zijn en de richtingscoëfficiënt door nul zou delen.".
• Ongeldige invoer: Als er niet-numerieke tekens worden ingevoerd, toont de calculator specifieke foutmeldingen zoals "“‹token›” is geen getal (rij ‹position›).", "“‹token›” is geen getal (waarde ‹position›)." of "Voorspellingen accepteren alleen getallen; “‹token›” is geen getal.". Bij een onvolledig paar in de rij-indeling verschijnt: "Rij ‹position› vereist exact twee getallen: eerst x, dan y.". Bij een numerieke overschrijding verschijnt: "Een waarde of tussenresultaat overschrijdt het ondersteunde getallenbereik.".

Privacy en verwerking

Alle ingevoerde gegevens en berekende statistieken worden lokaal binnen de webbrowser van de gebruiker verwerkt. Er vindt geen overdracht of upload van gegevens naar een externe server plaats.

---

Veelgestelde vragen

Maakt het uit welke kolom ik in x zet?

Ja. De kleinste-kwadratenmethode minimaliseert de verticale afwijkingen, dus y wordt behandeld als de te verklaren variabele en x als de verklarende variabele. Als je ze omdraait, krijg je een andere richtingscoëfficiënt en een ander snijpunt — alleen r en R² blijven gelijk. Zet de variabele die je wilt voorspellen in y; als de kolommen verkeerd om staan, wisselt de omwisselknop ze direct om.

Wat vertelt R² mij nu werkelijk?

R² is het deel van de totale variatie in y dat door de lijn wordt verklaard: 0,96 betekent dat 96% samenhangt met x en 4% niet. Het zegt niets over de vraag of een rechte lijn de juiste vorm was — een duidelijke kromme kan nog steeds een hoge score behalen — dus bekijk de waarde altijd samen met het residuendiagram. De correlatie r is de vierkantswortel uit R² met het teken van de richtingscoëfficiënt, wat verklaart waarom r negatief is bij een dalende lijn.

Waarom hebben voorspellingen twee verschillende intervallen?

Ze beantwoorden verschillende vragen. Het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde schat waar het gemiddelde van y ligt voor alle waarnemingen bij die x, waardoor alleen de onzekerheid in de lijn zelf meetelt. Het individuele voorspellingsinterval schat waar één nieuwe waarneming zal vallen, wat ook de spreiding van de punten rond de lijn meerekent — door die extra onzekerheid is dit interval altijd breder. Beide intervallen worden breder naarmate x verder van het gemiddelde van je gegevens afligt.

Betekent een kleine p-waarde dat x de oorzaak is van y?

Nee. De p-waarde beantwoordt slechts één specifieke vraag: als de werkelijke richtingscoëfficiënt 0 zou zijn, hoe vaak zou een steekproef van deze omvang dan een richtingscoëfficiënt opleveren die minstens zo ver van 0 afligt? Een kleine waarde maakt de verklaring "geen enkel verband" alleen onwaarschijnlijk, niets meer. Voor causaliteit is de opzet van het onderzoek bepalend — een derde factor die beide kolommen beïnvloedt, of een steekproef die niet onafhankelijk is verzameld, leidt net zo makkelijk tot kleine p-waarden.