ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ (Quadratic Equation Calculator) ಎನ್ನುವುದು ax² + bx + c = 0 ರೂಪದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಉಚಿತ ಆನ್ಲೈನ್ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಬಳಕೆದಾರರು ಮೂರು ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ಉಪಕರಣವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿ, ನಿಖರ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ರೂಪಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರೊಂದಿಗೆ ಹಂತ-ಹಂತದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಮುಖ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಆಕಾರದ ದೃಶ್ಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಇದು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಇನ್ಪುಟ್ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಳಕೆ
ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಅವರ ಅನುಕೂಲಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ಪುಟ್ ನೀಡಲು ಅವಕಾಶ ಕಲ್ಪಿಸುತ್ತದೆ:
- ಸಹಗುಣಕಗಳು (Coefficients): ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ x² ಸಹಗುಣಕ (a), x ಸಹಗುಣಕ (b), ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕ (c) ಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಇನ್ಪುಟ್ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ದಶಮಾಂಶಗಳು, 3/4 ರಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು 2e-3 ರಂತಹ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಂಕೇತಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತವೆ.
- ಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣ (Whole equation): ಇಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣ ಎಂಬ ಒಂದೇ ಇನ್ಪುಟ್ ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ 2x² + 3x − 5 = 0 ರಂತಹ ಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಲನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಯಾವುದೇ ಪದಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಯಾವುದೇ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.
ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ, ಉಪಕರಣವು ಕೆಲವು ಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಬಳಕೆದಾರರು "ಒಂದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ" ವಿಭಾಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಬಹುದು:
- ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು
- ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮೂಲ
- ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ
- ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಹಗುಣಕಗಳು
ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಲು ತೆರವುಗೊಳಿಸಿ ಬಟನ್ ಲಭ್ಯವಿದೆ.
ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿವರಗಳು
ಬಳಕೆದಾರರು ಇನ್ಪುಟ್ ನೀಡಿದ ತಕ್ಷಣ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ನೈಜ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ:
-
ಪರಿಹಾರಗಳು:
- ನಿಖರ ರೂಪ: ಮೂಲಗಳ ನಿಖರವಾದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸರಳೀಕರಿಸಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ, ಸರಳೀಕರಿಸಿದ ಕರಣಿ ರೂಪ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ (3 + √5)/2) ಅಥವಾ i ನೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಜೋಡಿಯಾಗಿರಬಹುದು.
- ದಶಮಾಂಶ: ನಿಖರ ರೂಪದ ಕೆಳಗೆ ನೇರವಾಗಿ ದಶಮಾಂಶ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರ ರೂಪವು ನೀಡದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಮಾತ್ರ ಈ ದಶಮಾಂಶ ಸಾಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
- ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಕಲಿಸಲು ನಕಲಿಸಲು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ ಎಂಬ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಸುಳಿವು ಇರುತ್ತದೆ.
-
ಮೂಲಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಸಂದೇಶಗಳು:
- ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು — ರೇಖೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ದಾಟುತ್ತದೆ.
- ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮೂಲ — ರೇಖೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕೇವಲ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.
- ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲಗಳು — ರೇಖೆಯು ಎಂದಿಗೂ x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ.
- a = 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು x ಗಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.
- x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವು ಇದನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
- ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
-
ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ:
- ಶೋಧಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ
- ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ
- ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
- x ಗಾಗಿ ಮರುಜೋಡಿಸಿ (a = 0 ಆದಾಗ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಇದು ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ).
-
ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳು:
- ಶೋಧಕ (Discriminant)
- ಶೃಂಗಬಿಂದು (Vertex)
- ಸಮ್ಮಿತಿ ಅಕ್ಷ
- y-ಅಂತಃಖಂಡ
- ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತ
- ಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ
- ಅಪವರ್ತಿಸಿದ ರೂಪ (ಸಮೀಕರಣವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಪವರ್ತನಗೊಳ್ಳುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕರಣಿ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಈ ಸಾಲು ಇರುವುದಿಲ್ಲ).
ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳು
ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವು x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a ಆಗಿದೆ. ಈ ಉಪಕರಣವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:
-
ಶೋಧಕದ ವರ್ತನೆ (Δ = b² − 4ac):
- ಶೋಧಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ (Δ > 0), ಉಪಕರಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
- ಶೋಧಕವು ನಿಖರವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (Δ = 0), ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮೂಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
- ಶೋಧಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ (Δ < 0), ಉಪಕರಣವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ i ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಜೋಡಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು x = (−b ± i√(4ac − b²)) / 2a ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
-
ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿತಿ (a = 0): ಒಂದು ವೇಳೆ x² ನ ಸಹಗುಣಕ (a) ಶೂನ್ಯವಾದರೆ, ಉಪಕರಣವು ದೋಷವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಬದಲು ಅದನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ (bx + c = 0) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ x ಗಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ.
-
ವಿಶೇಷ ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಿತಿ (a = 0 ಮತ್ತು b = 0): ಎರಡೂ ಸಹಗುಣಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾದಾಗ, ಉಳಿದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಸುಳ್ಳಾಗಿದ್ದರೆ "x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವು ಇದನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ." ಎಂದೂ, ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ "ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ." ಎಂದೂ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
-
ನಿಖರತೆ: ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು b² − 4ac ನ ನಿಖರವಾದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ b² ಮತ್ತು 4ac ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹತ್ತಿರವಿದ್ದರೂ ತಪ್ಪು ಫಲಿತಾಂಶ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x² + 1000000000x + 1 = 0 ನಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಮೂಲವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕುಸಿಯದೆ ತನ್ನ ನಿಖರವಾದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಇನ್ಪುಟ್ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ದೋಷ ಸಂದೇಶಗಳು
ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸರಿಯಾದ ಇನ್ಪುಟ್ ಪಡೆಯಲು ಕೆಲವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿಯಮ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯಾದಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಖರವಾದ ದೋಷ ಸಂದೇಶಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:
| ಇನ್ಪುಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ | ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುವ ದೋಷ ಸಂದೇಶ |
|---|---|
| ಅಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಮೂದು | 2, −0.5 ಅಥವಾ 3/4 ರಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ. |
| ಶೂನ್ಯ ಛೇದವಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿ | ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಕೆಳಗೆ 0 ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. |
| ಅತಿ ಉದ್ದವಾದ ಇನ್ಪುಟ್ | ಆ ನಮೂದು ಈ ಉಪಕರಣವು ಓದುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. |
| ಆವರಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಬಳಕೆ | ಮೊದಲು ಆವರಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಗುಣಿಸಿ — ಇದು ಕೇವಲ ax² + bx + c ರೂಪವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಓದುತ್ತದೆ. |
| ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಕ್ಷರಗಳ ಬಳಕೆ | ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿ. |
| ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಾತ ಅಥವಾ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರ ಇರುವುದು | ಇದು x² ವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ — ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಾತ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಕೆಳಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷರ ಇರಬಾರದು. |
| ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ತಪ್ಪು ಬಳಕೆ | ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಏನಾದರೂ ಇರಬೇಕು. |
| ಚರಾಕ್ಷರ ಇಲ್ಲದಿರುವುದು | ಪರಿಹರಿಸಲು ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷರ ಇಲ್ಲ. |
| ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ | ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಓದಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. 2x² + 3x − 5 = 0 ರೂಪವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. |
ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ
ಈ ಉಪಕರಣದ ಪ್ರಮುಖ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಬಳಕೆದಾರರ ಗೌಪ್ಯತೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತವೂ ನೇರವಾಗಿ ಬಳಕೆದಾರರ ವೆಬ್ ಬ್ರೌಸರ್ನಲ್ಲೇ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ನೀವು ಟೈಪ್ ಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಮ್ಮ ಸಾಧನವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಎಂದಿಗೂ ಹೊರಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಪದೇ ಪದೇ ಕೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (FAQ)
ಪ್ರಶ್ನೆ: ನಾನು ಏನನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಬಹುದು?
ಉತ್ತರ: ಸಹಗುಣಕದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ದಶಮಾಂಶಗಳು, 3/4 ರಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು 2e-3 ರಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯು ಯಾವುದೇ ಪದಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ, ಯಾವುದೇ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 2x² + 3x − 5 = 0 ರಂತಹ ಪೂರ್ಣ ಸಾಲನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ: ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಯಾವ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ: ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೊದಲು ನಿಖರವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ — ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸರಳೀಕರಿಸಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಥವಾ (3 + √5)/2 ರಂತಹ ಸರಳೀಕರಿಸಿದ ಕರಣಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ — ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ದಶಮಾಂಶ ರೂಪ ಇರುತ್ತದೆ. ಶೋಧಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಬದಲಿಗೆ ನೀವು i ನೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ಪ್ರಶ್ನೆ: ಶೋಧಕವು ನನಗೆ ಏನನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ: ಶೋಧಕವು b² − 4ac ಆಗಿದೆ. ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ದಾಟುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಹಾಗೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ನಿಖರವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಕ್ಷವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮೂಲಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ; ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮೂಲಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ: a ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೂ ದೋಷಪೂರಿತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. x² ಪದವಿಲ್ಲದೆ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು bx + c = 0 ಎಂದು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ಅದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. b ಕೂಡ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹೇಳಿಕೆಯು ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ಗೆ ಸುಳ್ಳಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.