Boolen algebran laskin

Yksinkertaista mikä tahansa Boolen lauseke minimaaliseen tulojen summan ja summien tulon muotoon. Mukana kaikki primaariset implikantit ja rivikohtainen totuustaulukon tarkistus.

Lauseke

Kirjoita muuttujat yksittäisinä kirjaimina. AND voi olla AB, A·B, A*B tai A AND B; OR on A + B tai A OR B; NOT on A', !A tai NOT A; myös XOR, NAND ja NOR toimivat.
Lisää operaattori

Enintään 6 eri muuttujaa ja 2,000 merkkiä. Vakiot 0 ja 1 ovat sallittuja.

Kokeile lauseketta

Minimaalinen muoto

Minimaalinen muoto ilmestyy tähän

Kirjoita Boolen lauseke nähdäksesi sen yksinkertaisimman tulojen summan, summien tulon sekä sen, miten ne muodostettiin.

Kirjoita Boolen lauseke yksinkertaistaaksesi sen.

Lausekkeet yksinkertaistetaan tässä selaimessa, eivätkä ne koskaan lähde laitteeltasi.

UKK

Mitä eri merkintätapoja lausekkeessa voi käyttää?

Kaikkia yleisiä merkintätapoja voi käyttää ja sekoittaa vapaasti: insinöörimerkintää (AB + A'C, jossa on implisiittinen AND ja NOT-operaattorina heittomerkki), ohjelmointityyliä (A && !B || C, A ^ B), loogisia symboleita (¬ ∧ ∨ ⊕ ⊼ ⊽) sekä selväkielisiä sanoja (A AND B OR NOT C, NAND, NOR). Useamman kirjaimen jonot, kuten ABC, tarkoittavat tuloa A AND B AND C, ja sanoja AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR tulkitaan aina operaattoreina.

Miten minimaalinen muoto selvitetään?

Työkalu muodostaa täydellisen totuustaulukon, yhdistää vierekkäiset 1-rivit primaarisiksi implikanteiksi (Quine–McCluskey-menetelmällä), säilyttää välttämättömät implikantit ja kattaa loput rivit tarkalla minimipeitteellä. Tulos on taatusti minimaalinen tulojen summan (SOP) muodossa — kyseessä ei ole heuristiikka — ja sama menettely 0-riveille tuottaa summien tulon (POS).

Mitä eroa on SOP- ja POS-tuloksilla?

Molemmat kuvaavat samaa funktiota. Tulojen summa (SOP) yhdistää AND-termejä OR-operaattoreilla, kuten AB' + BC, ja vastaa suoraan AND–OR-piirejä. Summien tulo (POS) puolestaan yhdistää OR-tekijöitä AND-operaattoreilla, kuten (A + B)(B' + C), ja vastaa OR–AND-piirejä. Funktiosta riippuen toinen muoto saattaa vaatia vähemmän portteja kuin toinen, joten työkalu näyttää aina molemmat.

Miksi lausekkeessa voi olla enintään 6 muuttujaa?

Kuusi muuttujaa tuottaa jo 64-rivisen totuustaulukon, mikä on suurin piirtein raja sille, mitä pystyy vielä lukemaan ja tarkistamaan käsin. Tämän rajan jälkeen minimointi toimii yhä teoriassa, mutta tällä sivulla esitettävä välivaiheiden erittely ja taulukko lakkaavat olemasta hyödyllisiä havainnollistuksia. Laajempien funktioiden käsittelyyn sopivat paremmin tiedostotulostusta tukevat logiikkasuunnitteluohjelmistot.

Kirjoittanut ja tarkistanut BroBroGo-toimitustiimi.Päivitetty viimeksi:

Boolen lausekkeiden minimointi ja Quine–McCluskey-menetelmä

Digitaalitekniikassa ja matemaattisessa logiikassa Boolen lausekkeiden yksinkertaistaminen on keskeinen työvaihe, jolla pyritään minimoimaan loogisten porttien ja literaalien määrä. Boolen algebran laskin on työkalu, joka muuntaa minkä tahansa syötetyn Boolen lausekkeen sen kaikkein pelkistetyimpiin matemaattisiin muotoihin. Laskin laskee ja näyttää samanaikaisesti sekä minimaalisen tulojen summan (SOP, Sum of Products) että minimaalisen summien tulon (POS, Product of Sums).

Yksinkertaistusprosessi perustuu Quine–McCluskey-algoritmiin, joka takaa matemaattisesti tarkan minimipeitteen löytymisen. Toisin kuin heuristiset menetelmät, tämä algoritmi käy läpi järjestelmällisen prosessin, jossa etsitään kaikki primaariset implikantit ja valitaan niistä optimaalinen yhdistelmä kattamaan lausekkeen totuustaulukon rivit. Tulosten oikeellisuus varmistetaan vertaamalla yksinkertaistettua muotoa alkuperäiseen lausekkeeseen rivi riviltä täydellisen totuustaulukon avulla.

Syötteet ja tuetut merkintätavat

Laskin hyväksyy monipuolisesti erilaisia merkintätapoja, mikä mahdollistaa saman lausekkeen kirjoittamisen insinöörikäytäntöjen, ohjelmointikielten syntaksin tai muodollisen logiikan symboleiden mukaisesti. Käyttäjä voi syöttää lausekkeen suoraan tekstikenttään tai käyttää käyttöliittymän painikkeita operaattoreiden lisäämiseen.

Laskimen tukemat operaattorit ja niiden syntaksivaihtoehdot ovat:

  • AND (tulo): Voidaan merkitä implisiittisesti kirjoittamalla muuttujat peräkkäin (esim. AB), pisteellä A·B, tähdellä A*B, selväkielisellä sanalla A AND B, ohjelmointityylillä A && B tai loogisella symbolilla. Useamman kirjaimen jonot, kuten ABC, tulkitaan automaattisesti tuloksi A AND B AND C.
  • OR (summa): Merkitään plusmerkillä A + B, sanalla A OR B, pystyviivoilla A || B tai loogisella symbolilla.
  • NOT (negaatio): Voidaan merkitä muuttujan perään liitettävällä heittomerkillä A', huutomerkillä !A, sanalla NOT A, negaation merkillä ¬A tai primaarisymbolilla.
  • XOR (eriperäisyys): Merkitään merkillä A ^ B, sanalla A XOR B tai symbolilla A ⊕ B.
  • NAND: Merkitään sanalla A NAND B tai symbolilla ⊼.
  • NOR: Merkitään sanalla A NOR B tai symbolilla ⊽.
  • Vakiot: Lausekkeissa voi käyttää loogisia vakioita 0 ja 1.

Lausekkeen syöttämistä koskevat tietyt tekniset rajat. Lauseke voi sisältää enintään 6 eri muuttujaa, ja sen maksimipituus on 2,000 merkkiä. Muuttujat tulee kirjoittaa yksittäisinä kirjaimina.

Käyttöliittymässä on valmiita esimerkkejä, joilla voi testata laskimen toimintaa:

  • Termien yhdistäminen (konsensusesimerkki)
  • Negatoitu tulo (De Morganin säännön esimerkki)
  • Kolmitie-XOR (XOR-esimerkki)

Painike Tyhjennä tyhjentää syötekentän uutta laskentaa varten.

Yksinkertaistuksen tulokset ja diagnostiikka

Kun lauseke syötetään, laskin suorittaa analyysin ja tuottaa useita eri raportteja ja näkymiä tuloksen tarkastelua varten.

Tulkittu muoto ja minimoidut lausekkeet

Laskin näyttää ensin tulkinnan Tulkittu muodossa, joka varmistaa, että ohjelma on ymmärtänyt syötetyn syntaksin oikein. Tämän jälkeen esitetään kaksi keskeistä minimointitulosta:

  • Minimaalinen tulojen summa (SOP)
  • Minimaalinen summien tulo (POS)

Tulokset voi kopioida leikepöydälle painikkeella Kopioi tulos.

Yleiskatsaus

Diagnostiikkapaneeli Yleiskatsaus kokoaa yhteen laskennan keskeiset tunnusluvut:

  • Muuttujat: Havaitut muuttujat.
  • Rivit, joiden arvo on 1: Mintermit eli ne totuustaulukon rivit, joilla lausekkeen arvoksi tulee 1.
  • Primaariset implikantit: Löydettyjen primaaristen implikanttien kokonaismäärä.
  • Välttämättömät primaariset implikantit: Niiden primaaristen implikanttien määrä, joiden on pakko sisältyä lopulliseen katteeseen.
  • Literaalit, ennen → jälkeen: Literaalien lukumäärä lausekkeessa ennen yksinkertaistusta ja sen jälkeen.
  • Menetelmä: Käytetty minimointialgoritmi, joka on aina "Quine–McCluskey, tarkka minimipeite".

Miten lauseke yksinkertaistettiin

Laskin erittelee matemaattisen välivaiheiden kulun osiossa Miten lauseke yksinkertaistettiin. Tämä selvitys sisältää seuraavat vaiheet ja tekstit:

  1. Muuttujien ja rivien määritys: Laskin ilmoittaa muuttujien määrän ja sitä vastaavan totuustaulukon rivimäärän. Jos muuttujia on useita, näytetään teksti: "Lauseke käyttää ‹count› muuttujaa (‹variables›), joten totuustaulukossa on ‹rows› riviä." Jos muuttujia on vain yksi, teksti on: "Lauseke käyttää yhtä muuttujaa, ‹variables›, joten totuustaulukossa on ‹rows› riviä." Jos muuttujia ei ole lainkaan, näytetään: "Lauseke ei käytä muuttujia, joten sen arvoksi saadaan yksittäinen vakio."
  2. Min- ja maxtermirivit: Lausekkeen toiminta kuvataan muodossa: "Sen arvo on 1 riveillä Σm(‹minterms›) ja 0 riveillä ΠM(‹maxterms›)."
  3. Primaaristen implikanttien etsintä: Vierekkäisten 1-rivien yhdistämisen tulos kuvataan tekstillä: "Yhdistämällä vierekkäisiä 1-rivejä niin pitkälle kuin mahdollista saadaan ‹count› primaarista implikanttia: ‹list›."
  4. Välttämättömien primaaristen implikanttien valinta: Jos välttämättömiä implikantteja löytyy, näytetään teksti: "Välttämättömät primaariset implikantit — ainoa jäljellä oleva peite vähintään yhdelle riville: ‹list›." Jos mikään niistä ei ole välttämätön, näytetään teksti: "Mikään primaarinen implikantti ei ole välttämätön: jokainen 1-rivi voidaan kattaa useammalla kuin yhdellä tavalla."
  5. Kattamattomien rivien käsittely: Jos välttämättömät implikantit eivät kata kaikkia rivejä, laskin ilmoittaa: "Vielä kattamatta jääneet rivit katetaan mahdollisimman vähillä lisätermeillä: ‹list›." Jos ne kattavat kaikki rivit, näytetään teksti: "Välttämättömät primaariset implikantit kattavat jo jokaisen 1-rivin, joten summa on valmis."
  6. Summien tulon muodostus: POS-muodon johtaminen kuvataan tekstillä: "Saman yhdistämisen suorittaminen 0-riveille antaa minimaalisen summien tulon ‹pos›."
  7. Verifiointi: Lopuksi laskin vahvistaa tuloksen vastaavuuden: "Molemmat minimaaliset muodot vastaavat alkuperäistä lauseketta totuustaulukon kaikilla ‹rows› rivillä."

Virhetilanteet ja poikkeustapaukset

Laskin käsittelee virheelliset syötteet ja poikkeukselliset lausekkeet antamalla täsmällisiä ilmoituksia:

  • Tyhjä syöte: Jos kenttään ei ole kirjoitettu mitään, tilaviestinä on *"Kirjoita Boolen lauseke yksinkertaistaaksesi sen."*ja virheilmoituksena "Syötä Boolen lauseke.".
  • Liian pitkä lauseke: Jos syöte ylittää 2,000 merkkiä, näytetään virheilmoitus "Pidä lauseke alle 2,000 merkin pituisena.".
  • Liikaa muuttujia: Jos lausekkeessa on yli 6 eri muuttujaa, laskin antaa virheen "Tämä lauseke käyttää ‹count› eri muuttujaa; laskin tukee enintään 6 muuttujaa.".
  • Virheellinen merkki: Jos syötteessä on tuntematon merkki, laskin ilmoittaa: "‹char› (kohta ‹position›) ei ole Boolen operaattori, muuttuja tai vakio.".
  • Syntaksivirhe tai puuttuva operandi: Jos operaattorilta puuttuu muuttuja tai vakio, näytetään virheilmoitus "Operaattorilta puuttuu operandi kohdan ‹position› lähettyviltä — tarkista, ettei lausekkeessa ole irrallista merkkiä +, · tai ⊕.".
  • Epätasapainoiset sulkeet: Jos sulkeita ei ole suljettu oikein, virheilmoitus on "Sulkeet eivät ole tasapainossa — lisää tai poista sulku.".

Vakiolausekkeet ja valmiiksi minimaaliset muodot

Jos syötetty lauseke on tautologia (aina tosi) tai ristiriita (aina epätosi), laskin ilmoittaa tästä erikseen. Tautologian tapauksessa näytetään teksti *"Tämä lauseke on aina 1: jokainen arvoyhdistelmä tekee siitä totta."*ja ristiriidan tapauksessa "Tämä lauseke on aina 0: mikään arvoyhdistelmä ei tee siitä totta.". Yleisenä tilaviestinä vakiolle näytetään "Tämä lauseke on vakio: sen arvo on aina ‹value›.".

Jos syötetty lauseke on jo valmiiksi mahdollisimman yksinkertainen, laskin ilmoittaa: "Lausekkeesi on jo minimaalisessa tulojen summan muodossa.". Onnistuneen minimoinnin jälkeen tilaviestinä näkyy "Yksinkertaistettu ja tarkistettu kaikilla ‹rows› rivillä.".

Tietosuoja ja tietojen käsittely

Kaikki syötettyjen lausekkeiden käsittely ja laskenta tapahtuu suoraan käyttäjän omassa verkkoselaimessa. Lausekkeita tai niiden osia ei lähetetä ulkoisille palvelimille, eikä mitään tietoja ladata laitteeltasi.

Usein kysytyt kysymykset

Kysymys Vastaus
Miten minimaalinen muoto selvitetään? Työkalu muodostaa täydellisen totuustaulukon, yhdistää vierekkäiset 1-rivit primaarisiksi implikanteiksi (Quine–McCluskey-menetelmällä), säilyttää välttämättömät implikantit ja kattaa loput rivit tarkalla minimipeitteellä. Tulos on taatusti minimaalinen tulojen summan (SOP) muodossa — kyseessä ei ole heuristiikka — ja sama menettely 0-riveille tuottaa summien tulon (POS).
Mitä eroa on SOP- ja POS-tuloksilla? Molemmat kuvaavat samaa funktiota. Tulojen summa (SOP) yhdistää AND-termejä OR-operaattoreilla, kuten AB' + BC, ja vastaa suoraan AND–OR-piirejä. Summien tulo (POS) puolestaan yhdistää OR-tekijöitä AND-operaattoreilla, kuten (A + B)(B' + C), ja vastaa OR–AND-piirejä. Funktiosta riippuen toinen muoto saattaa vaatia vähemmän portteja kuin toinen, joten työkalu näyttää aina molemmat.
Mitä eri merkintätapoja lausekkeessa voi käyttää? Kaikkia yleisiä merkintätapoja voi käyttää ja sekoittaa vapaasti: insinöörimerkintää (AB + A'C, jossa on implisiittinen AND ja NOT-operaattorina heittomerkki), ohjelmointityyliä (A &&!B
Miksi lausekkeessa voi olla enintään 6 muuttujaa? Kuusi muuttujaa tuottaa jo 64-rivisen totuustaulukon, mikä on suurin piirtein raja sille, mitä pystyy vielä lukemaan ja tarkistamaan käsin. Tämän rajan jälkeen minimointi toimii yhä teoriassa, mutta tällä sivulla esitettävä välivaiheiden erittely ja taulukko lakkaavat olemasta hyödyllisiä havainnollistuksia. Laajempien funktioiden käsittelyyn sopivat paremmin tiedostotulostusta tukevat logiikkasuunnitteluohjelmistot.
AlkutekijähajotelmalaskinJaa mikä tahansa kokonaisluku alkutekijöihinsä ja katso sen taustalla oleva tekijäpuu.Binääri-/heksamuunninMuunna lukuja binääri-, heksa-, desimaali- ja oktaalijärjestelmien välillä – tai muuta teksti tavuiksi.Polynomin juurien laskinEtsi polynomin kaikki reaaliset ja kompleksiset juuret aukikirjoitetusta lausekkeesta tai kertoimista jäännöstarkistuksineen.