تحليل رياضيات نظم التصويت عبر مدخلات موحدة
تعتمد النظم الديمقراطية وصنع القرار في المجموعات على قواعد رياضية متباينة لتحويل تفضيلات الناخبين إلى نتيجة انتخابية محددة. تتيح أداة "مقارن طرق التصويت" تشغيل سيناريو انتخابي واحد لمقعد فردي باستخدام خمس قواعد فرز مختلفة في وقت واحد، مما يكشف كيف يمكن للأوراق الانتخابية المرتبة ذاتها أن تؤدي إلى نتائج وفائزين مختلفين بناءً على صيغة الفرز المستخدمة.
تتلقى الأداة قائمة بالمرشحين وأوراق الاقتراع المرتبة والمجمعة، ثم تطبق عليها خمسة قوانين فرز هي: الأغلبية البسيطة، وجولة الإعادة الفورية (IRV)، وطريقة بوردا، والتصويت بالموافقة، ونظام كوبلاند للمواجهات الثنائية. يساعد هذا التحليل المقارن الأكاديميين، ومروجي الإصلاح الانتخابي، وميسري الاجتماعات على فهم البنية الرياضية لكل نظام وتتبع مسار الأصوات خطوة بخطوة.
مدخلات ومحددات السيناريو الانتخابي
تتطلب الأداة إدخال بيانات دقيقة لضمان صحة الحسابات الرياضية وتجنب أخطاء الفرز. تنقسم المدخلات إلى ثلاثة أقسام رئيسية:
1. المرشحون (المرشحون)
يتم إدخال أسماء المرشحين في حقل "المرشحون"، بمعدل مرشح فريد واحد في كل سطر. وتخضع المدخلات للضوابط التالية:
- يجب إدخال ما بين 2 إلى 8 مرشحين كحد أقصى.
- يجب ألا يتجاوز اسم كل مرشح 40 حرفًا.
- لا يمكن أن تحتوي أسماء المرشحين على نقطتين رأسيتين (:) أو علامة أكبر من (>).
- يجب أن تكون أسماء المرشحين فريدة تمامًا، بما في ذلك الاختلافات في حالة الأحرف.
2. أوراق الاقتراع المرتبة والمجمعة (أوراق الاقتراع المرتبة والمجمعة)
تُدخل الأصوات في حقل "أوراق الاقتراع المرتبة والمجمعة" بصيغة مجمعة، حيث يمثل كل سطر مجموعة من الأصوات المتطابقة في التفضيل. يجب أن يتبع كل سطر التنسيق التالي بدقة: عدد الأصوات، ثم نقطتان رأسيتان، ثم ترتيب المرشحين من الخيار الأول إلى الأخير مفصولين بعلامة أكبر من (على سبيل المثال: "45: Cedar > Harbor > Summit").
- حدود الأسطر: يسمح بإدخال 200 سطر كحد أقصى من أوراق الاقتراع المجمعة.
- حجم الأصوات: يجب أن يحتوي كل سطر على عدد أصوات صحيح بين 1 و1,000,000 قبل النقطتين الرأسيتين.
- إجمالي الأصوات: يجب ألا يتجاوز مجموع الأصوات عبر كافة الأسطر 10,000,000 صوت.
- قواعد الترتيب: يجب أن يصنف كل سطر كل مرشح مرة واحدة بالضبط؛ ولا يُسمح بالتصنيفات الناقصة أو تكرار المرشح نفسه في السطر الواحد.
3. حد الموافقة الأدنى (حد الموافقة الأدنى)
خيار مخصص لتشغيل طريقة التصويت بالموافقة، حيث يحدد المستخدم عدد المرشحين الأوائل الذين تشملهم موافقة الناخب في كل ورقة اقتراع (مثل "أفضل 2")، ويجب أن تكون هذه القيمة بين 1 وإجمالي عدد المرشحين.
مخرجات المقارنة وجداول التدقيق
عند إدخال البيانات بشكل صحيح، تقوم الأداة بتوليد مخرجات تفصيلية فورية تشرح سلوك كل نظام انتخابي:
جدول مقارنة الطرق (مقارنة الطرق)
يعرض هذا الجدول مقارنة مباشرة بين الأنظمة الخمسة عبر الأعمدة التالية:
- الطريقة: تشمل "الأغلبية البسيطة"، "جولة الإعادة الفورية (IRV)"، "طريقة بوردا"، "الموافقة"، و"كوبلاند / المواجهات الثنائية".
- النتيجة: تعرض الفائز أو تفاصيل التعادل (مثل "تعادل:
Cedar, Harbor"). - كيف تم الفرز: تشرح القاعدة الرياضية المطبقة لكل طريقة:
- الأغلبية البسيطة: "أعلى إجمالي خيارات أولى".
- جولة الإعادة الفورية (IRV): "الأغلبية بعد استبعاد المرشح الأخير الفريد في كل جولة".
- طريقة بوردا: "أكبر عدد من النقاط من جميع المراتب".
- الموافقة: "الأكثر ظهورًا في أفضل
2". - كوبلاند / المواجهات الثنائية: "نقطة واحدة لكل فوز ثنائي و0.5 لكل تعادل".
جدول تدقيق النتائج (تدقيق النتائج)
يوفر جدول "تدقيق النتائج" توزيعًا رقميًا دقيقًا لدرجات المرشحين عبر الأنظمة المختلفة، ويحتوي على الأعمدة التالية:
- المرشح.
- الخيار الأول (يستخدم في الأغلبية البسيطة وجولات IRV الأولى).
- نقاط بوردا.
- الموافقات.
- نقاط كوبلاند.
جولات IRV (جولات IRV)
يعرض هذا القسم تفاصيل التصفية المتتالية لنظام جولة الإعادة الفورية خطوة بخطوة عبر الأعمدة التالية:
- الجولة.
- الخيارات الأولى النشطة.
- القرار: يوضح الإجراء المتخذ في كل جولة، مثل "استبعاد
Cedar"، أو "يصلCedarإلى أغلبية51صوتًا"، أو "جميع المرشحين المتبقين متعادلون"، أو "إيقاف: تعادل في المركز الأخير بينCedar, Harbor".
مصفوفة المواجهات الثنائية (مصفوفة المواجهات الثنائية)
تعرض هذه المصفوفة عدد الناخبين الذين يفضلون مرشح الصف على مرشح العمود في مواجهة ثنائية مباشرة. يرافق الجدول توضيح لحالة فائز كوندورسيه (Condorcet winner)؛ حيث تظهر عبارة "يهزم أيضًا كل منافس في المواجهات الثنائية المباشرة" في حال وجوده، أو عبارة "لا يوجد مرشح يهزم كل منافس في المواجهات الثنائية المباشرة." في حال غيابه.
المعادلات والمتغيرات الرياضية
تعتمد الأداة في حساباتها على الصيغ الرياضية التالية الموضحة في قسم "المعادلات والمتغيرات":
| الطريقة الانتخابية | الصيغة الرياضية المستخدمة |
|---|---|
| الأغلبية البسيطة | P(c) = Σ count_b · 1[first_b = c] |
| جولة الإعادة الفورية (IRV) | V(c) > V ÷ 2 |
| طريقة بوردا | B(c) = Σ count_b · (m − rank_b(c)) |
| التصويت بالموافقة | A(c) = Σ count_b · 1[rank_b(c) ≤ k] |
| كوبلاند / المواجهات الثنائية | C(c) = W(c) + 0.5 × T(c) |
تعريف المتغيرات:
- b: ورقة اقتراع مجمعة واحدة؛ حيث يمثل count_b عدد ناخبيها.
- c: المرشح الذي يتم فرز أصواته.
- k: حد الموافقة الأدنى المحدد من قبل المستخدم.
- m: إجمالي عدد المرشحين.
- rank_b(c): ترتيب المرشح c في ورقة الاقتراع b، بدءًا من الرقم 1.
- V: الأصوات النشطة في جولة IRV الحالية؛ ويمثل $V(c)$ الإجمالي النشط للمرشح c.
- $W(c)$ و $T(c)$: عدد حالات الفوز والتعادل الثنائية للمرشح c على التوالي.
معالجة البيانات والخصوصية
تتم معالجة جميع أسماء المرشحين وأوراق الاقتراع محليًا بالكامل داخل متصفح الويب الخاص بالناخب. لا يتم رفع أي مدخلات أو بيانات انتخابية إلى خوادم خارجية، ولا يتم حفظها في أي قاعدة بيانات سحابية، مما يضمن بقاء البيانات محصورة في جهاز المستخدم أثناء التشغيل.
رسائل الخطأ الشائعة وكيفية معالجتها
عند إدخال بيانات غير متوافقة مع معايير الأداة، تظهر رسائل خطأ محددة تمنع إتمام الحسابات حتى يتم تصحيحها:
- حجم البيانات: "السيناريو الملصق كبير جدًا. يرجى إبقاء المدخلات الإجمالية أقل من 100 كيلوبايت."
- نقص المرشحين: "أدخل مرشحين اثنين على الأقل قبل إضافة أوراق الاقتراع." أو "استخدم ما بين 2 و8 مرشحين."
- طول الاسم: "يجب ألا يتجاوز اسم كل مرشح 40 حرفًا."
- رموز غير مسموحة: "لا يمكن أن تحتوي أسماء المرشحين على نقطتين رأسيتين أو علامة أكبر من."
- تكرار الأسماء: "يجب أن تكون أسماء المرشحين فريدة، بما في ذلك الاختلافات في حالة الأحرف."
- غياب أوراق الاقتراع: "أدخل ورقة اقتراع مرتبة ومجمعة واحدة على الأقل."
- تجاوز عدد الأسطر: "لا تستخدم أكثر من 200 سطر من أوراق الاقتراع المجمعة."
- تنسيق السطر: "يجب أن يظهر السطر
1بالشكل “45: Cedar > Harbor > Summit”." - غياب عدد الأصوات: "يحتاج السطر
1إلى عدد أصوات صحيح قبل النقطتين الرأسيتين." - نطاق الأصوات بالسطر: "يجب أن يحتوي السطر
1على عدد أصوات بين 1 و1,000,000." - مرشح مجهول: "يحتوي السطر
1على اسم غير موجود في قائمة المرشحين." - تكرار المرشح بالورقة: "يصنف السطر
1المرشح نفسه أكثر من مرة." - ترتيب غير مكتمل: "يجب أن يصنف السطر
1كل مرشح مرة واحدة بالضبط." - تجاوز الحد الأقصى للأصوات: "حافظ على إجمالي عدد الأصوات عند 10,000,000 أو أقل."
- خطأ حد الموافقة: "اختر حدًا أدنى للموافقة بين 1 وعدد المرشحين."
- تعادل مستعصٍ في IRV: "تعادل استبعاد غير محلول:
Cedar, Harbor"
الأسئلة الشائعة
س: هل يمكن لنفس أوراق الاقتراع المرتبة أن تنتج فائزين مختلفين حقًا؟
ج: نعم. تستخدم كل قاعدة معلومات مختلفة: يحتفظ نظام الأغلبية بالخيارات الأولى فقط، ويستخدم نظام بوردا كل ترتيب، وينقل نظام IRV الأصوات بعد الاستبعادات، وتقارن طريقة العد الثنائي المرشحين اثنين في كل مرة. تم تصميم المثال التوضيحي بحيث تكون هذه الاختلافات مرئية وقابلة للتتبع.
س: كيف يمكن مقارنة التصويت بالموافقة مع أوراق الاقتراع المرتبة؟
ج: لا تحدد ورقة الاقتراع المرتبة أين تنتهي الموافقة. لذلك، تستخدم هذه الأداة الحد الفاصل الذي تختاره: أفضل 1، أفضل 2، وهكذا. ينطبق هذا الافتراض فقط على عمود الموافقة ويُطبع بجانب نتيجته.
س: هل فائز كوبلاند هو دائمًا فائز كوندورسيه؟
ج: لا. يجب على فائز كوندورسيه أن يهزم كل منافس في مواجهة ثنائية مباشرة، وقد لا يوجد فائز كهذا لأن التفضيلات قد تشكل حلقة دائرية. ومع ذلك، يمنح نظام كوبلاند نقاطًا للفوز والتعادل في المواجهات الثنائية؛ وتُعرض أعلى نتيجة له بشكل منفصل وقد تكون متعادلة.
س: هل يمكنني استخدام هذه الأداة لاعتماد نتيجة انتخابات رسمية؟
ج: لا. تستخدم أداة المقارنة هذه تصنيفات صارمة كاملة، ومقعدًا واحدًا، وقاعدة IRV التي تتوقف عند التعادل. قد تحدد قوانين الانتخابات وقواعد المؤسسات الأصوات الزائدة، والتصنيفات المتخطاة، والمرشحين غير المدرجين، وفض التعادل، وعمليات التدقيق، ونقل الأصوات متعددة المقاعد بشكل مختلف.