ریاضیات سیستمهای رأیگیری و نحوه استخراج آرا
هر سیستم رأیگیری از اطلاعات موجود در برگههای رأی رتبهبندیشده به شکل متفاوتی استفاده میکند. هنگامی که رأیدهندگان ترجیحات خود را از انتخاب اول تا آخر مشخص میکنند، قوانین مختلف شمارش، وزنهای متفاوتی به این اولویتها اختصاص میدهند. ابزار مقایسهگر روشهای رأیگیری به طور همزمان پنج قاعده شمارش را روی یک مجموعه داده اعمال میکند تا نشان دهد چگونه تغییر فرمول ریاضی میتواند برنده نهایی انتخابات را تغییر دهد.
این پنج روش عبارتند از:
- اکثریتی: سادهترین شکل شمارش که در آن فقط ترجیح اول هر رأیدهنده لحاظ میشود. قاعده شمارش آن «بالاترین مجموع اولویت اول» است.
- رأیگیری ترجیحی (IRV): یک سیستم حذفی چنددوره که در آن نامزدهای با کمترین رأی حذف شده و آرای آنها منتقل میشود. قاعده آن «اکثریت پس از حذف تک نامزد دارای پایینترین رأی در هر دور» است.
- شمارش بوردا: یک روش مبتنی بر امتیاز که به هر رتبه در برگه رأی، وزن مشخصی اختصاص میدهد. قاعده آن «بیشترین امتیاز از تمام رتبهها» است.
- تأییدی: روشی که در آن نامزدهای برتر مشخصشده در هر برگه رأی، یک رأی تأیید دریافت میکنند. برنده کسی است که در محدوده برتر انتخابشده توسط کاربر بیشترین حضور را داشته باشد.
- کوپلند / دو به دو: روشی مبتنی بر تقابلهای مستقیم که در آن هر نامزد به صورت دو به دو با تمام نامزدهای دیگر مقایسه میشود. قاعده آن «۱ امتیاز برای هر برد دو به دو و ۰.۵ امتیاز برای هر تساوی» است.
ورودیها و محدودیتهای فنی سناریو
برای اجرای شبیهسازی، ابزار به دو ورودی اصلی نیاز دارد که باید با فرمت دقیق مشخص شوند:
۱. نامزدها: لیست نامزدها باید در کادر متنی مربوطه وارد شود، به طوری که در هر سطر یک نامزد منحصربهفرد قرار گیرد. تعداد نامزدها باید بین ۲ تا ۸ نامزد باشد. نام هر نامزد باید حداکثر ۴۰ کاراکتر بوده و نباید شامل کاراکترهای دو نقطه (:) یا علامت بزرگتر از (>) باشد. همچنین نامها باید کاملاً منحصربهفرد باشند، از جمله تفاوت در حروف کوچک و بزرگ انگلیسی.
۲. برگههای رأی رتبهبندیشده گروهی: هر سطر از این بخش نشاندهنده یک گروه از برگههای رأی با رتبهبندی کاملاً یکسان است. فرمت هر سطر باید به صورت تعداد آرا، یک علامت دو نقطه و سپس نام نامزدها باشد که با علامت بزرگتر از از یکدیگر جدا شدهاند (مانند «45: Cedar > Harbor > Summit»). هر سطر باید به هر نامزد دقیقاً یک بار رتبه بدهد و رتبهبندی ناقص یا تکراری مجاز نیست. تعداد آرا در هر سطر برگه رأی باید یک عدد صحیح و شامل بین ۱ تا ۱,۰۰۰,۰۰۰ رأی باشد. حداکثر ۲۰۰ سطر برگه رأی گروهی قابل پردازش است و مجموع تعداد آرا در کل برگهها باید حداکثر ۱۰,۰۰۰,۰۰۰ باشد.
علاوه بر این، کاربر میتواند «حد آستانه تأیید» را برای روش تأییدی تعیین کند که مقداری بین ۱ تا تعداد نامزدها است. کل حجم دادههای متنی کپیشده در بخش ورودیها باید زیر ۱۰۰ کیلوبایت باشد.
تحلیل فرآیند حذف در روش ترجیحی (IRV)
روش رأیگیری ترجیحی (IRV) طی دورهای متوالی اقدام به غربالگری نامزدها میکند. در هر دور، «اولویتهای اول فعال» شمارش میشوند. اگر نامزدی به اکثریت مطلق آرا دست نیابد، نامزد دارای کمترین رأی حذف شده و آرای او به اولویتهای بعدی فعال در برگههای رأی منتقل میشود.
این فرآیند تا زمان رسیدن یک نامزد به اکثریت یا مواجهه با تساوی ادامه مییابد. تصمیمات اتخاذشده در هر دور به صورت شفاف ثبت میشوند:
- در صورت رسیدن به حد نصاب: «
Cedarبه اکثریت51رأی میرسد». - در صورت حذف: «حذف
Cedar». - در صورت تساوی کامل: «تمام نامزدهای باقیمانده مساوی هستند».
- در صورت تساوی در پایینترین جایگاه: «توقف: پایینترین جایگاه بین
Cedar, Harborمساوی شده است». در این حالت، به دلیل تساوی حذف حلنشده، فرآیند متوقف میشود.
معیار کندورسه و ماتریس دو به دو
ماتریس دو به دو ابزاری برای ارزیابی ترجیحات رأیدهندگان در تقابلهای مستقیم و انفرادی است. هر سلول در این جدول نشاندهنده تعداد رأیدهندگانی است که نامزد سطر را بالاتر از نامزد ستون رتبهبندی کردهاند.
بر اساس نظریه انتخاب اجتماعی، نامزدی که در تمام رقابتهای مستقیم دو به دو در برابر تکتک رقیبان پیروز شود، برنده کندورسه نامیده میشود. ابزار پس از محاسبه ماتریس، وضعیت وجود یا عدم وجود این برنده را با یکی از دو عبارت زیر مشخص میکند:
- «همچنین در رقابت دو به دو تمام رقیبان را شکست میدهد».
- «هیچ نامزدی در رقابت دو به دو تمام رقیبان را شکست نمیدهد.».
روش کوپلند با تخصیص امتیاز بر اساس بردهای مستقیم، تلاش میکند تا نزدیکترین گزینه به برنده کندورسه را در صورت وجود چرخههای ترجیحاتی مشخص کند.
فرمولها و متغیرهای محاسباتی
محاسبات ریاضی ابزار بر اساس فرمولهای استاندارد زیر انجام میشود که متغیرهای آن به این شرح تعریف شدهاند:
- c: نامزدی که در حال شمارش است.
- b: یک برگه رأی گروهی که count_b تعداد رأیدهندگان آن است.
- m: تعداد کل نامزدها.
- rank_b(c): جایگاه نامزد c در برگه رأی b (شروع از ۱ برای اولویت اول).
- k: حد آستانه تأیید انتخابشده.
- V: آرای فعال در دور فعلی IRV، و $V(c)$ مجموع آرای فعال نامزد c است.
- $W(c)$ و $T(c)$: به ترتیب تعداد بردها و مساویهای دو به دو نامزد c.
جدول فرمولهای شمارش
| روش رأیگیری | فرمول ریاضی | نحوه اعمال روی آرا |
|---|---|---|
| اکثریتی | P(c) = Σ count_b · 1[first_b = c] | فقط اولویتهای اول هر برگه رأی را شمارش میکند. |
| شمارش بوردا | B(c) = Σ count_b · (m - rank_b(c)) | به هر رتبه امتیازی معکوس متناسب با جایگاه آن میدهد. |
| تأییدی | A(c) = Σ count_b · 1[rank_b(c) ≤ k] | تمام نامزدهای قرارگرفته در محدوده آستانه k را تأیید میکند. |
| کوپلند | C(c) = W(c) + 0.5 × T(c) | امتیازها را بر اساس بردهای مستقیم و تساویهای دو به دو جمع میزند. |
| ترجیحی (IRV) | V(c) > V ÷ 2 | شرط پیروزی رسیدن به اکثریت مطلق آرای فعال در دور جاری است. |
حریم خصوصی و پردازش دادهها
امنیت اطلاعات کاربران در این ابزار بر پایه پردازش محلی استوار است. نام نامزدها و برگههای رأی در مرورگر شما باقی میمانند و آپلود یا ذخیره نمیشوند. هیچ دادهای به سرورهای خارجی ارسال نشده و تحلیلها به صورت آنی در محیط کلاینت انجام میپذیرد.
پرسشهای متداول
آیا واقعاً برگههای رأی رتبهبندیشده یکسان میتوانند برندگان متفاوتی تولید کنند؟
بله. هر قانون از اطلاعات متفاوتی استفاده میکند: روش اکثریتی فقط اولویتهای اول را نگه میدارد، روش بوردا از تمام رتبهها استفاده میکند، روش IRV آرا را پس از حذفها منتقل میکند، و شمارش دو به دو نامزدها را دوتا دوتا با هم مقایسه میکند. نمونه حلشده به گونهای طراحی شده است که این تفاوتها قابل مشاهده و پیگیری باشند.
چگونه میتوان رأیگیری تأییدی را با برگههای رأی رتبهبندیشده مقایسه کرد؟
یک برگه رأی رتبهبندیشده مشخص نمیکند که تأیید در کجا پایان مییابد. بنابراین این ابزار از حد آستانهای که شما انتخاب میکنید استفاده میکند: ۱ نامزد برتر، ۲ نامزد برتر و غیره. این فرض فقط برای ستون رأیگیری تأییدی اعمال میشود و در کنار نتیجه آن چاپ میگردد.
آیا برنده کوپلند همیشه همان برنده کندورسه است؟
خیر. یک برنده کندورسه باید تمام رقیبان را در رقابتهای دو به دو شکست دهد، و ممکن است چنین برندهای وجود نداشته باشد زیرا ترجیحات میتوانند یک چرخه تشکیل دهند. کوپلند همچنان برای بردها و مساویهای دو به دو امتیاز اختصاص میدهد؛ بالاترین امتیاز آن به طور جداگانه گزارش میشود و ممکن است مساوی باشد.
آیا میتوانم از این ابزار برای تأیید یک نتیجه رسمی انتخابات استفاده کنم؟
خیر. این مقایسهگر از رتبهبندیهای کامل و دقیق، تککرسی، و قانون توقف در صورت تساوی در روش IRV استفاده میکند. قوانین واقعی انتخابات و مقررات سازمانها ممکن است آرای بیش از حد مجاز، رتبههای نادیدهگرفتهشده، نامزدهای دستنویس، شکستن تساوی، حسابرسیها و انتقالهای چندکرسی را به شکل متفاوتی تعریف کنند. برای مطالعه بیشتر در زمینه استانداردهای سیستمهای رأیگیری میتوانید به دستورالعملهای داوطلبانه سیستمهای رأیگیری در وبسایت کمیسیون کمک به انتخابات ایالات متحده یا مباحث آموزشی در کتاب ریاضیات معاصر OpenStax مراجعه کنید.