Kalkulator kvadratne jednačine

Riješite ax² + bx + c = 0 iz tri koeficijenta ili iz cijele jednačine, uz tačne i decimalne odgovore.

Unesite kao

Pokušajte s jednim
Rješenja
Korak po korak
Oblik krive
Ključne karakteristike
Diskriminanta
Tjeme
Osa simetrije
y-presjek
Zbir korijena
Proizvod korijena
Faktorizirani oblik
Popunite a, b i c — rješenja se ažuriraju dok pišete.

Svaki korak se izračunava u vašem pretraživaču — brojevi koje unesete nikada ne napuštaju vaš uređaj.

Česta pitanja

U kojim oblicima se daju rješenja?

Svako rješenje se prvo prikazuje u tačnom obliku — cijeli broj, skraćeni razlomak ili pojednostavljeni korijen kao što je (3 + √5)/2 — s decimalnim brojem ispod njega. Kada je diskriminanta negativna, umjesto toga dobijate kompleksni par napisan s i.

Šta mi govori diskriminanta?

Diskriminanta je b² − 4ac. Iznad nule, kriva siječe x-osu dva puta i oba korijena su realna i različita; tačno na nuli, dodiruje osu jednom i ta dva korijena se poklapaju; ispod nule, kriva uopšte ne dotiče osu i oba korijena su kompleksna.

Šta mogu upisati?

Polja za koeficijente primaju cijele brojeve, decimale, razlomke poput 3/4 i vrijednosti kao što je 2e-3. Polje za jednačinu prima cijeli red poput 2x² + 3x − 5 = 0, u bilo kojem redoslijedu članova, s bilo kojim pojedinačnim slovom kao nepoznatom i s članovima s obje strane znaka jednakosti.

Šta se dešava kada je a jednako 0?

Ništa se ne kvari. Bez člana x², jednačina je linearna, pa se rješava kao bx + c = 0 i odgovor se pojavljuje na istom mjestu. Ako je i b jednako 0, dobićete informaciju o tome da li je tvrdnja netačna za svako x ili tačna za svako x.

Napisao i pregledao urednički tim BroBroGo.Zadnji put ažurirano:

Kalkulator kvadratne jednačine je besplatni online alat koji rješava kvadratne jednačine oblika ax² + bx + c = 0. Korisnici mogu pronaći korijene jednačine unošenjem tri koeficijenta pojedinačno ili lijepljenjem cijele jednačine direktno u alat. Alat automatski izračunava i prikazuje rješenja u tačnom i decimalnom obliku, prikazuje matematički postupak korak po korak, te pruža ključne geometrijske karakteristike jednačine uz vizuelnu skicu krive.

Svaki korak se izračunava u vašem pretraživaču — brojevi koje unesete nikada ne napuštaju vaš uređaj.

Fleksibilni načini unosa i primjeri

Korisnički interfejs nudi opciju "Unesite kao" koja omogućava dva različita načina rada:

  • Koeficijenti: Pojedinačna polja za unos pod nazivima "Koeficijent uz x² (a)", "Koeficijent uz x (b)" i "Slobodni član (c)". Ova polja prihvataju cijele brojeve, decimale, razlomke (npr. 3/4) i vrijednosti u naučnom zapisu (npr. 2e-3).
  • Cijela jednačina: Jedno polje za unos pod nazivom "Vaša jednačina". Ovo polje prihvata puni red jednačine (npr. 2x² + 3x − 5 = 0) u bilo kojem redoslijedu članova, koristeći bilo koje pojedinačno slovo kao nepoznatu varijablu, te dozvoljava postavljanje članova s obje strane znaka jednakosti.

Za brzo testiranje, opcija "Pokušajte s jednim" nudi gotove primjere:

  • "Dva realna korijena"
  • "Jedan dvostruki korijen"
  • "Nema realnih korijena"
  • "Koeficijenti u obliku razlomka"

Dugme "Očisti" omogućava trenutno resetovanje svih polja.

Razumijevanje kvadratne formule i diskriminante

Kvadratna formula za rješavanje jednačine glasi:

x = (−b ± √Δ) / 2a

gdje simbol Δ predstavlja diskriminantu, čija je vrijednost definisana izrazom b² − 4ac. Alat koristi tačnu cjelobrojnu vrijednost b² − 4ac umjesto zaokružene vrijednosti kako bi odredio tačan broj realnih korijena. Zahvaljujući tome, jednačine kod kojih su b² i 4ac skoro jednaki neće biti pogrešno prijavljene kao jednačine s jednim dvostrukim korijenom. Također, manji korijen jednačine kao što je x² + 1000000000x + 1 = 0 zadržava svoje značajne cifre umjesto da se svede na 0.

Zavisno o vrijednosti diskriminante, alat klasifikuje korijene i prikazuje odgovarajuće poruke:

  • Δ > 0: Prikazuje se poruka "Dva različita realna korijena — kriva siječe x-osu dva puta.".
  • Δ = 0: Prikazuje se poruka "Jedan dvostruki korijen — kriva samo dodiruje x-osu.".
  • Δ < 0: Prikazuje se poruka "Dva kompleksna korijena — kriva nikada ne dostiže x-osu.". U ovom slučaju, kako bi se izbjeglo prikazivanje kvadratnog korijena iz negativnog broja, supstituirana formula se prikazuje kao x = (−b ± i√(4ac − b²)) / 2a, koristeći imaginarnu jedinicu i.

Prikaz rješenja i geometrijske karakteristike

Rezultati se prikazuju u sekciji "Rješenja" i ažuriraju se automatski u realnom vremenu dok korisnik piše.

Za svako rješenje dostupne su dvije linije:

  • "Tačni": Prikazuje tačan matematički oblik. Korijen se prikazuje kao cijeli broj ili skraćeni razlomak kada je diskriminanta savršen kvadrat. Ako diskriminanta nije savršen kvadrat, prikazuje se kao pojednostavljeni radikal (gdje se najveći kvadratni faktor izvlači ispred korijena, npr. √5). Za negativne diskriminante prikazuje se kompleksni konjugovani par s i.
  • "Decimalni": Decimalni prikaz se pojavljuje direktno ispod tačnog rješenja samo kada nudi informacije koje tačni oblik ne prikazuje.

Uz rješenja je dostupan i interaktivni natpis "Kliknite da kopirate".

Ispod rješenja, sekcija "Ključne karakteristike" prikazuje važne geometrijske i algebarske osobine:

  • "Diskriminanta" (Δ)
  • "Tjeme" (koordinate vrha parabole)
  • "Osa simetrije"
  • "y-presjek"
  • "Zbir korijena" (prema Vièteovim formulama, vrijednost −b/a)
  • "Proizvod korijena" (vrijednost c/a)
  • "Faktorizirani oblik": Prikazuje se samo kada se jednačina može faktorizirati nad racionalnim brojevima; jednačine s iracionalnim ili kompleksnim korijenima nemaju ovaj red.

Vizuelni prikaz "Oblik krive" daje skicu parabole na osnovu unesenih vrijednosti.

Postupak korak po korak i granični slučajevi

Sekcija "Korak po korak" detaljno prikazuje matematički put do rješenja kroz sljedeće faze:

  1. "Izračunajte diskriminantu"
  2. "Uvrstite svoje brojeve u formulu"
  3. "Očitajte svako rješenje"

Linearni i degenerisani slučajevi (a = 0)

Ako je koeficijent uz x² (a) jednak 0, alat se ne kvari, već jednačinu tretira kao linearnu (bx + c = 0). U tom slučaju se prikazuje poruka "Uz a = 0 ovo je linearna jednačina, riješena po x ispod.". Koraci rješavanja se prilagođavaju i prikazuju fazu "Preuredite po x".

Ako su i a i b jednaki 0, alat evaluira preostalu konstantnu tvrdnju:

  • Ako je tvrdnja netačna (npr. 5 = 0), prikazuje se poruka "Nijedna vrijednost x ne može učiniti ovo tačnim.".
  • Ako je tvrdnja tačna (npr. 0 = 0), prikazuje se poruka "Svaki broj je rješenje.".

Ograničenja unosa i poruke o greškama

Alat ima striktna pravila za unos kako bi osigurao tačnost proračuna. U slučaju neispravnog unosa, prikazuju se tačne poruke o greškama:

  • Neispravan format broja: Ako unesete znakove koji nisu brojevi, razlomci ili naučni zapisi, pojavljuje se poruka: "Unesite broj kao što je 2, −0.5 ili 3/4.".
  • Nula u nazivniku: Ako razlomak u koeficijentima ima nulu na donjoj strani: "Razlomak ne može imati 0 u nazivniku.".
  • Predug unos: Ako broj znakova pređe limit: "Taj unos je duži nego što ovaj alat može pročitati.".
  • Zagrade u jednačini: Alat ne vrši množenje zagrada: "Prvo pomnožite i oslobodite se zagrada — ovo čita obični oblik ax² + bx + c.".
  • Više varijabli: Ako se koristi više od jednog slova: "Koristite jedno slovo za nepoznatu.".
  • Visoki stepeni i varijable u nazivniku: Alat rješava jednačine najviše do drugog stepena i ne podržava varijable u nazivniku: "Ovo rješava jednačine do x² — bez viših stepena i bez slova ispod razlomka.".
  • Znakovi jednakosti: Jednačina mora imati tačno jedan znak jednakosti: "Koristite jedan znak jednakosti, s nečim sa svake njegove strane.".
  • Nedostatak varijable: Ako u unesenom tekstu nema varijable za rješavanje: "Ovdje nema slova za koje se rješava.".
  • Greška u parsiranju: Ako se jednačina ne može prepoznati: "To se ne može pročitati kao jednačina. Pokušajte s oblikom 2x² + 3x − 5 = 0.".

Često postavljana pitanja (FAQ)

Šta mogu upisati?
Polja za koeficijente primaju cijele brojeve, decimale, razlomke poput 3/4 i vrijednosti kao što je 2e-3. Polje za jednačinu prima cijeli red poput 2x² + 3x − 5 = 0, u bilo kojem redoslijedu članova, s bilo kojim pojedinačnim slovom kao nepoznatom i s članovima s obje strane znaka jednakosti.

U kojim oblicima se daju rješenja?
Svako rješenje se prvo prikazuje u tačnom obliku — cijeli broj, skraćeni razlomak ili pojednostavljeni korijen kao što je (3 + √5)/2 — s decimalnim brojem ispod njega. Kada je diskriminanta negativna, umjesto toga dobijate kompleksni par napisan s i.

Šta mi govori diskriminanta?
Diskriminanta je b² − 4ac. Iznad nule, kriva siječe x-osu dva puta i oba korijena su realna i različita; tačno na nuli, dodiruje osu jednom i ta dva korijena se poklapaju; ispod nule, kriva uopšte ne dotiče osu i oba korijena su kompleksna.

Šta se dešava kada je a jednako 0?
Ništa se ne kvari. Bez člana x², jednačina je linearna, pa se rješava kao bx + c = 0 i odgovor se pojavljuje na istom mjestu. Ako je i b jednako 0, dobićete informaciju o tome da li je tvrdnja netačna za svako x ili tačna za svako x.

Kalkulator razlomakaSabirajte, oduzimajte, množite i dijelite razlomke i mješovite brojeve uz tačne rezultate.Kalkulator rastavljanja na proste faktoreRastavite bilo koji cijeli broj na proste faktore i pogledajte stablo faktora koje stoji iza njega.Pretvarač naučne notacijePretvorite standardne brojeve, naučnu notaciju i inženjersku notaciju u jednom tačnom prikazu.Procentualni kalkulatorKoliko je X% od nekog broja, koliki procenat jedna vrijednost čini od druge, ukupan iznos na osnovu poznatog procenta, porast ili pad između dvije cifre i prodajne cijene nakon popusta — sve na jednoj stranici.Kalkulator omjeraPojednostavite omjer, riješite prazno polje u proporciji ili skalirajte obje strane istim faktorom.Kalkulator značajnih cifaraPrebrojite značajne cifre u bilo kojoj vrijednosti, zaokružite na odabranu preciznost ili izračunajte izraze sa + − × ÷ uz prikaz pravila zaokruživanja korak po korak.Kalkulator korijena polinomaPronađite svaki realni i kompleksni korijen polinoma iz razvijenog izraza ili liste koeficijenata, uz reziduume i provjere konvergencije.