Kalkulador ng Quadratic Equation

Lutasin ang ax² + bx + c = 0 mula sa tatlong coefficient o mula sa buong equation, na may eksakto at decimal na mga sagot.

Ipasok bilang

Subukan ang isa
Mga Solusyon
Hakbang-hakbang
Hugis ng curve
Mga pangunahing tampok
Diskriminante
Berteks
Axis ng symmetry
y-intercept
Sum ng mga root
Product ng mga root
Factored na anyo
I-fill up ang a, b at c — nag-a-update ang mga solusyon habang nagta-type ka.

Ang bawat hakbang ay nagaganap sa iyong browser — ang mga numerong iyong tina-type ay hindi kailanman umaalis sa iyong device.

FAQ

Sa anong mga anyo ibinibigay ang mga solusyon?

Ang bawat solusyon ay ipinapakita muna nang eksakto — isang buong numero, isang reduced fraction, o isang simplified radical tulad ng (3 + √5)/2 — na may decimal sa ilalim nito. Kapag negatibo ang discriminant, makukuha mo sa halip ang complex pair, na isinulat gamit ang i.

Ano ang sinasabi sa akin ng discriminant?

Ang discriminant ay b² − 4ac. Kapag higit sa zero, tinatawid ng curve ang x-axis nang dalawang beses at ang dalawang root ay real at magkaiba; sa eksaktong zero, tinatamaan nito ang axis nang isang beses at nagpapatong ang dalawang root; kapag mababa sa zero, hindi naaabot ng curve ang axis at ang dalawang root ay complex.

Ano ang maaari kong i-type?

Ang mga coefficient box ay tumatanggap ng mga buong numero, decimal, fraction tulad ng 3/4 at mga value tulad ng 2e-3. Ang equation box naman ay tumatanggap ng buong linya tulad ng 2x² + 3x − 5 = 0, sa anumang pagkakasunod-sunod ng term, gamit ang anumang solong titik bilang unknown, at may mga term sa magkabilang panig ng equals sign.

Ano ang mangyayari kapag ang a ay 0?

Walang masisira. Kung walang x² term, ang equation ay linear, kaya nilulutas ito bilang bx + c = 0 at ang sagot ay lalabas sa parehong lugar. Kung 0 din ang b, sasabihin sa iyo kung ang pahayag ay mali para sa bawat x o tama para sa bawat x.

Isinulat at sinuri ng editorial team ng BroBroGo.Huling na-update:

Pag-unawa sa Quadratic Formula at Paglutas ng ax² + bx + c = 0

Ang quadratic equation ay isang pangalawang antas na polynomial equation na may pangkalahatang anyong ax² + bx + c = 0. Upang mahanap ang mga root o solusyon ng equation na ito, ginagamit ang quadratic formula:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Ang formula na ito ay nagmula sa algebraic na paraan ng pagkumpleto ng square (completing the square) sa pangkalahatang anyo ng equation. Sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coefficient na a, b, at c, maaari nating mahanap ang mga value ng x na nagpapatotoo sa equation. Ang simbolo na ± ay nagpapahiwatig na mayroong dalawang posibleng solusyon: isa gamit ang pagdaragdag (+) at isa gamit ang pagbabawas (−) sa numerator.

Sa paggamit ng Kalkulador ng Quadratic Equation, ang substituted formula ay ipinapakita bilang:

x = (−b ± √Δ) / 2a

Kapag negatibo naman ang diskriminante (Δ), ipinapakita ito sa anyong:

x = (−b ± i√(4ac − b²)) / 2a

Sa pamamaraang ito, ang square root ng isang negatibong numero ay hindi kailanman ipinapakita sa interface, na nagpapanatili sa kawastuhan ng mathematical notation.

Ang Papel ng Diskriminante sa Pag-uuri ng mga Root

Ang expression sa ilalim ng radical sign sa quadratic formula, ang b² − 4ac, ay tinatawag na diskriminante at isinusulat gamit ang simbolong Δ. Ang value ng diskriminante ang nagtatakda sa kalikasan, bilang, at graphical na pag-uugali ng mga root:

  • Kapag ang diskriminante ay mas malaki sa zero (Δ > 0): Ang equation ay may dalawang magkaibang real root. Sa graph, ang curve ay tinatawid ang x-axis nang dalawang beses. Ang tool ay magpapakita ng mensaheng: "Dalawang magkaibang real root — tinatawid ng curve ang x-axis nang dalawang beses."
  • Kapag ang diskriminante ay eksaktong zero (Δ = 0): Ang equation ay may isang inuulit na root (repeated root). Sa puntong ito, ang curve ay tinatamaan o dumidikit lang sa x-axis nang isang beses. Ang lalabas na mensahe ay: "Isang inuulit na root — tinatamaan lang ng curve ang x-axis."
  • Kapag ang diskriminante ay mas mababa sa zero (Δ < 0): Ang equation ay walang real roots, sa halip ay mayroon itong dalawang complex root na magkapares (complex conjugate pair) gamit ang imaginary unit i. Ang curve ay hindi kailanman naaabot o tinatawid ang x-axis. Ang ipapakitang mensahe ay: "Dalawang complex root — hindi kailanman naaabot ng curve ang x-axis."

Ang kalkulador ay nagpapasya sa bilang ng mga real root batay sa eksaktong whole-number value ng b² − 4ac sa halip na isang rounded na halaga. Dahil dito, ang mga equation na may halos magkapantay na b² at 4ac ay hindi nagkakaroon ng maling ulat na sila ay may repeated root. Bukod dito, ang mas maliit na root ng mga sensitibong equation tulad ng x² + 1000000000x + 1 = 0 ay pinapanatili ang mga makabuluhang digit nito sa halip na mag-collapse sa 0.

Mga Katangiang Geometric at Pag-graph ng Parabola

Ang graph ng isang quadratic equation ay isang curve na tinatawag na parabola. Ang direksyon at posisyon ng parabola ay tinutukoy ng mga coefficient nito. Ang kalkulador ay nagbibigay ng visual sketch ng hugis ng curve kasama ang mga sumusunod na geometric na katangian:

  • Berteks (Vertex): Ang pinakamataas o pinakamababang punto ng parabola, depende kung ang curve ay bumubukas pataas (kapag a > 0) o pababa (kapag a < 0).
  • Axis ng symmetry: Ang patayong linya na naghahati sa parabola sa dalawang simetrikong bahagi.
  • y-intercept: Ang punto kung saan tinatawid ng curve ang y-axis, na nagaganap kapag ang x = 0 (ang halaga nito ay katumbas ng constant c).

Ang mga katangiang ito ay nagbibigay-daan upang maunawaan ang visual na gawi ng equation nang hindi na kinakailangang i-graph ito nang manu-mano.

Eksaktong Halaga kumpara sa Desimal na Representasyon

Sa matematika, agham, at inhinyerya, ang pagpapanatili ng eksaktong anyo ng mga numero ay mahalaga upang maiwasan ang rounding errors. Ang kalkulador na ito ay nagpapakita ng mga solusyon sa dalawang anyo:

  1. Eksakto (Exact): Ipinapakita bilang buong numero, reduced fraction, o simplified radical (kung saan ang pinakamalaking square factor ay inilalabas sa radikal, tulad ng (3 + √5)/2) kapag ang diskriminante ay hindi isang perfect square. Kung negatibo ang diskriminante, ipinapakita ito bilang conjugate pair gamit ang i. Ang eksaktong anyo ay pinipili at hindi nira-round.
  2. Desimal (Decimal): Ang decimal na linya ay ipinapakita sa ilalim ng eksaktong solusyon. Lumilitaw lamang ang linyang ito kapag may ibinibigay itong impormasyon na hindi makikita sa eksaktong anyo (tulad ng pag-convert ng radical sa decimal). May interactive na pahiwatig na "I-click para kopyahin" para sa madaling pag-save ng mga resulta.

Mga Panuntunan sa Pagsulat at Pag-input ng Equation

Upang mabasa nang tama ng kalkulador ang iyong equation, mahalagang sundin ang mga panuntunan sa pag-input. Maaari mong piliin ang paraan ng pag-input sa ilalim ng "Ipasok bilang":

  • Mga Coefficient: Ilagay ang mga indibidwal na halaga para sa coefficient ng x² (a), coefficient ng x (b), at Constant (c). Tumatanggap ang mga patlang na ito ng mga buong numero, decimal, fraction (hal. 3/4), at scientific notation (hal. 2e-3).
  • Buong equation: Mag-type ng isang buong linya ng equation sa patlang na "Iyong equation" (hal. 2x² + 3x − 5 = 0). Pinapayagan nito ang anumang pagkakasunod-sunod ng mga term, paggamit ng kahit anong solong titik bilang unknown variable, at paglalagay ng mga term sa magkabilang panig ng equals sign.

Mga Limitasyon at Mensahe ng Error

  • Mga Bracket: Dapat i-multiply muna ang mga bracket bago i-type ang equation. Kung may bracket, lalabas ang error: "I-multiply muna ang mga bracket — binabasa nito ang simpleng anyong ax² + bx + c."
  • Degree ng Equation: Ang tool ay naglulutas lamang hanggang sa ikalawang degree (x²). Kung may mas mataas na power o may variable sa ilalim ng fraction, ipapakita ang error: "Nilulutas nito hanggang x² — walang mas mataas na power, at walang titik sa ilalim ng fraction."
  • Higit sa Isang Variable: Isang titik lamang ang dapat gamitin. Kung higit sa isa, lalabas ang: "Gumamit ng isang titik para sa unknown."
  • Equals Sign: Dapat mayroong eksaktong isang equals sign. Kung mali ang pagkakagamit, lalabas ang: "Gumamit ng isang equals sign, na may laman sa bawat panig nito."
  • Walang Variable: Kung walang titik na hahanapin, ipapakita ang: "Walang titik na lulutasin dito."
  • Hindi Mabasa: Kung hindi ma-parse ang input, lalabas ang: "Hindi iyon mabasa bilang equation. Subukan ang anyong 2x² + 3x − 5 = 0."
  • Zero sa Denominator: Kung may fraction na may 0 sa ilalim, lalabas ang: "Ang fraction ay hindi maaaring magkaroon ng 0 sa ilalim."
  • Masyadong Mahaba: Kung lumampas sa limitasyon ng character, lalabas ang: "Ang entry na iyon ay mas mahaba kaysa sa binabasa ng tool na ito."

Mga Espesyal na Kaso at Vieta's Relationships

Linear Equation Fallback (a = 0)

Kapag ang coefficient ng x² (a) ay itinakda sa 0, ang equation ay nagiging linear (bx + c = 0). Hindi nasisira ang kalkulador; sa halip, nilulutas nito ang x sa pamamagitan ng linear rearrangement at ipinapakita ang mensaheng: "Dahil a = 0, ito ay isang linear equation, na nilutas para sa x sa ibaba."

Degenerate Cases (a = 0 at b = 0)

Kung parehong 0 ang a at b, sinusuri ng tool ang natitirang pahayag ng constant:

  • Kung ang pahayag ay mali para sa lahat ng x, ipapakita ang: "Walang value ng x ang makakagawa nitong tama."
  • Kung ang pahayag ay tama para sa lahat ng x, ipapakita ang: "Ang bawat numero ay isang solusyon."

Vieta's Relationships at Factored Form

Ginagamit ng kalkulador ang mga ugnayan ni Vieta upang kalkulahin ang:

  • Sum ng mga root: Katumbas ng −b/a.
  • Product ng mga root: Katumbas ng c/a.

Ang Factored na anyo ay ipinapakita lamang kapag ang equation ay maaaring ma-factor sa ibabaw ng mga rational number. Kung ang mga root ay irrational o complex, ang linyang ito ay hindi ipapakita sa mga resulta.

Mga Madalas Itanong (FAQ)

Ano ang maaari kong i-type?
Ang mga coefficient box ay tumatanggap ng mga buong numero, decimal, fraction tulad ng 3/4 at mga value tulad ng 2e-3. Ang equation box naman ay tumatanggap ng buong linya tulad ng 2x² + 3x − 5 = 0, sa anumang pagkakasunod-sunod ng term, gamit ang anumang solong titik bilang unknown, at may mga term sa magkabilang panig ng equals sign.

Ano ang mangyayari kapag ang a ay 0?
Walang masisira. Kung walang x² term, ang equation ay linear, kaya nilulutas ito bilang bx + c = 0 at ang sagot ay lalabas sa parehong lugar. Kung 0 din ang b, sasabihin sa iyo kung ang pahayag ay mali para sa bawat x o tama para sa bawat x.

Ano ang sinasabi sa akin ng discriminant?
Ang discriminant ay b² − 4ac. Kapag higit sa zero, tinatawid ng curve ang x-axis nang dalawang beses at ang dalawang root ay real at magkaiba; sa eksaktong zero, tinatamaan nito ang axis nang isang beses at nagpapatong ang dalawang root; kapag mababa sa zero, hindi naaabot ng curve ang axis at ang dalawang root ay complex.

Sa anong mga anyo ibinibigay ang mga solusyon?
Ang bawat solusyon ay ipinapakita muna nang eksakto — isang buong numero, isang reduced fraction, o isang simplified radical tulad ng (3 + √5)/2 — na may decimal sa ilalim nito. Kapag negatibo ang discriminant, makukuha mo sa halip ang complex pair, na isinulat gamit ang i.

Ligtas ba at pribado ang aking mga kalkulasyon?
Ang bawat hakbang ay nagaganap sa iyong browser — ang mga numerong iyong tina-type ay hindi kailanman umaalis sa iyong device.

Kalkulador ng FractionMagdagdag, magbawas, magparami, at maghati ng mga fraction at mixed number, na may mga eksaktong resulta.Kalkulador ng Prime FactorizationIbahagi ang anumang buong numero sa mga prime factor nito at tingnan ang factor tree sa likod nito.Tagapagsalin ng Scientific NotationI-convert ang mga karaniwang numero, scientific notation, at engineering notation sa isang eksaktong view.Kalkulador ng PorsyentoMagkano ang X% ng isang numero, anong porsyento ang isang halaga sa isa pa, ang kabuuan sa likod ng alam na porsyento, ang taas o baba sa pagitan ng dalawang numero, at mga presyo pagkatapos ng discount — lahat sa isang page.Kalkulador ng RatioI-simplify ang ratio, lutasin ang blangko sa isang proporsyon, o i-scale ang magkabilang panig gamit ang parehong factor.Kalkulador ng Significant FiguresBilangin ang mga significant figure sa anumang halaga, mag-round sa napiling katumpakan, o suriin ang mga ekspresyong + − × ÷ kasama ang mga panuntunan sa pag-round na ipinapakita nang sunod-sunod.Kalkulador ng Polynomial RootHanapin ang bawat real at complex root ng isang polynomial mula sa pinalawak na expression o listahan ng coefficient, na may mga residual at pagsusuri sa convergence.