تفكيك الدوال الدورية عبر حاسبة متسلسلة فورير
تتيح حاسبة متسلسلة فورير حساب معاملات فورير عددياً، وفحص المجموع الجزئي، ومقارنة إعادة بناء الدالة الدورية أو متعددة التعريف. يمكن تعريف الدالة عبر فترة كاملة واحدة أو تقسيمها إلى ما يصل إلى خمسة أجزاء منفصلة. تقوم الحاسبة بتقدير المعاملات a₀ و aₙ و bₙ، وعرض صيغة المجموع الجزئي الناتجة، ورسم مخطط بياني يقارن الدالة الأصلية بالتقريب، بالإضافة إلى إجراء فحص استقرار للتكامل العددي.
المدخلات الرياضية وإعدادات الدقة
تتطلب الحاسبة تحديد الدالة والفترة الزمنية ومعاملات الدقة المطلوبة للحساب العددي:
1. تعريف الدالة (Function Definition)
- الدالة على مدى فترة واحدة أو أجزاء الدالة: يمكن إدخال دالة متصلة أو تقسيمها إلى أجزاء (حتى 5 أجزاء) باستخدام زر "إضافة جزء" أو حذفها عبر "إزالة الجزء
‹n›". - أمثلة جاهزة: تتوفر خيارات سريعة تشمل "موجة أسنان المنشار"، "موجة مربعة"، "موجة مثلثية"، و"موجة جيبية مقومة".
- حدود الأجزاء: يتم تحديد نطاق كل جزء عبر قيم "من" و"إلى".
- التعبير الرياضي ($f(x)$): يقبل المدخل المتغيرات والعمليات الرياضية القياسية. تشمل العناصر المدعومة:
x،pi،e،+،−،*،/،^، الأقواس، بالإضافة إلى الدوال:sin،cos،tan،exp،ln،log،sqrt،abs،min، وmax. يمكن كتابة عملية الضرب بشكل صريح (مثل2*x) أو ضمني (مثل2x).
2. الفترة (Period)
- البداية a: الحد الأدنى للفترة الدورية.
- النهاية b: الحد الأعلى للفترة الدورية.
- ملاحظة: تُحسب الفترة الإجمالية بالقانون T = b - a. تكون الزوايا المثلثية بالراديان، وتستخدم الحدود a و b نفس وحدة المتغير x.
3. المتسلسلة والدقة (Series and precision)
- التوافقات N: عدد صحيح يمثل رتبة المتسلسلة ويتراوح بين 1 و 30.
- فترات سيمبسون الفرعية: عدد زوجي يتراوح بين 200 و 4000 لتحديد دقة التكامل العددي.
- الكسور العشرية المعروضة: عدد الخانات العشرية لتقريب النتائج الرقمية.
- حساب قيمة Sₙ(x) عند: حقل اختياري لتقييم قيمة المجموع الجزئي عند نقطة محددة باستخدام نفس وحدة x.
مخرجات الحساب والرسوم البيانية
عند الضغط على "حساب المتسلسلة"، تعرض الحاسبة النتائج التالية بالتفصيل:
إعادة بناء فورير (Fourier reconstruction)
- المجموع الجزئي: الصيغة الرياضية الناتجة للتقريب، وتظهر تحت عنوان "المجموع الجزئي" مع زر "نسخ المتسلسلة".
- المخطط البياني: رسم مرئي بعنوان "الدالة الأصلية ومجموع فورير الجزئي" يحتوي على منحنى الدالة الأصلية "f(x)" ومنحنى المجموع الجزئي "Sₙ(x)".
جدول المعاملات (Coefficients)
يعرض الجدول القيم المحسوبة لكل رتبة تحت الأعمدة التالية:
- "aₙ" (معاملات جيب التمام).
- "bₙ" (معاملات الجيب).
- "السعة" (Amplitude).
الصيغة والتعويض (Derivation and substitution)
- نتيجة الفترة: "T =
‹period›؛ ω₀ = 2π/T =‹omega›راديان لكل وحدة x." - الحد الثابت: "a₀ = (2/T)∫f(x)dx =
‹a0›؛ الحد الثابت هو a₀/2 =‹constant›." - حساب المعاملات: "من أجل n = 1…
‹terms›، يتم تكامل كل جزء على حدة ثم تُجمع النتائج للحصول على aₙ و bₙ." - تحليل الدقة: "قاعدة سيمبسون المركبة:
‹base›فترة فرعية، تم التحقق منها مجددًا باستخدام‹refined›؛ أقصى تغير في المعاملات هو‹delta›." - التقييم النقطي (في حال إدخال قيمة اختيارية): "Sₙ(
‹x›) =‹value›".
اتفاقية فورير والتحليل العددي
تعتمد الحاسبة على صيغة رياضية محددة لتمثيل المتسلسلة، وتتعامل مع الحسابات عبر خوارزميات عددية تخضع لشروط الاستقرار:
f(x) ≈ a₀ / 2 + Σₙ₌₁^N [ aₙ cos(nω₀ x) + bₙ sin(nω₀ x) ]
حيث التردد الزاوي الأساسي هو ω₀ = 2π/T. بناءً على هذه الاتفاقية، تستخدم المعاملات a₀ و aₙ و bₙ عامل التكامل الموحد 2/T.
التكامل العددي وفحص الاستقرار
لا تعتمد الحاسبة على الحلول التحليلية الرمزية، بل تقوم بحساب التكاملات عددياً باستخدام قاعدة سيمبسون المركبة. لضمان موثوقية النتائج، تقوم الأداة تلقائياً بمضاعفة عدد الفترات الفرعية المحددة وإعادة الحساب. تقارن الحاسبة النتائج وتحدد أقصى تغير في المعاملات بالرمز ‹delta›.
رسائل الحالة وأخطاء المدخلات
تظهر في واجهة الأداة رسائل توجيهية وتحذيرية بناءً على حالة الحساب ومدى توافق المدخلات مع الشروط الرياضية:
رسائل الحالة (Status Messages)
- البداية: "قم بتعديل المثال، ثم احسب المتسلسلة."
- حالة الاستقرار: "تم الحساب. فحص المعاملات عند مضاعفة الدقة مستقر عند الدقة المعروضة."
- تحذير التقارب: "تم الحساب، ولكن المعاملات تغيرت بمقدار
‹delta›عند مضاعفة دقة التكامل. يرجى زيادة الفترات الفرعية أو فحص الدالة بحثًا عن تغيرات حادة." - وجود انقطاع: "تحتوي الأجزاء على قفزة انقطاع. قد تكون التموجات بالقرب من الحدود ناتجة عن ظاهرة غيبس وليس عن خطأ في التكامل."
رسائل الخطأ (Error Messages)
- خطأ في الكتابة: "تحقق من صيغة التعبير الرياضي."
- خروج عن المجال: "تخرج الدالة عن مجال الأعداد الحقيقية ضمن هذه الفترة."
- القسمة على الصفر: "الدالة تقسم على الصفر ضمن هذه الفترة."
- تجاوز النطاق الرقمي: "تتجاوز الدالة أو أحد المعاملات نطاق الأرقام المدعوم."
- خطأ في المعاملات: "تحقق من نطاقات الفترة، والتوافقات، والدقة."
- خطأ في الحدود: "تحقق من أجزاء الدالة وحدودها."
معالجة البيانات والخصوصية
تتم جميع العمليات الحسابية وتحليل التعبيرات الرياضية محلياً داخل متصفح الويب الخاص بك. لا يتم رفع الدوال أو القيم المدخلة أو النتائج إلى أي خادم خارجي.
الأسئلة الشائعة
س: ما هي صيغة معاملات فورير التي تستخدمها هذه الحاسبة؟
ج: تكتب الحاسبة المتسلسلة وفق الصيغة التالية:
f(x) ≈ a₀/2 + Σ [aₙ cos(nω₀ x) + bₙ sin(nω₀ x)]، مع ω₀ = 2π/T. وبناءً على ذلك، تستخدم المعاملات a₀ و aₙ و bₙ كلها العامل 2/T. تضع بعض الكتب المتوسط مباشرة في a₀ بدلاً من ذلك؛ لذا يجب مقارنة الصيغة المعروضة قبل مطابقة المعاملات مع مصادر أخرى.
س: هل المعاملات دقيقة تماماً؟
ج: لا، فهي تكاملات عددية ناتجة عن قاعدة سيمبسون المركبة. تعيد الحاسبة العملية بضعف الدقة المحددة وتُظهر التغير الأكبر في المعاملات. يشير التغير الصغير إلى دقة الأرقام المعروضة ولكنه لا يعد حداً رسمياً للخطأ.
س: لماذا يظهر تموج في الرسم البياني بالقرب من القفزة؟
ج: يتذبذب مجموع فورير المحدود بالقرب من نقاط الانقطاع (ما يعرف بظاهرة غيبس). تؤدي إضافة التوافقات إلى تضييق المنطقة المتأثرة ولكنها لا تزيل تجاوز غيبس المميز. عند القفزة، تقترب المتسلسلة من متوسط النهايتين اليسرى واليمنى تحت شروط التقارب المعتادة.