Kalkulator Dopplerovog efekta

Klasična formula Dopplerovog efekta

Matematički odnos između brzine vala, brzine izvora, brzine posmatrača i frekvencijskih pomaka u stacionarnom mediju opisan je klasičnom formulom Dopplerovog efekta. Ovaj model pretpostavlja da se kretanje odvija isključivo duž prave linije koja spaja izvor i posmatrača u mirnom i jednolikom mediju.

Zavisno o smjeru kretanja izvora i posmatrača, predznaci u formuli se prilagođavaju kako bi odrazili sabijanje ili rastezanje valova. Kalkulator automatski određuje ispravne predznake na osnovu odabranih smjerova kretanja. Formula za izračunavanje izmjerene frekvencije glasi:

f′ = f₀ × (v ± vₒ) ÷ (v ∓ vₛ)

Gdje su:

• f′: Izmjerena frekvencija
• f₀: Emitovana frekvencija
• v: Brzina vala u mediju
• vₒ: Brzina posmatrača
• vₛ: Brzina izvora

Kada se unesu potrebni parametri, alat vrši proračun i prikazuje korake kroz sekciju Formula i zamjena vrijednosti. Prvi korak je konverzija jedinica prikazana kao ‹from› = ‹to›. Nakon toga se računaju vrijednosti brojnika i nazivnika:

• Za pokretnog posmatrača: Brojnik: v ‹sign› vₒ = ‹v› ‹sign› ‹vo› = ‹num› m/s. Ako posmatrač miruje, prikazuje se Brojnik: v = ‹num› m/s.
• Za pokretni izvor: Nazivnik: v ‹sign› vₛ = ‹v› ‹sign› ‹vs› = ‹den› m/s. Ako izvor miruje, prikazuje se Nazivnik: v = ‹den› m/s.

Konačni rezultat se dobija uvrštavanjem u formulu f′ = f₀ × ‹num› ÷ ‹den› = ‹freq›, dok se apsolutna i procentualna razlika prikazuju kroz izraz Δf = ‹freq› − ‹f0› = ‹shift› (‹percent›).

Sabijanje i rastezanje valnih fronti

Fizičko kretanje izvora ili posmatrača direktno mijenja prostorni raspored valnih fronti u mediju, stvarajući percepciju više ili niže frekvencije. Kada se izvor kreće kroz medij, on emituje uzastopne valne fronte iz različitih tačaka duž svoje putanje.

Ako se izvor kreće prema posmatraču, svaka nova valna fronta se emituje bliže prethodnoj nego što bi to bio slučaj u stanju mirovanja. To uzrokuje sabijanje valnih fronti ispred izvora, što rezultira kraćom valnom dužinom i višom izmjerenom frekvencijom. Suprotno tome, iza izvora koji se udaljava, valne fronte ostaju rastegnute na većem međusobnom rastojanju, što dovodi do duže valne dužine i niže frekvencije.

Vizuelni prikaz ovog fenomena dostupan je u sekciji Valne fronte, koja sadrži dijagram sa opisom: „Prikaz kružnih valnih fronti emitovanih duž putanje izvora; njihov razmak pokazuje sabijanje ili rastezanje uzrokovano kretanjem“. Legenda dijagrama jasno identifikuje položaj za „izvor“ i „posmatrač“.

Fizika prolaska i promjena visine tona

Svakodnevno iskustvo sa sirenama vozila hitne pomoći ili policije ilustruje fiziku prolaska. Dok se vozilo približava, posmatrač čuje konstantno povišen ton. U trenutku kada vozilo prođe pored posmatrača i počne se udaljavati, visina tona naglo opada na nižu frekvenciju.

Ovaj prelaz se detaljno analizira u sekciji Prolazak, koja prikazuje tri ključna parametra:

• Tokom približavanja: Izmjerena frekvencija dok se izvor i posmatrač približavaju jedno drugom.
• Nakon prolaska: Izmjerena frekvencija nakon što se izvor i posmatrač mimoiđu i počnu udaljavati.
• Promjena visine tona pri prolasku: Tačna razlika u frekvenciji, odnosno veličina pada tona u samom trenutku prelaza.

Ovaj nagli pad frekvencije nastaje zbog trenutne promjene vektora brzine izvora u odnosu na posmatrača, prelazeći iz direktnog približavanja u direktno udaljavanje.

Nadzvučno kretanje i udarni valovi

Kada se izvor kreće brzinom koja je jednaka ili veća od brzine vala u tom mediju, klasični matematički model nailazi na fizičke granice.

Ako se izvor približava brzinom vala ili brže, on se kreće uporedo sa valnim frontama koje sam emituje ili ih prestiže. Valne fronte se nagomilavaju na prednjoj strani izvora, formirajući akustički konus poznat kao udarni val (zvučni udar). Budući da ispred izvora u takvim uslovima ne postoji konačna frekvencija, kalkulator u tom slučaju prekida proračun i prikazuje poruku o grešci: „Izvor koji se približava brzinom vala ili brže nagomilava svoje valne fronte u udarni val, pa ispred njega ne postoji konačna visina tona.“.

S druge strane, ako se izvor kreće brže od brzine vala ali se udaljava od posmatrača, proračun je moguć. Rastegnute valne fronte se i dalje šire kroz medij prema posmatraču koji se nalazi iza izvora, te se izmjerena frekvencija može precizno izračunati.

Za posmatrača koji se udaljava brzinom vala ili brže, važi pravilo da on bježi od emitovanih valnih fronti. U tom slučaju, valovi nikada ne mogu stići do posmatrača, pa kalkulator prikazuje grešku: „Posmatrač koji se udaljava brzinom vala ili brže bježi od valnih fronti i nikada ne čuje izvor.“.

Klasični naspram relativističkog Dopplerovog efekta

Postoji suštinska razlika između mehaničkih valova (poput zvuka) i elektromagnetnih valova (poput svjetlosti):

Ovaj kalkulator modelira isključivo klasični Dopplerov efekat za mehaničke valove u mirnom mediju i ne može se koristiti za proračun relativističkog crvenog pomaka u astronomiji.

Parametri i unos podataka

Kalkulator omogućava konfiguraciju svih relevantnih parametara za simulaciju različitih scenarija.

Ulazna polja

• Medij: Padajući meni sa predefinisanim vrijednostima brzine zvuka za: „Zrak (20 °C)“, „Zrak (0 °C)“, „Helijum (0 °C)“, „Voda (20 °C)“ i „Prilagođeni medij“.
• Brzina vala: Brzina prostiranja vala u odabranom mediju. Ručno mijenjanje ove vrijednosti automatski prebacuje izbor medija na „Prilagođeni medij“.
• Emitovana frekvencija: Frekvencija izvora u stanju mirovanja.
• Brzina izvora: Brzina kojom se izvor kreće.
• Brzina posmatrača: Brzina kojom se posmatrač kreće.
• Kretanje izvora: Smjer kretanja izvora, sa opcijama „Približava se“, „Udaljava se“ ili „Miruje“.
• Kretanje posmatrača: Smjer kretanja posmatrača, sa opcijama „Približava se“, „Udaljava se“ ili „Miruje“.
• Jedinica frekvencije i Jedinica brzine: Mjerne jedinice za frekvenciju i brzinu.
• Prikazane decimale: Broj decimalnih mjesta za prikaz rezultata.

Korisnik može koristiti dugme „Učitaj primjer“ za automatsko popunjavanje polja testnim vrijednostima, ili dugme „Očisti“ za resetovanje svih polja.

Izlazni rezultati

Nakon uspješnog proračuna, pod naslovom Ono što posmatrač čuje prikazuju se sljedeći podaci:

• Izmjerena frekvencija: Izračunata frekvencija uz indikator visine tona: „viša od emitovane“, „niža od emitovane“ ili „ista kao emitovana“.
• Dopplerov pomak: Apsolutna razlika između izmjerene i emitovane frekvencije.
• Pomak u procentima: Procentualna promjena frekvencije.
• Izmjerena valna dužina i Emitovana valna dužina: Valne dužine primljene kod posmatrača i emitovane na izvoru.
• Machov broj izvora: Odnos brzine izvora i brzine vala u mediju.

Pravila validacije i privatnost podataka

Prilikom unosa podataka, kalkulator vrši provjeru ispravnosti vrijednosti i može prikazati sljedeća upozorenja:

• Ako polje sadrži tekst umjesto broja: „‹field›: „‹token›“ nije broj.“.
• Ako se unese negativna brzina: „‹field›: unesite brzinu kao običnu vrijednost i postavite smjer pored nje.“.
• Ako je frekvencija nula ili negativna: „Emitovana frekvencija mora biti veća od nule.“.
• Ako je brzina vala nula ili negativna: „Brzina vala mora biti veća od nule.“.
• U slučaju prekoračenja računarskog opsega: „Vrijednost ili međurezultat premašuje podržani opseg brojeva.“.

Procesiranje svih unesenih podataka i proračuni odvijaju se lokalno, unutar vašeg web pretraživača. Svaki broj koji unesete ostaje u ovom pretraživaču — ništa se ne učitava na servere.

Često postavljana pitanja (FAQ)

Mogu li koristiti ovo za svjetlost ili astronomski crveni pomak?
Ne. Svjetlosti nije potreban medij, a njen Dopplerov zakon je relativistički: važna je samo relativna brzina između izvora i posmatrača, a ne ko se „stvarno“ kreće. Ovaj kalkulator koristi klasični zakon za zvuk i druge mehaničke valove u mediju, koji daje drugačiji odgovor osim pri svakodnevnim brzinama, gdje se ova dva zakona skoro podudaraju.

Zašto visina tona sirene opadne u trenutku kada prođe pored mene?
Dok se izvor približava, svaka nova valna fronta se emituje malo bliže vama, pa one stižu zbijene i čujete višu frekvenciju. U trenutku kada prođe, isto kretanje umjesto toga rasteže razmak, a visina tona opada. Blok za prolazak prikazuje obje frekvencije i tačnu veličinu pada za vaše brojeve.

Šta se dešava kada se izvor kreće brže od zvuka?
Valne fronte više ne mogu ići ispred izvora i nagomilavaju se duž konusa — udarni val koji se čuje kao zvučni udar. Jednostavna formula tada nema konačan odgovor za slušaoca ispred, pa kalkulator to navodi umjesto da ispiše besmislen broj. Izvor koji se udaljava brže od zvuka i dalje je u redu: njegove rastegnute valne fronte nastavljaju se širiti i formula vrijedi.

Da li vjetar ili bočno kretanje mijenjaju rezultat?
Da, i oboje je izvan ovog modela. Formula pretpostavlja miran medij, pa stalan vjetar — koji nosi medij sa sobom — mijenja stvarni pomak. Također se bavi samo kretanjem duž linije između izvora i posmatrača; za kretanje pod uglom, koristite komponentu duž te linije, zbog čega se visina tona sirene u prolazu glatko mijenja umjesto da skače.